VI.-Гидродинамика (1109684), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ьудем понимать их при тех значениях параметра Л, когда циклы «сверхустойчивы» (см. примеч. на с. 173); по одному такому значени«о имеется в области существования каждого цикла. 179 пкгкход к туеькльнтности ты ц„„1(г)е' ~ьг' сй = а '1'и / (г1„,т1(1) — т1 41(1+Т ))е' ' М о т,, ОбращаЮтСя В НУЛЬ В СИЛУ раВЕНСтВа т~гпЕ1(Г + Тпг) = Гяг- 1(Г) другой стороны, величины й (4) в первом приближении не меняются при бифуркации: г1„,1~ (Х) — й (1); это значит, что интенсивность колебаний с частотами йыгп тоже остается неизменной. Спектральное же разложение величин с 4 г(1) содержит, напротив, только субгармоники 1озп,,/2 новые частоты, появляющиеся на (т + 1)-м шаге удвоений.
Суммарная интенсивность 1 ) 31ы не будем приводить здесь в принципе простого, но громоздкого исследования свойств функции о,„(1). Смз я еогенбаум М. // УгРН. 1983. Т. 141, С. 343 (1,ов А1апзов Бе~енсе. 1980. У. 1. Р. 4). аппроксимирустся простым образом: 1/сг при 0 <1 <Т )2, о,„(1) =, (32.18) 1/гт~ при Т (2 <1<Т (при надлежащем выборе начала отсчета 1) ') . Эти формулы позволяют сделать некоторые заключения об изменении спектра (частотного) движения жидкости, претерпе- вающей удвоения периода.
В гидродинамическом аспекте вели- чину л~(1) надо понимать как характеристику скорости жид- кости. Для движения с периодом Т„п спектр функции к„„(1) (от непрерывного времени 1!) содержит частоты Йго~ (г' = 1, 2, 3, ... ) . основную частоту оьп = 2н(Тгп и ее гармоники. После удвоения периода течение описывается функцией т, г(1) с периодом Т,е~ = 2Т, . Ее спектральное разложение содержит, наряду с теми же частотами йы, еще и субгармоники частоты ы частбты 1оз,„)2, 1 = 1., 3, 5, ... Представим тп„1(1) в виде 1 *-+ (1) = —,й + (1) + 1 (1)), где сго е~ — разность (32.14), а 1 -н(1) =т (1)+т —, (1+Т ) СПЕКтраЛЬНОЕ раЗЛОжЕНИЕ Г1„„4.1(Г) СОдЕржИт ТОЛЬКО ЧаСтОтЫ йгс,п, компоненты Фурье для субгармоник, 180 тх нмлшшность гл и! этих спектральных компонент определяется интегралом 2' / ~2 (1) 1 (32.
19) о Выразив Сш»1(г) через С (1), пишеь! т,„ 2 I;л(г)с„Яа. 2Т о С учетом (32.16) — (32.18) получим т' и окончательно 1т!1т-~-! = 10!8. (32.20) Таким образом, интенсивность новых споктральных компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (М.Х Гегйепбаит, 1979) ') . Обратимся к изучению эволюции свойств движения при дальнейшем увеличении параметра Л за зна!ением Л, (числа Рейнольдса В.
> В ) в «турбулентной» области. Поскольку в момент своего рождения (при Л = Л, ) апериодический аттрактор описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно считать, что и при значениях Л, незначительно превосходящих Л, допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого отображения. Лттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки удвоений периода! в момент своего рождения не является странным в определенном в 8 31 смысле: «2со-цикл», возникающий как предел устойчивых 2п'-циклов при т — э оо, тоже устойчив.
Точки этого аттрактора образуют на отрезке ( — 1, 1] несчетное множество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т. е. полная ! ) Это относится не только к суммарной интенсивности появляющихся субгармоник, но и к интенсивности каждой из них. Па каждую субгармонику, появляющуюся после гп-й бифуркации, приходится по две (по одной справа и слева) субгармоники после (т + 1)-й бифуркации. Поэтому отношение интенсивностей отдельных новых появляющихся после двух последовательных бифуркаций спектральных пиков вдвое больше величины (32.20).
Более гочное значение этой величины 10,48. Оно получается путем анализа состояния в самой точке Л = А с помощью универсальной функции 8(х); в этой точке присутствуют уже все частоты и вопрос, подобный указанному в примечании на с. 178 не возникает, Смс Мапепеегу М., йийтсх. Х // Раув. Неу. 1981. Ъ'. 24Б. Р. 493. пяРкход к туРвуе!ьнтности «длинвэ совокупности его элементов) равна нулю;, его размерность лежит между О и 1 и оказывается равной 0,54 ') . При Л > Л, аттрактор становится странным притягивающим множеством неустойчивых траекторий. На отрезке ~ — 1, 11 принадлежащие ему точки заполняют интервалы, общая длина которых отлична от нуля.
Эти отрезки следы на секущей поверхности 11 непрерывной двумерной лепты, совершающей большое число оборотов и замыкающейся на себя. Снова напомним в этой связгл о приближенности одномерного рассмотрения. В действительности эта лента имеет неболыпую, но конечную толщину.
Поэтому и составляющие ее сечение отрезки представляют собой в действительности полоски конечной ширины. Вдоль этой ширины странный аттрактор имеет канторову структуру описанного в предыдущем параграфе слоистого характера ') . Ниже эта структура пас не будет интересовать, и мы возвращаемся к рассмотрению в рамках одномерного отображения Пуанкаре. Эволюция свойств странного аттрактора при увеличении Л за Л состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении Л > Л, аттрактор заполняет ряд интервалов на отрезке [ — 1, 1); участки между этими интервалами области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2"" и меньше.
При увеличении Л скорость разбегания траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он «разбухает», последовательно поглощая циклы периодов 2, 2"" ' 1, ..., при этом чис.ло интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Друтими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно умсныпается вдвое, а их ширины увеличива- Рис. 22 кутся. Таким обргазом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений апграктора. Погло1цение аттрактором неустойчивого 2'"-цикла называют об1ипнной бифу11кпиией удвоения. Рисунок 22 иллюстрирует этот пропесс для двух послед- ') См.
Сгаеебегдег Р. 1'/ Л. осае. РЬув. 1981. Ч. 26. Р. 173. ~) Размерность аттрактора в этом направлении мала по сравнению с единицей. Она, однако, не универсальна и зависит от конкретного вида отображения. 182 '!'к ьклюггэость ГЛ 111 них обратных бифуркаций. На рис. 22 а лента совершает четыре оборота, обратная бифуркация превращает ее в ленту с двумя оборотами (рис.
22 6)! наконец, последняя бифуркация приводит к ленте., соворшающей всего один оборот и замыкающейся на себя, предварительно вперекрутившись» (рис. 22 в). Обозначим значения параметра Л, отвечающие последовательным обратным бифуркациям удвоения через Л 4.!, причем они расположены в последовательности Л„, ) Л„,ь!. Покажем, что эти чи1 ча удовлетворяют закону геометрической прогрессии с тем же универсальным показателем б, что и для прямых бифуркаций. Перед последней (при увеличении Л) обратной бифуркацией аттрактор занимает два интервала, разделенных промежутком, в котором находится неподвижная точка л„отображения (32.5), отвечакнцая неустойчивому циклу периода 1: /1 -!- 4Л вЂ” 1 л* = 2Л Бифуркация произойдет при значении Л = Л!, когда границы расширяющегося аттрактора достигнут этой точки.
Из рис. 22 б видно, что вншпняя граница аттрактора (ленты) после одного оборота становится его внутренней границей, а еще через оборот. границей интервала, разделяющего витки. Отсюда ясно, что значение Л = Л! определяется условием лбэ.в = л„, где кгьз=1 — Л11 — Л) есть результат двукратной итерации отображения над точкой :г. = 1--границей аттрактора (это значение Л! = 11543).
Моменты предп1ествующих обратных бифуркаций Л2, Лз,... могут быть приближенно определены одно за другим с помощью рекуррснтного соотноп!ения, связывающего Л 14! с Л . Это приближенное соотношение выводится тем же способом, которым была рассмотрена выше последовательность прямых бифуркаций удвоения и имеет вид Л = 1р(Л 4!) с той жс функцией !д(Л) из (32.7). Соответствующее графическое построение показано на верхней части рис. 21.
Поскольку функция у(Л) для последовательностей прямых и обратных бифуркаций одна и та же, то одинаков и закон, по которому пош!едовательности чисел Л и Л сходятся (соответственно снизу и сверху) к общему пределу Л =Л Л,— Л = ~(Л вЂ” Л ). (32.21) б Эволюция свойств странного аттрактора при Л ) Л, сопровождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре 183 пврвход к турьулентпости появлением в нем «шумовой» компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные пики, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при по1ледовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники --в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
