VI.-Гидродинамика (1109684), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Таким образом, достаточно рассматривать только двумерные (как и ) См. книгу: Лань Цзл-Чало. Теория гидродинамической устойчивости. — 51.: ИЛ, 1958 )Ьгп С.С. ТЬс ьйеогу оГ Ьубго<1упазп1с всаЬ11йу.— Сапзьг148е, 1955). Изложение этих, а также и более поздних исследований по данному вопросу дано в указанной в примеч. на с. 145 книге Дразина и Рейда. 150 гл и1 тх ьл'лшш'ность основное течение) возмущения в плоскости хр., не зависящие от координаты з ').
Нейтральная кривая для течения между плоскостями изображена схематически на рис. 1?. Заштрихованная область внутри кривой область неустойчивости ') . Наименыпее значение В., при котором появляются незатухающие возмущения, оказывается равным В р —— 5772 (по более поздним уточненным расчетам, Я.А. Отззай, 1971); число Рейнольдса определено здесь как В, = Гшах6/(2п), (28.4) где Гшах максимальная скорость течения, а 6/2-. половина расстояния между. Р плоскостями, т.
е. расстояние, на котором скорость возрастает от нуля до максимума ') . Значению В = В. р отвечает волновой вектор возмущения 6кр — — 2,04/6. При  — э со обе ветви нейтральной кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс по законам ~"67 Гшах В и оз)л(Гтах соответственно для верхней и нижней ветвей: при этом на обеих ветвях оз и й связаны соотношениями вида оз6/à — (66) . Таким образом, для всякой отличной от нуля частоты оз, не превьппающей определенного максимального значения ( Г/6), существует конечный интервал значений В, в котором возмущения усиливаются ") . Интереслго, что малая, но конечная вязкость Рис.
17 ') Доказательство этого утверждения (Н.В. Ядий е, 1933) состоит в том, что система уравноний (26.4) для возмущений вида (26.2) может быть приведена к виду, в котором она отличается от уравнений для двумерных возмущений лишь заменой В. на Всосу, где уэ — угол между 1с и че (в плоскости кг). Поэтому критическое число В р для трехмерных возмущений (с заданным к) В„р — — В р/ сое ш > В,ю где В р вычислено для двумерных возмущений.
) Нейтральная кривая в плоскости )сВ имеет аналогичный вид. Поскольку на нейтральной кривой вещественны как ш, так и 13 то эти кривые в обоих плоскостях — это одна и та же зависилюсть, выраженная в различных переменных. з) В литературе используется также н другое определение В,для плоского пуазейлевого течения — как отношения 6Г/и, где à — средняя (по сечению) скорость жидкости. Ввиду равенства Г = 2С, /3, имеем ВГ/и = 4В/3, где В определено согласно (28.4). ) Доказагельство конвективного характера неустойчивости плоского пуазейлсвого течения дано в статье: Иорданский С.В., Куликоесхий А.Г.
О ЖЭТФ. 1965. '1'. 49. С. 1326. Доказательство, однако, относится лишь к области очень больших значений В, в которой обе ветви нейтральной кривой близки к оси абсцисс, т. е. на обоих ветвях кй « 1. Для чисел В, при которых па нейтральной кривой кй 1, вопрос остается открытым. уотОЙИВВОО'1'ь двиисвиии ИО '1'Рувв 151 жидкости оказывает в данном случае в известном смысле дестабилизирующее влияние на устойчивость по сравнению с тем, что имело бы место для строго идеальной жидкости ') . Действительно, при В. — г оо возмущения со всякой частотой затухают; при введении же конечной вязкости мы в конце концов попадем в область неустойчивости, пока дальнейшее увеличение вязкости (уменыпение В.) не выведет снова из этой области. Для течения в трубе кругового сечения полное теоретическое исследование устойчивости еще отсутствует, но имеющиеся результаты дают веские основания гюла1ать, что это движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям (как в абсолютном, так и в коивективном смысле) при любых числах Рейнольдса.
В силу аксиальной симметрии основного течения, возмущения можно искать в виде у1 — ее(п Р+ь е)тЯ (28.5) (как и в (27А)). Можно считать доказанным, что осесимметричные (и = 0) возмущения всегда затухают. Среди исшгедованных неосесимметричных колебашлй (с определенными значениями п в определенных интервалах значений числа Рейнольдса) тоже не оказалось незатухающих. На устойчивость течения в трубе указывает и то обстоятельство, что при очень тщательном устранении возмущений у входа в трубу удается поддерживать лаллинарное течение до очень болыпих значений В (фактически его удавалось наблюдать вплоть до В 10", где В = П ввф(2и) = Гс1/и, (28.6) диаметр трубы, Г7 скорость жидкости на оси трубы). Течение между плоскостями и течение в трубе кругового сечения можно рассматривать как предельные случаи течения в трубе кольцевого сечения, т.
е. между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями (радиусов Л1 и Лз, Лз ) Л1). При Л1 = 0 мы возвращаемся к трубе кругового сечения, а пределу Л~ — у Лз отвечает течение между плоскостями. По-видимому, критическое число В р существует при всех отличных от нуля значениях отношения Л1/Ля < 1, а при Л1/Лз — г 0 оно стремится к бесконечности. Для всех этих пуазейлевых течений существует также критическое число В,',, определяющее границу устойчивости по отношению к возмущениям конечной интенсивности.
При В < В.',„ в трубе вообще не может существовать незатухающего нестационарного движения. Если в каком-либо участке возникает турбулентность, то при В < В,',„ турбулентная область, сносясь вниз ') Это свойство было впервые обнаружено Гепзенбергеге ( И', Неегеиьеср, 1994). 152 тугь«люн ность гл н1 по течению, в то же время сужается, пока не исчезнет совсем; напротив, при В > В'. она будет с течением времени рас|пиряться, захватывая все больший участок потока. Если возмущения течения непрерывно происходят у входа в трубу., то при В. ( В' они непременно затухнут на некотором расстоянии от входа, сколь бы сильны они нс были. Напротив, при В > В',р движение станет турбулентным на всем протяжении трубы, причем для этого достаточны тем более слабые возму.
щения, чем больше В. В интервале между В'р и В,р ламинарное течение метастабильно. Для трубы крутового сечения незатухающая турбулентность наблюдалась уже при В 1800, а для течения между параллельными плоскостями на алиная с В. — 1000. Ввиду «жесткости срыва ламинарного течения в трубе, он сопровождается скачкообразным изменением силы сопротивления.
При течении по трубе при В. > В,', имеется, по существу, два различных закона сопротивления (зависимости силы сопротивления от В.) —. один для ламинарного и другой для турбулентного течений (см. ниже 8 43). При каком бы значении В ни произошел переход одного в друтое, сила сопротивления испытывает скачок. В заключение этого параграфа сделаем еще следующее замечание. Граница устойчивости (пейтралыьзя кривая), полученная для течения в неограниченно длинной трубе, имеет еще и другой смышь Рассмотрим течение в трубе очень большой (по сравнению с ее шириной), но конечной длины. Пусть на каждом из ее концов поставлены определенные граничные условия.
задан профиль скорости (например, можно представить себе концы трубы закрытыми пористыми стенками, создающими однородный профиль); везде, за исключением концевых отрезков трубы, профиль (невозмущенный) скорости можно считать пуазейлевским, не зависящим от йь Для определенной таким образом конечной системы можно поставить задачу об устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям (общий метод установления критерия такой устойчивости, которую называют глобальной, описан в Х, 8 65).
Можно показать, что упомянутая выше нейтральная кривая для бесконечной трубы является в то же время границей глобальной устойчивости в конечной трубе, независимо от конкретных граничных условий на ее концах ') . 8 29. Неустойчивость тангенциальных разрывов Движением несжимаемой жидкости, неустойчивым в идеальной жидкости, являются течения, при которых два слоя жидкости двигались бы друг относительно друга, «скользя» один по ') См.
Куликовский А.П У/ Прикл. маь н мех. 1988. Т. 32. С. 112. 153 ИВУСТОЙЧИВОСТЬ '1АИГВИЦИАЗ!Ы1ЫХ РАЗРЫВОВ д" д ' ~У вЂ” +И вЂ” =— д«дл Л Если применить к обеим его частям операцию первого уравнения мы по«учим слева нуль, так удовлетворять уравнению Лапласа Ьр' = О. (29.1) «11у! то в силу что р должно (29.2) Пусть «', = «',(л« 1) есть смещение вдоль оси В точек поверхности разрыва при возмущении.
Производная д~/д1 есть скорость изменения координаты «, «юверхности при заданной координате ах Поскольку нормальная к поверхности разрыва компонента скорости жидкости равна скорости перемещения самой поверхности, то в требуемом приближении имеем — = Ю вЂ” И— (29.3) д« ' дл (для «1,' надо, конечно, брать ее значение па самой поверхности). другому, :поверхность раздела между этими двумя слоями жидкости была бы поверхностью тангенциального разрыва, на которой скорость жидкости (паправле««ная по касательной к поверхности) испытывала бы ока «ок (Н.
НВ1пи«О1«В, 1868; ИГ. КВ11!1«1, 1871). В дальнейшем мы увидим, к какой картине фактически осуществляющегося движения приводит эта неустойчивость Я 35); здесь же проведем доказательство сделанного утверждения. Рассматривая небольшой участок поверхности разрыва и течение жидкости вблизи пего, мы можем считать этот участок плоским, а скоРости ч«и Уя жиДкости по обеим его стоРонам постоянными. Пе ограничивая общности, можно считать, что одна из этих скоростей равна нулю; этого всегда можно добиться соответствующих«выбором системы координат. Пусть уз = О, а тг«обозначим просто как тг: направление у выберем в качестве оси я, а ось В направим по нормали к поверхности.
Пусть пов«рхность разрыва испытывает слабое возмущение («р!«бьа), при котором все величины координаты точек самой поверхности, давление и скорость жидкости.-.являются периодическими функциями, пропорциональными ейьВ "О. Рассмотрим жидкость с той стороны от поверхности разрыва, где ее скорость равна у, и обозначим через т«' малое изменение скорости при возмущении. Согласно уравнениям (26.4) (с постоянным уо = тг и л = О) имеем для возмущения тг' следующую систему: 61 '=О, — +, ) '= — '". д« л Поскольку у направлено по оси х, то второе уравнение можно переписать в виде 154 тмевялннтность Гл ш Будем искать р~ в виде т (в)ес(аи — мс) Подстановка в (29.2) дает для 1'(г) уравнение Ц вЂ” а2У=О, откуда ) = сопз1 е-~'. Пусть пространство с рассматриваемой стороны поверхности разрыва (сторона 1) соответствует поло- жительным ю Тогда мы должны взять у = сопз$ е ', так что р1 — — сопв1 еч ~)е (29.4) Подставляя это выражение в г-компоненту уравнения (29.1), найдем ') )с ' 6'.
(29.5) грййе — ы) Смещение С тоже ищем в виде, пропорциональном такому же чкспоненциальному множителю емвт а'), и получаем из (29.3) нв = зС(ап — оз). Вместе с (29.5) это дает р1(Ь~ — м) (29.6) й Давление р2 по другую сторону поверхности выразится такой же формулой, в которой надо теперь положить п = О, и, кроме того, изменить общий знак (соответственно тому, что в этой области з ( О и все величины должны быть пропорциональны еь', а не е ьв), Таким образом, р' =~'„ (29.7) Мы пишем различные плотности р~ н р2, имея в виду охватить также и случай, когда речь идет о границе раздела между двумя различными несмешивающимися жидкостями.
Наконец, из условия равенства давлений р1 и р~2 на поверхности разрыва получаем Р11ьн Ы) Рзы откуда находим искомую зависимость между ы и Й: р1 л 1,,(р1ля ю=)сн Р1+ Ре 1 ) Случай ае = ы, в принципе возможный, нас не интересует, так как неустойчивость может быть связана только с комплексными, а не вещественными частотами м. 130 КВАЗИНКРИОДИ 1КСКОВ ДВИЖКИИВ И ОИПХРОГ1ИЗЛЦИЯ 155 Мы видим,что ц1 оказывается комплексной величиной,.причем всегда имеются ц1 с положительной мнимой частью. Таким образом, тангенциальные разрывы неустойчивы —.
уже по отношению к бесконечно малым возмущениям ') . В таком виде этот результат относится к сколь угодно малой вязкости. В этом случае не имеет смысла различать неустойчивость спосового типа от абсолютной неустойчивости, поскольку с увеличением г' мнимая часть ц1 неограниченно возрастает, и потому коэффициент усиления возмущения при его сносе может быть сколь угодно велик. При учете конечной вязкости тангенциальный разрыв теряет свою резкость; изменение скорости от одного до другого значения происходит в слое конечной толщины. Вопрос об устойчивости такого движения в математическом отношении вполне аналогичен вопросу об устойчивости в ламинарном пограничном слое с перегибом в профиле скоростей 13 41). Экспериментальные данные и численные расчеты показывают, что в данном случае неустойчивость наступает очень рано, возможно даже, что всегда е) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
