VI.-Гидродинамика (1109684), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Действительно, оценим член (ИЧ) 4г. Оператор (А !7) означает дифференцирование вдоль направления скорости. Но вблизи поверхности тела скорость направлена в основном по касательной. В этом направлении скорость заметно меняется .лишь на протяжении размеров тела. Поэтому (ч Г>)!г — г /1 — а ш /1 (сама скорость В иь>). Производная же дч/д1 Ви аь>'. Сравнив оба выражения, видим, что при а «1 действительно (>ги~ук<< дч/д1.
Члены же дзг/д1 и !>Ьзг имеют теперь, как легко убедиться, одинаковый порядок величины. Рассмотрим теперь характер Движения жидкости вокруг колеблющегося тела в случае выполнения условий (24.1Ц. В тонком слое вблизи поверхности тела движение является вихревым. 126 ВязкАя 1кидкость гл и В основной же массе жидкости движение потенциально ') . Поэтому везде, кроме пристеночного слоя, движение жидкости описывается уравнениями го1 хг = О, Жу ъ" = О.
(24.12) Отсюда следует, что и с зг = О, а потому уравнение Навье. Стокса переходит в уравнение Эйлера. Таким образом, везде, кроме пристеночного слоя, жидкость движется как идеальная. Поскольку пристеночный слой тонкий, то при решении уравнений (24.12) с целью определения движения в основной массо жидкости следовало бы взять в качестве граничных условий те условия, которые должны выполняться на поверхности тела, т.
е. равенство скорости жидкости скорости тела. Однако решения уравнения движения идеальной жидкости не могут удовлетворить этим условиям. Можно потребовать лишь выполнения этого условия для нормальной к поверхности компоненты скорости жидкости. Хотя уравнения (24.12) и неприменимы в пристеночном слое жидкости, но поскольку получающееся в результате их решения распределение скоростей уже удовлетворяет необходимым граничным условиям для нормальной компоненты скорости, то истинный ход этой компоненты вблизи поверхности не обнаружит каких-либо существенных особенностей.
Что же касается касательной компоненты, то, решая уравнения (24.12), мы получили бы для нее некоторое значение, отличное от соответствующей компоненты скорости тела, между тем как эти скорости тоже должны быть равными. Поэтому в тонком пристеночном слое должно происходить быстрое изменение касательной компоненты скорости. Легко определить ход этого изменения. Рассмотрим какой- нибудь участок поверхности тела, размеры которого велики по сравнению с о,но малы но сравнению с размерами тела. Такой участок можно рассматривать приближенно как плоский и потому можно воспользоваться для пего полученными выше для плоской поверхности результатами.
Пусть ось т направлена по направлению нормали к рассматриваемому участку поверхности, а ось у по касательной к нему, совпадающей с направлением тангенциальной составляющей скорости элемента поверхности. Обозначим через еу касательную компоненту скорости движения жидкости относйтельно тела; на самой поверхности 11у должно обратиться в пуль. Пусть, наконец, пое '~с есть зна- ' ) Прн колебаниях плоской поверхности на расстоянии 6 затухает не только гоея, но н сама скорость я. Это связано с том, что плоскость при своих колебаниях не вытесняет жидкости и потому жидкость вдали от нее остается вообще неподвижной. При колебаниях же тел другой формы происходит вытеснение жидкости, в резулыате че1о она приходит в движение, скорость которого заметно затухает лишь на расстояниях порядка размеров тела.
кслввлтклыюк движкиив в вязкой жидкости 127 1 24 чение ию получающееся в результате решения уравнений (24.12). На основании полученных в начале этого параграфа результатов мы можем утверждать, что в пристеночном слое величина и„будет падать по направлению к поверхности по закону ') ив — — иое чс'(1 — ехр [ — (1 — г)х,ую/2л) ), (24.13) Наконец, полная диссипируемая в единицу. времени энергия будет равна интегралу (24.14) взятому по всей поверхности колеблющегося тела. В задачах к этому параграфу вычислены силы сопротивления, действующие на различные тела, совершающие колебательное движение в вязкой жидкости.
Сделаем здесь следующее общее замечание по поводу этих сил. Написав скорость движения тела в комплексном виде и = иос ™, мы получаем в результате силу сопротивления Г, пропорциональную скорости и, тоже в комплексном виде г = Ди, где Д = Дл +1Д2 —. комплексная постоянная; это выражение можно написать как сумму двух членов: Е = (Дг + гД2)и = Дли — — 'и, (24.15) пропорциональных соответственно скорости и и ускорению и с вещественными коэффициентами.
Средняя (по врелгени) днссиггация энергии определяется средним значением произведения силы сопротивления и скорости; при этом, разумеется, следует предварительно взять вещественные части написанных выше выражений, т. е. написать: и = -(иое ' '+ иое' '), 2 г = — (иоДе '"'+ иоД*е' '). 2 Замечая, что средние значения от е~~™ равны нулю, получим Е,„„= Ри = -(Д+Д*)~ив~~ = — '~гго~~ (2416) Таким образом, мы видим, что диссипация энергии связана только с вещественной частью величины Д; соответствующую (пропорциональную скорости) часть силы сопротивления (24.15) можно позвать дислсиггатиеной. Вторую же часть этой силы, пропорциональную ускорению (определяющуюся мнимой частью Д) ') Распределение скоростей (24.13) написано в системе отсчета,в которой твердое тело покоится (оэ — — 0 при к = 0).Поэтому в качестве ьо надо брать решение задачи о потенциальном обтекании жидкостью неподвижного тела.
128 Вязкая жидкОсть гл и и не связанную с диссипацией энергии, можно назвать инерционной. Аналогичные соображения относятся к моменту сил, действующих на тело, совершающее вращательные колебания в вязкой жидкости. Задачи 1. Определить силу трения, действующую на каждую из двух параллельных твердых плоскостей, между которыми находится слой вязкой жидкости, причем одна из плоскостей совершает колебательное движение в своей плоскости. Р е ш е н и е. Ищем реонение уравнения (24.3) в виде ') е = (Авшбх-с Всоойх)е и определяем А и В из условий е = и = иое '"о при х = О и е = О при х = 6. (6 — расстояние между плоскостями). В результате получаем гйп 6(6 — х) с=и вщ 66 Сила трения (на единицу поверхности) на движущейся плоскости равна де~ Р1о = О ~ = — 6инссб66, дхс=о и на неподвижнои де пби Роо — — — и— дх~ =о о)п66 (везде подразумеваются вещественные части соответствующих выражений), 2.
Определить силу трения, действующую на колеблющуюся плоскость, покрытую слоем жидкости (толщины 6), верхняя поверхность которого свободна. Р е ш е н и е. Граничные ус;юаня на твердой плоскости: е = и при х = = О, а на свободной поверхности и „= пдю/дх = О при х = 6. Скорость сов /с(6 — х) и=и соо 66 Сила трения Ро: и: яи6 ФК 66. де дх *=-о 3. Плоский диск большого радиуса В совершает вращательные колебания вокруг своей оси с малой амплитудой (угол поворота ласка и = ио соз ый Во (( Ц; определить момент сил трения, действующих на диск.
Р е ш е н и е. Для колебаний с малой амплитудой член (е е )е в уравнении движения всегда мал по сравнению с де~до независимо от величины частоты ы, Если Л»б, то при определении распределения скоростей плоскость диска люжно считать неограниченной. Выбираем пилиндрические координаты с осью х по оси вращения и ищем решение в виде е„= е, = О, и е„= е = = гй(о, С). Для угловой скорости жидкости П(х, 1) получаем уравнение дП дой д1 дов ') Во всех задачах к отому параграфу 6 и б определены согласно (24.4). колввлтвльноь движкниь в вязкой жидкости 129 Решение этого уравнения, обращающееся в — ц2Во э1пц11 при " = 0 и в нуль при г = со, есть П= — Вс ' 1п(Л вЂ” — ).
—.12 . 1' б Момент сил трения, действующих на обе стороны диска, равен дс 7 хт ЯГ = 2 / г 2хгу — Вг = шВох, IБВЛК соэ~э21 — — ). дх ==о 4 о 4. Определить движение жидкости между двумя параллельными плос- костями при ню1ичии градиента давления, меняющегося со временем по гар- моническому закону. Р е ш е н и е. Выбираем плоскость тс посередине между обеими плос- костями; ось я направлена по градиенту давления, который пишем в виде 1 др — — — = ае р дх Скорость направлена везде по оси в и определяется уравнением д11, д2ю — =ае -Ьц —.
д1 ду2 Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям с = 0 при у = ш6/2, есть га,, ~ соя йу соэ (к11/21 Среднее (по сечению) значение скорости равно 1а,1/ 2 Ы1 с= — е ™21 — — Ся — ). а2 ~, к12 2 ) При 11/б « 1 это выражение переходит в 02 у ае 12р в согласии с (17.5/, анри 6/б » 1 получается с — е в соответствии с тем, что в этом случае скорость должна быть почти посто- янной вдоль сечения и заметно меняется лишь в узком пристеночном слое.
5. Определить силу сопротивления, испытываемую шаром (радиуса 77), совершающим в жидкости колебательное поступательное движение. Р е ш е н и е. Скорость шара и = псе *"'1. Аналогично тому, как мы поступали в з 20, ищем скорость жидкости в виде ч = е " го1 гас /па, где / — функция только от г (начало координат выбираем в точке нахожде- ния центра шара в данный момент времени). Подставляя в (24.9) и произво- дя преобразования, аналогичные произведенным в з 20, получаем уравнение Ь /-Ь вЂ” Ь/=0 (вместо уравнения 2з~/ = 0 в 2 2% Отсюда имеем е' ' г'.2/ = сог1ьт .
б Л. Д. Ландау я Е.М. Лифшиц, том М1 1ЗО гл гг Вязкля жидкОсть решение выбрано экспоненциально затухающее, а не возрастающее с г, Ин- тегрируя,получасм Л 1 Г2тр г' 2Л'Г г4и Р = бяпЛ (1 -~- — ) и 4- ЗггЛ ~ (1 -г — ) †. б) ш г, Об)Ж (3) При ы = 0 эта формула переходит в формулу Стокса. При больших же частотах получается 2гг э г1и э Е = — рЛ вЂ” 4- ЗхЛ;/20раг и, 3 г11 Первый член в этом выражении соответствует инерционной силе при потенциальном обтекании шара гсм.
задачу 1 3 11), а второй дает предельное выражение для диссипативной силы. Этот второй шен можно было бы найти и путем вычисления диссипируемой энергии по формуле Г24.14) Гор. следующую задачу). 6. Найти предельное 1при больших частотах, б «Л) выражение диссипатнвной силы сопротивления, действующей на бесконечный цилиндр градиуса Л), совершающий колебания в направлении перпендикулярном своей оси.
Р е ш е н и е. Распределение скоростей вокруг обтекаемого в поперечном направлении неподвижного цилиндра дается формулой л~ и = —,~2пгцп) — ц) — и гэ гсвг. задачу 3 к 3 10). Отсюда находим для танггпциалыюй скорости на поверхности цилиндра: ие = — 2из1гг сг Гг, гр — полярные координаты в поперечной плоскости: угол Эг отсчитывается от направления и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
