VI.-Гидродинамика (1109684), страница 20
Текст из файла (страница 20)
вывод обратного условия (20.16)); это и есть те расстояния, на которых движение жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Однако такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в области внутри следа, поскольку здесь поперечные производные дхт,1'дУ~, дхт1/дХ~ ВЕЛИКИ ПО СРаВНЕНИЮ С ПРОДОЛЬНОЙ ПРОИЗВОД- ной д~Аг~дх~. Пусть 1 порядок величины ширины следа, т. е, тех расстояний от оси х, на которых скорость тг заметно падает.
Тогда порядки величины членов в уравнении Навье — Стокса: дх Г1в д'х кх (т1T)м - à — - —, мАтч - 1х — - —. дх х дуз Уз Сравнив эти величины, найдем У = (пх11Г) '1'. (21.3) Эта величина действительно маз1а но сравнению с х ввиду предположепного условия Гх11м» 1. Таким образом, ширина ламинарного следа растет пропорционально корню из расстояния до тела. Чтобы определить закон убывания скорости в следе, обратимся к формуле (21.1). Область интегрирования в ней У~. 105 1 21 ллминлгный след Поэтому оценка интеграла дает гх рГуУ и, использовав соот- 2 ношение (21.3), получим искомый закон; и г' /(рмх). (21.4) Выяснив качественные особенности ламинарного движения вдали от обтекаемого тела, обратимся к выводу количественных формул, описывающих картину движения в следе и вне его.
Движение внутри следа. В уравнении Навье — Стокса стационарного движения (21. 6) д», /дв», д2», ) =и~ дх Ъ дуз дх' (21. 7) Величину же ъ"2, связанную с членом — » (р/р) в исходном уравнении (21.6), можно искать в виде градиента ~7Ф от некоторого скаляра ') . Поскольку вдали от тела производные по х малы по сравнению с производными по у и х, в рассматриваемом приближении надо пренебречь членом дФ/дх, т.
е. считать и, = е1 . Таким образом, для у имеем уравнение (21. 8) дх ъ дуг д~з )' Это уравнение формально совпадает с двумерным уравнением теплопроводности, причем роль времени играет х/Г, а роль коэффициента температуропроводности вязкость и. Решение, убывающее с возрастанием д и х (при заданно»пи х), а в пределе при х з 0 приводящее к бесконечно малой ширине следа (в рассматриваемом приближении расстояния порядка размеров тела считаются малыми), есть г,, ( бГ(у 4- х~) ~ 4трых ! 4их (21.
9) ') Далее в этом параграфе потенциал скорости обозначаем как Ф, в отличие от азимутзлыюго угла х сферической системы координат. (ч»')» = — 17 и + иЬ» (21.5) Р вдали от тела используем приближение Осеена заменяем член (»»)» на (11»)» (ср. (20.17)). Кроме того, в области внутри следа можно пренебречь в Ьч производной по продольной координате х по сравнению с поперечными производными. Таким образом, исходим из уравнения д» р /дд» д~»1 à — = — »р+и( — + — ).
дх Р ду дх Ищем его решение в виде ч = »1 + ч2, где »1 решение уравнения 107 ляминагный след 1 21 (постоянная интегрирования выбрана так, чтобы Ф оставалось конечным при у = в = О). В сферических координатах (с азимутом у., отсчитываемым от плоскости ху): Ф = — " ' '' ~ехр~ — 1 — 1). (21.13) Из (21.11) (21.13) видно, что оу и н, содержат в отличие от н наряду с членами, экспоненциально убывающими с увеличениетл 0 (при заданном г), также и члены, значительно менее быстро убывающие при удалении от оси следа (как 1/02).
Если г1одъемная сила отсутствует, то движение в шгеде осесимметрично и Ф = О ') . Движение вне следа. Вне следа течение жидкости можно считать потенциальныы. Интересуясь лишь наименее быстро убывающими на больших расстояниях членами в потенциале Ф, ищем решение уравнения Лапласа в виде суммы двух членов: (21.14) Первый член здесь сферически симметричен и связан с силой Гя, а второй симметричен относительно плоскости тр и связан с силой Ею Для фу.пкции 1(0) получаем уравнение — ~яйг0 — ) — = О.
д /. б11 Гв 1' Тв) в1п в Решение этого уравнения, конечное при 0 — + я, есть 7 = Ьс13 —. (21.15) 2 Коэффициент 6 можно определить из условия сшивки с решением внутри следа. Дело в том, что формула (21.13) относится к области углов 0«1, а решение (21.14) к области 0»(и7'1суг)) и'. Эти области перекрываются при (уг7 Бг) и'«0«1, причем (21.13) сводится здесь к Ег сов р 2лрГ гд ') Таков, в частности, след за обтекаемым шаром. Отметим в этой связи, что полученные формулы (как и формула (21.1б) ниже) находятся в согласии с распределением скоростей (20.24) при обтекании с очень малыми числами Рейнольдса; в этом случае вся описанная картина отодви1 ается на очень большие расстояния г» 1/й (1 — размеры тела). 108 ГЛ 11 вязкхя жидкость а второй член в (21.14) к 26сов~р~(тй). Сравнив обавыражсния, найдем, что надо положить 6 = Рэ,1(4лгрЦ.
Для определения коэффициента а в (21.14) замечаем, что полный поток жидкости через сферу Я большого радиуса т (как и через всякую замкнутую поверхность) должен быть равен нулю. Но через часть Яо этой сферы, являющуюся площадью сечения следа, втекает количество жидкости — лляй~лЬ = — '. рлл ьо Поэтому через всю остальную площадь сферы должно вытекать столько же жидкости, т. е. должно быть к рьл о — оо В силу малости Яо по сравнению со всей площадью 5, можно заменить это условие требованием малГ = / л Фл11' = — 4яа = — *, (21.16) ррлл н н откуда а = — Го/(4лгрУ). Таким образом, собирая все полученные выражения, находим следулощую формулу для потенциала скорости: Ф = ) — Г + Е„сов рс16 -).
1 Г 0'л (21.17) йкрст 2 Этим и определяется движение во всей области вне следа вдали от тела. Потенциал убывает с расстоянием как 1/лт Соответственно скорость убывает как Цт~. Если подъемная сила отсутствует, то движение вне шледа осесимметрично. 8 22. Вязкость суспензий Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однородную среду, если мы иптересуеклгя явлениякли, характеризующимися расстояниями, болыпими по сравнению с размерами частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью л1, отличной от вязкости по основной жидкости. Эта вязкость может быть вычислена для случая малых концентраций взвешенных частиц (т.
е. суммарный объем всех частиц предполагается малым по сравнению с объемом всей жидкости). Вы лисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц (А. Эйллштейн, 1906). В качестве вспомогательной задачи необходимо предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погружеп- 100 вяэкость Оуспенэий 1 22 ный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее постоянным градиентом скорости.
Пусть невозмущенное шариком течение описывается линейным распределением скоростей схгьты (и) (22.1) где ось постоянный симметрический тензор. Давление в жидкости при этом постоянно: рС ) = согхвС; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу несжимаемости жидкости (сССт ч~~~ = 0) тензор хх,ь должен иметь равный нулю след: а„= О. (22.2) Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса Л. Скорость измененного им течения обозначим через ч = чСо~ + +хгбй); на бесконечности ъ О) должно обращаться в нуль, по вблизи пхарика чО~ отнюдь не мало по сравнению с чС~~ Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что граничное условие гласит: ъ = 0 при г = Л.
Искомое решение уравнений движения (20.1) — (21.3) может быть получено непосредственно из найденного в 3 20 решения (20.4) (с функцией 1 из (20.6)), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора гх,ь (а не от вектора и, как в 2 20). Таковым является ч = гоС гоС (сх~ГД р = йдсх,ь О) а'~у ' дт.,дях' где (схх71) обозначает вектор с компонентами ххсьд~/дты Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные и и Ь в функции 1 = аг+ Ь|т так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и да,вления: СП ~ гл' лх'х й' т = — ~ — — — ) схыг1гпьгй — — о,ьпы (22.3) 2 г' гх г" й5 Р = бхСО . Охьпгпь (22.4) гз (и единичный вектор в направлении радиус-вектора).
Переходя теперь к самому вопросу об определении эффективной вязкости суспснзии, вычислим среднее (по всему объему) значение тензора плотности потока импульса П,ы совпадающего в линейном по скорости приближении с тензором напряжений — о;ь. Интегрирование можно производить здесь по обьему И сферы большого радиуса, который затем устремляем к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
