VI.-Гидродинамика (1109684), страница 15
Текст из файла (страница 15)
80 Гл и вязкля жидкость ной скоростью и. Плоскость хх выберем в одной из них, причем ось х направим по направлению скорости и. Все величины зависят, очевидно, только от координаты у, а скорость жидкости направлена везде по оси х. Из (15.7) имеем для стационарного вижения д д г (Уравнение же непрерывности удовлетворяется тождественно.) Отсюда р = сопв$, о = ау+ 5. При у = 0 и при у = 6 (6 .-расслояние между плоскостями) должно быть соответственно о = 0 и о = и. Отсюда находим и = — и.
(17.1) 6 Таким обраюм, распределение скоростей в жидкости линейно. Средняя скорость жидкости ь — ос1у = —. (17.2) 6 / ' 2 о Из (15.14) находим, что нормальная компонента действующей на плоскости силы равна, как и должно было быть, просто р, а тангенциальная сила трения (па плоскости у = О) равна (17.3) ду 6 (на плоскости у = 6 она имеет обратный знак). Далее, рассмотримя стационарное течение жидкости между двумя неподвижными параллельными плоскостями при нали- чии градиента давления. Координаты выбираем, как в предыду- щем случае; ось х направлена по направлению движения жидко- сти. Уравнения Навье — Стокса дают (скорость зависит, очевидно, только от координаты у): д'и 1 др др ду' о дх ду Второе из этих уравнений показывает, что давление не зависит от у, т. е.
оно постоянно вдоль толщины слоя жидкости между плоскостями. Тогда в первом уравнении справа стоит функция только от х, а слева только от у; такое уравнение может вы- полняться, только если его левая и правая части являются по- стоянными величинами. Таким образом, — = сопв1, с1р с1х т. е. давление является линейной функцией координаты х вдоль направления потока жидкости. Для скорости же получаем теперь о= — — у +ау+6.
1 с1р 2о с1х течьнив по тгувь' (17.5) Интегрируя, находим о = — — 2 + а 1п 2 + 5. '~'Р,2 4о1 Постоянную а надо положить равной нулю, должна оставаться конечной во всем сечении (17.8) поскольку скорость трубы, включая его Постоянные а и 6 определяются из граничных условий о = О при у = О и у = 6. В результате получаем о = — — — у(у — 6). 1 4р (174) 2о дх Таким образом, скорость меняется вдоль толщины слоя жидкости по параболическому закону, достигая наибольшей величины посередине слоя.
Для среднего по толщине слоя жидкости значения ее скорости вычисление дает 4р 12Ч 4х Сила трения, действующая на неподвижную степку: (17.6) ду С=.В 2 Их Наконец, рассмотрим стационарное течение жидкости по трубе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины трубы). Ось трубы выберем в качестве оси х. Очевидно, что скорость о жидкости направлена везде по оси х и является функцией только у и х. Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно, а у- и х-компоненты уравнения Навье — Стокса дают опять др/ду = др/дх = О, т.
е. давление постоянно вдоль сечения трубы, х-компонента уравнения (15.7) дает 2 (17.7) Отсюда опять получаем, что — = сопа1; градиент давления мажор ах по поэтому написать в виде Ьр/1, где Ьр -- разность давлений на концах трубы, а 1 ее длина. Таким образом, распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двумерным уравнением типа Ьо = сопв1. Это уравнение должно быть решено при граничном условии и = = О на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии о = о(г).
Воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем Вязкая 1кидкос'ть гл и центр. Постоянную Ь определяем из требования и = 0 при г = Л (В радиус трубы) и получаем ~~ (Лв 41!! (17 О) Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону. Легко определить количество (массу) жидкости (ь), протекающей в 1 с через поперечное сечение трубы (или, как говорят, расход жидкости в трубе).
Через кольцевой элемент 2яг с(г площади сечения трубы проходит в 1 с количество жидкости р 21ггп с(г. Поэтому Л (,) = 2згр / гп с(г. О С помощью (17.9) получаем Я~РЛ4 8и! (17. 10) Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы ') . Задачи 1. Определить течение жидкости по трубе с кольцевым сечением (внутронний и внешний радиусы трубы Л1 и Л1).
Р е ш е н и е. Определяя постоянные а и Ь в общем решении (17.8) из условий г = 0 при г = Л1 и г = Лз, находим А1Р ( г = — Лз — г -Ь 1п— 417! !и (Лз /Л1 ) Лв Количество протекающей жидкости равно ягхр / 1 1 (Лз — Л11) 8К! ~ !и (Лз/Л1) / ') Выражаел1ая этой формулой зависимость 42 от саар и Л была установлена ззтирически Гогеном (С. Нпкеп, 1839) и Вйвэгйлем (У.ЛМ. Роиеигйе, 1840) и объяснена теоретически Стоксом (С.С.
Яойеа 1845). В литературе параллельные течения вязкой жидкости между неподвижными стенками часто называют просто иуазейлсвмми: в случае (17А) говорят о плоском пуазейлевом точении. 2. 'Ро же для трубы эллиптического сечения. Р е ш е н и е. Ищем решение уравнения (17.7) в виде и = Аув + Всз + -!- С. Постоянные А, В, С определяем из требования. чтобы это выражение удовлетворяло уравнению и граничному условикз е = 0 на контуре сечения 3 (т. е. уравнение Ар -!- Вз -!- С = 0 должно совпадать с уравнением контура Ь 17 твчьниь по тгувв рг/аг ~- г~(Ьг = 1, где а, Ь вЂ” полуоси эллипса). В резулкгате получаем Для количества протекающей жидкости получаем ~гсср а Ь 4»1 аг -1- Ьг 3. То же для трубы с сечением в виде равностороннего треугольника (сторона треугольника а).
Р е ш е и и е. Обращающееся в нуль на треугольном контуре решение уравнения (17.7) есть гор 2 и = — Ьз)згЬз, »ЕЗаг! где Ьп Ьг, Ьз - длины трех высот, опущенных из данной точки треугольника на три его стороны. Действительно, каждое из выражений з) Ьп ЕзЬг, гЗЬз (где гЗ = д~/дуг -1- дг/дзг) равно нулю; это видно хотя бы из того, что каждую из высот Ьп 6г, Ьз можно выбрать в качестве одной из координат р или з, а при п[зименении оператора Лапласа к координате получается нуль. Поэтому ЕЗЬзЬгЬз = 2(Ьз TЬг 1тЬз -~- Ьг 176з 176з з- Ьз 1гЬз 176г). Но з76з = пп TЬг = п, 176з = пз, где пп и, пз — единичные векторы вдоль направлений высот Ьп Ьг, Ьз.
Каждые два из пп пг, пз образуют друг с другом угол 2я!'3, так что 2я 1 гУЬзЧ Ьа = п~пг = соз — = — —, 3 2' и т. д., и мы получаем соотношение гЗЬзЬгйз = — (Ьз ~- Ьг -1-Ьз) =— а»гЗ 2 с помощью которого убеждаемся в выполнении уравнения (17.7). Количество протекающей жидкости равно »гЗаз 11р 320»1 4. Цилиндр радиуса Дз движется со скоростью и внутри коаксиального с ним цилиндра радиуса Яг параллельно своей оси; определить движение жидкости, заполняющей пространство между цилиндрами. Р е ш е н и е. Выбираем цилиндрические координаты с осью з по оси цилиндра. Скорость направлена везде вдоль оси и зависит (как и давление) только от г: и: = и(г). Для и получаем уравнение гЗи= — — (г — ) =О гй Й (член (»»)и = и д»/дз исчезает тождественно).
Используя граничные условия и = и при г = Лги и = О при г = ЕЕг,получаем 1п(г)йг) и=и !и (ЕЕ1/Лг) 84 вязкая .Кидког'ть гл и Сила трения, действующая на единипу длины каждого из цилиндров, равна 2хг1 и/!и (Нэ/Л~). 5. Слой жидкости (толщины Л) ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом о к горизонту. Определить движение жидкости, возникающее под влиянием поля тяжести. Р е ш е н и е. Выбираем неподвижную нижнюю плоскость в качестве плоскости яу, ось х направлена по направлению течения жидкости, а осьперпендикулярно к плоскости лр (рис.
6). Ищем в решоние, зависящее только от координаты а. Уравнения Навье-Стокса с в = с(з) при наличии поля тяжести гласят: 4 ~ Л ц — + ря шв о = О, .— + ря соэ а = О. д-э гй и т На свободной поверхности (г = Л) должны вьшолнятьея условия дс =1 — Рй г!х с = О. Удовлетво- Рис. 6 (ре "- атмосферное давление). При з = 0 должно быть ряющее этим условиям решение есть ркэшгг р = ро+ рйсоьп (Л вЂ” а), с = з(21с — з). 2ц Количество жидкости, протекающее в единицу времени через поперечное сечение слоя (отнесенное к единипе длины вдоль оси у): ! / ря6 эша з..
Я =р с~Ь= Зи о з 16ЯТ рз Р~= хглп~ (рп рэ — давления на концах участка трубки длины 1). 6. Определить закон падения давления вдоль трубки кругового сечения,по которой происходит изотермическоетечение вязкого идеального газа (иметь в виду, что динамическая вязкость ц идеального газа не зависит от его давления). Р е ш е н и е. В каждом небольшом участке трубки газ можно считать несжимаемым (если только градиент давления не глишком велик) и соответственно этому можно применить формулу (17.10), согласно которой Нр 8г1~> Дх -РД4 На больших расстояниях, однако, р будет меняться, и давление не будет линейной функцией от т.
Согласно уравнению Клапейрона плотность газа р = тр)Т (ш — масса молекулы), так что !р (Ь|дт,1 ',хшД4/р (расход газа Я через все сечение трубки должен быть, очевидно, одинаковым вне зависимости от того, является ли газ несжимаемым или нет). Отсюда получаем двнжвннь мкжд! велщлющимнся цнлннделмн 85 1 18 8 18. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами Рассмотрим движение жидкости, заключенной между двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами, вращающимися вокруг своей оси с угловыми скоростями й! и йв, радиусы цилиндров пусть будут Л! и Л2, причем Л2 ) Л! ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
