VI.-Гидродинамика (1109684), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спектральных пиков. Переход к турбулентности через перемежиемость. Рассмотрим, наконец, разрушение периодического движения при прохождении мультипликатора через значение )г = +1. Этот тип бифуркации описывается (в рамках одномерного отображения Пуанкаре) функцией х, »~ = 2'(х ", В.), которая при определенном значении параметра (числа Рейнольдса), В = В, р, касается прямой х 1 = х .
Выбрав точку касания в качестве х = О, напишем вблизи нее разложение функции отображения в виде ') х Рр =(В.— В. р)+х,+х2. (32.22) При В. ( В р (рис. 23) существуют две неподвижные точки х( ) (» ~(В В)1~2 (2) (2) из которых одна (х, ) отвечает устойчивому, а другая (х, ) неустойчивому периодическому движению.
При В = Вкр мультипликатор в обеих точках становится Х11-1 равным +1, оба периодических движения сливаются и при В. ) Вкр исче; зают (неподвижные точки переходят в комплексную область). При малой надкритичности рассто- н~нкр яние между линией (32.22) и прямой х.»1 = 1г, мало (в области вблизи х = н~нвр Х1 = О). На этом интервале значений х, следовательно, каждая итерация ото- х1п бражения (32.22) лишь незначительно перемещает след траектории, и для прохождения им всего интервала потребуется много шагов.
Другими словами, па сравнительно большом промежутке времени траектория в пространство состояний будет иметь регулярный, почти ) Коэффициент при 1С вЂ” В,„р и коэффициент (положительный) при х можно обратить в единипу соответствующим определением гь и х1, что и предполагается в (32.22). 184 ГЛ 111 ти ьилюпяость периодический характер.
Такой траектории отвечает в физическом пространстве регулярное (ламинарное) движение жидкости. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сценарий возникновения турбулентности (Р. Маппегг11е, У. Ротеаи, 1980). Можно представить себе, что к рассмотренному участку функции отображения примыкыот участки, приводящие к хаотизации траекторий; им отвечает в пространстве состояний множество локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако, само по себе не является аттрактором и с течением времени точка, изображающая систему, его покидает.
При В ( В. р траектория выходит на устойчивый цикл, т. е. в физическом пространстве устанавливается ламинарное периодическое движение. При В. > > В„р устойчивый цикл отсутствует и возникает движение, в котором «турбулонтныс» периоды чередуются с ламинарными (отсюда название сценария переход через перемежаемость). О длительности турбулентных периодов нельзя сделать каких-либо общих заключений. Зависимость же длительности ламинарных периодов от надкритичности легко выяснить. Для этого напишем разпостное уравнение (32.22) в виде дифференциального. Имея в виду малость изменения х на одном шаге отображении, заменим Разность х »1 — хз пРоизвоДной пх/пг по непРерывпой переменной 1: г1 (а — (В В р)+хе (32.23) Найдем время т, необходимое для прохождения отрезка между точками х1 и хсч лежащими по обе стороны точки:г.
= 0 на расстояниях, болыпих по сравнению с ( — В р)' з, но еще в области 1/2 применимости разложения (32.22). Имеем т = ( — В. р) ьвагс18(х(В.— В„р) '~~](,", откуда (32. 24) чем и определяется искомая зависимость; длительность ламинарпых периодов убывает с ростом надкритичности. В этом сценарии остается открытым как вопрос о пути подхода к его началу, так и вопрос о природе возникающей турбулентности. 8 33. Развитая турбулентность Турбулентное движение жидкости при достаточно больших значениях числа Рейнольдса характерно чрезвычайно нерегулярным, беспорядочным изменением скорости со временем в каждой точке потока (развитая, турбуленгпность); скорость все время Развитая туевулентност'ь 185 пульсирует около некоторого своего среднего значения.
Такое же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке потока, рассматриваемого в заданный момент времени. В настоящее время полной количественной теории развитой турбулентности еще не существует. Известен, однако, ряд важных качественных результатов, изложению которых и посвящен настоящий параграф.
Введем понятие о средней скорости движения, получающейся в результате усреднения по большим промежуткам времени истинной скорости в каждой точке пространства. При таком усреднении нерегулярность изменения скорости сглаживается и средняя скорость оказывается плавно меняющейся вдоль потока функцией. Мы будем в дальнейшем обозначать среднюю скорость буквой и.
Разность хс' = и — и между истинной и средней скоростями, обнаруживающую характерное для турбулентности нерегулярное изменение,мы будем называть пульсациоп; ной частью скорости. Рассмотрим подробнее характер накладывающегося на усредненный поток нерегулярного, пульсационпого, движения. Это движение можно в свою очередь качественно рассматривать как результат наложения движений (турбулентных тгульсиций) различных, как мы будем говорить, масштабов (под масштабом движения подразумевается порядок величины тех расстояний, на протяжении которых существенно меняется скорость движения).
По мере возрастания числа Рейнольдса появляются сначала крупномасштабные пульсации; чем меныпе масштаб движения тем позже такие пульсации появляются. При очень больших числах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до очень малых. Основную же роль в турбулентном потоке играют крупномасштабные пульсации, масштаб которых --. порядка величины характеристических длин, определяющих размеры области, в которой происходит турбулентное движение; в дальнейшем будем обозначать порядок величины этого основного (или внешнего) масштаба турбулентного движс"ния посредством й Эти крупномасштабные движения обладают наибольшими амплитудами.
Их скорость по порядку величины сравнима с изменениями ьхи средней скорости на протяжении расстояний 1 (ыы говорим здесь о порядке величины не самой скорости, а ее изменения, поскольку именно оно характеризует скорость турбулентного движения; абсолютная же величина средней скорости может быть произвольной в зависимости от того, в какой системе отсчета рассматривается движение) ') . Что же касается частот этих крупномасштабных 1 ) В действительности, по-видимому, масштабы основных пульсаций в несколько раз меныпе, чем характерные размеры й а их скорость — в несколько раз меньше, чем Ьи.
186 гмгв! люп ность гл !!! пульсаций, то они порядка отношения и/1 средней скорости и (а не ее изменения Ьи) к размерам Е Действительно. частота определяет период повторяемости картины движения, наблюдаемой из некоторой неподвижной системы отсчета. Но относительно такой системы вся эта картина движется вместе со всей жидкостью со скоростью порядка и. Х1елкомасштабпые же пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно меньшими амплитудами. Их можно рассматривать как мелкую детальную структуру, накладывающуюся на основные крупномасштабные турбулентные движения. В мелкомасштабных пульсациях заключена лишь сравнительно малая часть всей кинетической энергии жидкости.
Из описанной картины турбулентного движения можно сделать заключение о характере изменения пульсационной скорости вдоль потока (рассматриваемого в заданный момент времени). На протяжении больших расстояний (сравнимых с 1) изьленение пульсационной скорости определяется изменением скорости крупномасштабных пульсаций и потому сравнимо по величине с Ьи. На малых же (по сравнению с 1) расстояниях оно определяется мелкомасштабными пульсациями и потому мало по сравнению с Ьи (но велико по сравнению с изменением средней скорости на том же малом расстоянии). Такая же картина иълеет ьлесто! если наблюдать изменение скорости со временем в заданной точке пространства. На протяжении малых (по сравнению с характеристическим временем Т 1/!!) интервалов времени скорость испытывает незначительные изменения; в течение же больших промежутков времени скорость меняется на величины Ьи.
В число Рейнольдса В., определяющее свойства течения жидкости в целом, в качестве характеристических размеров входит длина Е Наряду с таким числом, можно ввести качественное понятие о числах Рейнольдса турбулентных пульсаций различных масштабов. Если Л -- масштаб пульсаций, а пх.- порядок величины их скорости, то Йх гАЛ!!и. Это число тем меныпе, чем меньше масштаб движения. При больших В, велики также и числа Рейнольдса КА крупномасштабных пульсаций. Но большие чиш!а Рейнольдса эквивалентны малым вязкостям.
Отсюда можно заключить, что для крупномасштабного движения, являющегося как раз основным во всяком турбулентном потоке, вязкость жидкости нс играет роли. Поэтому в крупномасштабных пульсациях пе происходит и заметной диссипации энергии. Вязкость жидкости становится существенной только для самых ыелкоь!асппабных пульсации, для которых НА 1 (масштаб Ле этих пульсаций будет определен ниже в этом параграфе). Именно в этих мелкомасштабных пульсациях, не сутцественных 187 Развитая тугвулеитиогт'ь с точки зрения общей картины движения жидкости в турбулентном потоке, и происходит диссипация энергии. Мы приходим, таким образом, к следующему представлению о диссипации энергии при турбулентном движении (Ь.
Ргггпагс1- зоп. 1922). От пульсаций с бблыпими масштабами энергия переходит в пульсации с меньшими масштабами, практически не диссипируясь при этом. Можно сказать, что имеется как бы непрерывный поток энергии от крупно- к мелкомасштабным пульсациям, т. е. от малых частот к большим. Этот поток диссипируется, т. е. кинетическая энергия переходит в тепло, в самых мелкомасштабных пульсациях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
