VI.-Гидродинамика (1109684), страница 34
Текст из файла (страница 34)
171 ПКРкходктуРьульнтпости изображены две последовательные такие бифуркации; на рисунках и, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 4То, а штриховыми--. ставшие неустойчивыми предыду1цие циклы. Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за, точку х = О, то вблизи пее отображение, описывающее бифуркацикэ удвоения периода можно представить в виде раз- ложения Устойчивые циклы — — Неустойчивые циклы Щ(2) ~В,— Н1~ 1-Ь Д (32.4) которые и соответствуют устойчивому предельному циклу удвоенного периода '); преобразование (32.3) оставляет каждую из этих точек на месте, а преобразование (32.2) переводит каждую из них в другую.
Подчеркнем, что цикл единичного периода при ') Коэффициент при Н вЂ” Н1 может быть обращен в единипу соответствующим переопределением Н, а коэффициент при х1 обращен в +1 переопределением х, (что и предполагается в (32.2)). ) Или, как мы будем говорить для краткости, 2-циклу. Относящиеся к нему неподвижные точки будем называть элеменьчоыи цикла. х ьз — — — (1+ (В.— В~))х +х2+ рхэ (322) где 13 > О ') . При В. < Вг неподвижная точка х, = О устойчива, а при В.
> Вч неустойчива. Чтобы увидеть,как происходит удвоение периода, надо итерировать ! отображение (32.2) дважды, т. е. рассмотреть его за два шага (две 1 единицы времени) и определить 1 неподвижные точки вновь полученного отображения; если они существу1от и устойчивы, то они и отвечают циклу удвоенного периода. Двукратная итерация преобра- Рис. 20 зования (32.2) приводит (с нужной точностью по малым величинам х и  — Вг) к отображению х'з 2 = х + 2( — Вг)х' — 2(1 + Д)х)з. (32.3) Оно всегда имеет неподвижную точку х„= О. При В < Вг эта точка единственна и устойчива (мультипликатор ~дхуь2/дх ~ < < 1); для движения с периодом 1 (в единицах То) интервал времени 2 .
тоже период. При В = В1 мультипликатор обращается в +1 и при В > Вг точка х, = О становится неустойчивой. В этот момент рождается пара устойчивых неподвижных точек 172 тхгга люп ность гг! 111 описанной бифуркагтии не исчезает он остается решением уравнений движения, но неустойчивым. Вблизи бифуркации движение остается еще кпочти периодическими с периодом 1: точки последовательных возвратов траек- 00 г2) 00 (2) торин х, и х„близки друг к другу. Интервал х„— х„между ними является мерой амплитуды колебаний с периодом 2; опа растет с надкритичностью как (В. — Й.г) аналогично закону 1,12 (26.10) возрастания амплитуды периодического движения после его возникновения в точке потери устойчивости стационарным движением.
Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем опи следуют друг за другом (по мере увеличения )г) через все убывающие интервалы; последовательность критических значений Лы Л2, ... стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает сложный апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности.
Мы увидим, гто этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариаптности (М.Х г'егдепбаит, 1978) ') . Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении Л) настолько быстро, что даже в промежутках между ниьии занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной. и вся постедовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра. Выбор рассматриваемого ниже отображения естествен в силу следующих соображенигь В значительной части интервала изменения переменной х отображение должно быть «растягивающим», ф(х; Л)гдх~ ) 1, это дает возможность возникновения неустойчивостей.
Отображение должно также возвращать траектории, выходящие за границы некоторого интервала, обратно в него; противное означаю бы неограниченное возрастание амплитуд пульсаций скорости, что невозможно. Обоим этим требованиям вместе могут удовлетворять лишь цемонотопные функции )'(х; Л)., т. е. не взаимнооднозначные отображения (32.1): значение х тг однозначно определяется предшествующим значением х, но не наоборот.
Простейший вид такой функции функция 1 ) Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далее порядковыми номерами 1, 2, ... ) не обязательно должна начинаться с первой же бифуркщии периодического движония. Она может, в принципе, начаться и после нескольких первых бифуркаций с возникновением несоизмеримых частот, после их синхронвзации за счет рассмотренного в З 30 механизма.
1У3 ПКРкхОд к туРьульнтпОсти с одним максимумом: в окрестности максимума положим х.т1 = 1(х„; Л) = 1 — Лх~, (32.5) где Л положительный параметр, который надо рассматривать (в гидродинамическом аспекте) как возрастающую функцию 8. ') . Примем ушювно отрезок [ — 11+Ц как интервал изменения величины х; при Л между 0 и 2 все итерации отображения (32.5) оставляют т в этом жс интервале. Преобразование (32.5) имеет неподвижную точку корень уравнения т, = 1 — Лх~. Эта точка становится неустойчивой при Л ) Л1, где Л1 значение параметра Л, для которого мультипликатор )т = — 2Лх, = — 1; из двух написанных уравнений находим Л1 = 3/4. Это первое критическое значение параметра Л, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления 2-цикла.
Проследим за появлением последу.ющих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения. Повторив преобразование (32.5) дважды, получим ш,эз = 1 — Л+ 2Л~хз — Л~т (32.6) Пренебрежем здесь последним слагаемым четвертой степени по х .
Оставшееся равенство масштабным преобразованием ') тз — г шу!гто: сто = 1П1 — Л) приводится к виду щзез = 1 — Л1л ., 2 З1 отличающемуся от (32.5) лишь заменой параметра Л на Л1 = ~Р(Л) = 2Лз(Л вЂ” 1). (32.7) 1 ) Подчеркнем, что допустимость не взаимно-однозначных отображений связана с приближенностью одномерного рассмотрения. Если бы все траектории располагались строго на одной поверхности Е (так что отображение Пуанкаре было бы строго одномерным), подобная неоднозначность была бы невозможна: она о:«начала бы пересечение траекторий 1две траектории с различными х пересекались бы в точке я «1).
В этом же смысле следствием приближенности является возможность обращения в нуль мультипликатора — если неподвижная точка отображения расположена в экстремуме отображающей функции (такая точка может быть названа «сверхустойчивой» -- приближение к ней происходит по закону более быстрому, чем указанный выше). ) Это преобразование невозможно при значении Л = 1 (при котором неподвижная точка отображения (32.б) совпадает с центральным экстремумом: т. = О). Это значение, однако, заведомо не является интересующим нас кчедующим критическим значением Л1. 174 гл и! гя ылви"!ность Повторяя эту операцию с масштабными множителями о! = 1!!(1 — Л1) ..., получим ряд последовательных отображений того же вида: графически они Очевидно, что даются построениев!, показанным на рис. 21. при ьч -у оо последовательность этих чисел сходится к конечному пределу Л, корню уравнения Л , = !р(Л, ); он равен Л, = (1 + у 3)/2 = 1,37.
К конечному пределу стремятся и масштабные множители: сгт — ~ — + сг, где а = 1,1(1 — Л„) = — 2,8. Легко найти закон, по которому происходит приближение Л,„, к Л, при больших гп. Из уравнения Л = Эз(Л т1) при малых разностях Л, — Л находим Л!ю Лтт! (Лес Лт)! (32.9) Рис. 21 д где б = !Р'(Лоо) = 4+ъгЗ = 5,73.
ДРУгими словак!и, Л, — Л ос д"', т. е. значения Л приближаются к пределу по закону геометрической прогрессии. По такому же закону меняются интервалы между последовательными критическими числами: (32.9) можно переписать в эквивалентном виде Л„Л., (Л„Л). (32.10) В гидродинамическом аспекте, как уже указывалось, параметр Л надо рассматривать как функцию числа Рейнольдса, соответственно чему появляются критические значения последнего, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода и стремящиеся к конечному пределу В.. Очевидно, что ! ) Во избежание недоразумений подчеркнем, что после произведенных масштабных преобразований отображения (32.8) должны быть определены теперь на растянутых интервалах ~х) < ~ооо!...о !~ (а не на ~х~ < 1, как в (32.3), (32.6)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
