VI.-Гидродинамика (1109684), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Произведение г'(г)п можно представить в виде градиента некоторой другой функции г'(г). Таким образом, мы будем искать скорость в виде м = и+го1 [~7~ п| = и+гоФго$~п (20.4) (в последнем равенстве учтено, что и = сопв1). Для определения функции г" воспользуемся уравнением (20.3). Имеем гоФъ = го1 гоСго1 ~п = (ягас~йг — Ь) го1 Г"и = — Агой ('и. Поэтому (20.3) принимает вид Ав гог Гп = Аы['~7 (' . п| = [Ав 1тас1 (' . и) = О, Отсюда следует, что должно быть Ь рас1(=0.
(20.5) Первое интегрирование дает Ь~~ = сопв1. Легко видеть, что сог1в1 должна быть положена равной нулю. Действительно, на бесконечности разность м — и должна ис 1езать; тем более это относится к ее производным. Выражение же Ь~~ содержит четвертые производные от (, между тем как сама скорость выражается через ее вторые производные. течение !!Ри ыллнх числлх Равно 'и дсА Таким образом, имеем 4 с1 ( 2!от') Отсюда !'!) = — + с. !' Постоянная с должна быть положена равной нулю для того, чтобы скорость ч — н исчезала на бесконечности.
Интегрируя остающееся уравненио, находим 1 =ос+в 120.6) !' 3 йв )' = — Лг+ —, 4 47 Зйп+п(пп) й и — Зп1пп) 4 г 4 тз 120.8) 120.9) Компоненты скорости в сферических координатах 1с полярной осью в направлении и): ЗД Дз и„= исовО[1 — — + —,~!, 2г 2гв 120.10) ЗВ й~) иа = — 4!в!па[1 — — — — ~. Этим определяется распределение скоростей вокруг движущегося шара.
Для определения давления подставляем 120.4) в 120.1): вегас)1! = 2)Ьч = г)Ь го1 го1 З и = г)Ь)йгЫ дт 1 и — пЬ) ). 1аддитивная постоянная в ) опущена как несущественная скорость определяется производными от )). Подстановка в 120.4) дает после простого вычисления и+ п(пп) аЗп1пп) — и 120.7) г гз Постоянные а и б должны быть определены из граничного условия ч = 0 при г = Л (на поверхности шара); п(1- ' — ')+п(пп)(-'+ ",) =О. Поскольку это равенство должно иметь место при произвольном и, то коэффициенты при и и при п(пп) должны обращаться в нуль каждый в отдельности. Отсюда находим а = ЗЛ/4, 6 = Лз,)4 и окончательно: ВязкАя жидкос'ть ГЛ И Но Ьь1 = 0 и потому ягас1р = рас1(11Ьс11и 1п) = кгас1(11пягас1 Ь1).
Отсюда (20.11) р = луп ягас1 сг| + ро (ро давление жидкости на бесконечности). Подстановка 1" приводит к окончательному выражению 3 ип Р=Ро 11, Л. 2 го (20.12) где интегрирование производится по всей поверхности шара. Подставив выражения (20.10) в формулы до, сс„„= 211 — '", дг ' (см. (15.20)), найдем, что на поверхностлл шара а„о —— — — ив1пд, зл 211 1 сс„, =О, а давление (20.12) р = ро — " совд. Зли 2Л Поэтому интеграл (20.13) сводится к выражению зли /' Окончательно находим следуюплую форзлулу Стокса для силы сопротивления, действующей на медленно движущийся в С помощью полученных формул можно вычислить силу Р давлсния текущей жидкости на шар (или, что то же, силу сопротивления, испытываемую движущимся в жидкости шаром).
Для этого введем сферические координаты с полярной осью вдоль скорости и; все величины будут в силу симметрии функциями только от г и полярного угла О. Очевидно, что сила Р направлена по скорости и. Абсолютная величина этой силы может быть определена с помощью (15.14). Определяя из этой формулы компоненты (по нормали и по касательной к поверхности) силы, приложенной к элементу поверхности шара, и нроецируя эти компоненты на направление и, найдем твчьнив пги милых чис элх Рвйно 'и дгл жидкости шар ') г = бэгЛт)и,.
(20.14) Отметим, что сила сопротивления оказывается пропорциональной первым степеням скорости и линейных размеров тела. Такая зависимость могла бы быть предсказана уже из соображений размерности. Дело в том, что в приближенные уравнения движения (20.1), .(20.2) параметр р плотность жидкости— не входит. Поэтому определенная с их помощью сила Р может выражаться только через величины г), и, Л; из пих можно составить только одну комбинацию с размерностью силы произведение Лий.
Такая же зависимость имеет место и для медленно движущихся тел другой формы. Направление силы сопротивления, в общем случае тела произвольной формы, пе совпадает с направлением скорости; в общем виде зависимость Р от и может быть написана как Л, = г)а,ьиь, (20.15) где а,ь не зависящий от скорости тензор второго ранга. Существенно, что этот тепзор симметричен. Это утверждение (справедливое в линейном по скорости приближении) является частным случаем общего закона, имеющего место для медленных движений, сопровождающихся диссипативными процессами (см.
17, 3 121). Уточнение формулы Стокса. Полученное вылив решение задачи об обтекании оказывается неприменимым на достаточно больших расстояниях от шара, несмотря па малость числа Рейнольдса. Для того чтобы убедиться в этом, оценим член (эггй~рг, которым мы пренебрегли (20.1). На больших расстояниях скорость тг и. Производные же от скорости па этих расстояниях порядка величины иЛ/г2, как это видно из (20.0). Следовательно, (тг17)и и2Л/г2. Оставленные же в уравнении (20.1) члены порядка величины г)Ли/(рг~) (как это можно увидеть из той же ) Имея в виду некоторые дальнейшие применения, укажелк что если производить вычисления, пользуясь выражением (20.7) лля скорости с неопределенными постоянными а и 6, то получится Е = 8каон, (20.14а) Сила сопротивления может быть вычислена и для медленно двигкущегося произвольного трехосного эллипсоида. Соответствующие формулы можно найти в кпл Лэмб Г.
Гидродинамика, — ййл Гостохиздат 1947. Укажем здось предельные выражения для плоского круглого диска 1радиуса Л), движущегося в направлении, перпендикулярном к своей плоскости: Г = 16г1Ли,. и для такого же диска, движущегося в своей плоскости: Е = (32/3)ЛЛи. 94 гл и ВязкАя жидкость формулы (20.9) для скорости или формулы (20.12) для давления). Условие иг)Ц(рта) » и~ !7/г~ выполняется только на расстояниях г « и)и. (20.16) Па ббльших расстояниях сделанные пренебрежения оказываются незаконными и полученное распределение скоростей неправильным.
Для получения распределения скоростей на больших расстояниях от обтекаемого тела следует учесть отброшенный в (20.1) член (чЧ)к. Поскольку на этих расстояниях скорость хг мало отличается от и, то можно написать приближенно (пм) вместо (зги). Тогда мы получим для скорости на больших расстояниях линейное уравнение (пм)н = — — зур+ исххг (20.17) Р (С.
И'. Ояггп, 1910). Мы не станем излагать здесь ход решения этого уравнения для обтекания шара ') . Укажем лишь, что с помощью получаемого таким образом распределения скоростей можно вывести уточненную формулу для испытываемой шаром силы сопротивления (следующий член разложения этой силы по числу Рейнольдса Н = иЛ,1и): Р = бхг)мат'(1+ — '). (20.18) Укажем также, что при решении задачи об обтекании бесконечного цилиндра жидкостью, движущейся в поперечном к цилиндру направлении, необходиыо с самого начала решать уравнение Осеена (уравнение же (20.1) в этом случае вовсе не обладает решением, удовлетворяющим граничным условиям на поверхности тела и в то же время обращающимся в нуль на бесконечности).
Отнесенная к единице длины сила сопротивления оказывается равной 4хпв 4хг!и (20.19) 1/2 — С вЂ” !в (Ни/4и) !и (3,70и/Ни) ' где С = 0,577... ---число Эйлера (Н. ааспб, 1911) ') . ') Его можно найти в книгах: Кочин Н.Е., Кобель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гндромеханнка. - М.: свнзматтнз, 1963.
Ч. 2. Гл. П, 3 25, 26; Ломб Г. Гндродинамнка. — М.: Гостехнздат, 1947. 3 342, 343. в) Невозможность вычисления силы сопротивления в задаче о цилиндре с помощью уравнения (20.1) очевидна уже из соображений размерности. Как уже отмечено выше, результат должен был бы выражаться только через п~ раметры и, и, Н. Но в данном случае речь идет о силе, отнесенной к единице длины цилиндра; величиной такой размерности могло бы быть только произведение ви, не зависящее от размеров тела (н тем самым не обращающееся в нуль прн Н -ч 0),что физически нелепо. ткчьпив пги ылз!ых чис влх гайно'и дел Возвращаясь к задаче об обтекании шара, надо сделать следующее замечание.
Произведенная в уравнении (20.17) замена зг на и в нелинейном члене оправдана вдали от шара, на расстояниях г » Л. Естественно поэтому, что! давая правильное уточнение картины движения на больших расстояниях от обтекаемого тела, уравнение Осеепа не дает такого уточнения па близких расстояниях (это проявляется в том! что решение уравнения (20.17), удовлетворяющее необходимым условиям на бесконечности, не удовлетворяет точному условию обращения в нуль скорости на поверхности шара; это условие соблюдается лишь для нулевого члена разложения скорости по степеням числа Рейнольдса и не выполняется уже для члена первого порядка). Поэтому на первый взгляд может показаться, что решение уравнения Осеена не может послужить для правильного вычисления поправочного члена в силе сопротивления.
Это, однако, не так по следующей причине. Вклад в силу Р! связанный с движением жидкости на близких расстояниях (для которых !з<< !г~г), должен быть разложим по степеням вектора и. Поэтому первый происходящий от этого вклада отличный от нуля поправочный член в векторной величине Р будет прогюрционален ии2, т.
е. дает поправку второго порядка по числу Рейнольдса и, таким образом, не отразится на поправке первого порядка в форм!уле (20.18). Вычисление же следующих поправок к формуле Стокса и правильное уточнение картины течения на близких расстояниях с помощью прямого решения уравнения (20.17) невозможно. Хотя сам по себе вот!рос об этих уточненизгх и не столь важен, выяснение своеобразного характера последовательной теории возмущений для решения задач об обтекании вязкой жидкостью при малых чис:лах Рейнольдса представляет заметный методический интерес (Я.
Кар1игг, Р.А. 7а8сга1гот, 1957; 1. Ргоиг1птап, ,г'.1ь. Реагзоп, 1957), Опишем имеющую здесь место ситуацию, приведя все нужные для ее уяснения формулы, но не останавливаягь на детальном проведении вычислений ') . ') Его мож!ю найти в кнз ВантДайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — Мз Мир., 1967. Гл. Ъ'Ш ( 1гап Руйс ЛХ. Рег!пгЬайоп ше1Ьог1з ш йшд шесЬашсе.
— Асаг). Ргеве, 1964). Вычисления произведены здесь не в терминах скорости тЯ, а в менее наглядных, но более компактных терминах функции тока. Для осеснмметричных течений (к которым относится обтекание шара) функция тока й(г, й) в сферических координатах вводится согласно определению 1 дф! ' е!пд да ' 1 дф се = — —, цг = О. гйпа д!. Тем самым тождественно удовлетворяется уравнение непрерывности (15.22). Вязкая >кидкос'ть Гл и Для явного выявления малого параметра В. числа Рейнольдса введем безразмерные скорость и радиус-вектор тс' = т//1б г' = г/К и ниже в этом параграфе будем обозначать их теми же буквами я и г, опуская штрих. Тогда точное уравнение движения (которое возьмем в форме (15.10) с исключенным давлением) запишется в виде Й го$ ~тс го1 я) + 21 го1 я = О.
(20.20) Выделим в пространстве вокруг обтекаемого шара две области: ближнюю и дальнюю, определенные соответственно условиями г « 1/К и г» 1. Вместе эти области исчерпывают все пространство, причем частично они перекрываются в «промежуточнойь области 1/П»г»1. (20.21) При проведении последовательной теории возмущений исходным приближением в ближней области является стоксово приближение-- решение уравнения Ьго1ч = О, получающегося из (20.20) пренебрежением члена с множителем В.. Это реп1енис дается формулами 120.10); в безразмерных переменных оно имеет вид [.') = .О(1 — — ' — '), ~~0 = -я' 0~1 — — ' — — '), «1/'В. 2«2гз/' ' ( 4г 4гэ/' (20.22) (индекс 11) отмечает первое приближение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
