VI.-Гидродинамика (1109684), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Выберем цилиндрические координаты г, я, !Р с осью я тю оси цилиндров. Из симметрии очевидно, что о, = о(г) р = р(г). ог — — о,=О, Уравнение Навье — Стокса в цилиндрических координатах дает в рассматриваемом случае два уравнения: д Р— р й. Уеи 1 ди — + —— (18.1) О. 118.2) !1те г !1 Второе из этих уравнений имеет решения типа г"; подстановка решения в таком виде дает и = ж1, так что ь о = аг+ —. ! Постоянные а и 6 находятся из предельных условий, согласно которым скорость жидкости на внутренней и внешней цилиндрических поверхностях должна быть равна скорости соответствующего цилиндра: о = Л1й1 при ! = Л1, о = Лзй2 при о = Л2.
В результате получаем распределение скоростой в виде ЙеВ2 Й!Л! (Й! Й!)Л!Л2 1 о— (18.3) о! ое 77! ог д2 о = —. 7' Определим еще момент действующих на цилиндры сил трения. На единицу поверхности внутреннего цилиндра действует ! ) В литературе двнжепне между врашающнмнся цилиндрами часто навывают течением Куетта (М. Соиеие, 1890). В пределе й! — ! йе оно переходят в течение (17.Ц межлч движущимися параллельными плоскостями, о нем говорят как о плоском течении Куэтта. Распределение давления получается отсюда согласно (18.1) простым интегрированием. При й! = йв = й скорость о = йг, т.
е. жидкость вращается как целое вместе с цилиндрами. При отсутствии внешнего цилиндра (й2 = О, Л2 = оо) скорость гл н Вязкая .кидкос'ть сила трения, направленная по касательной к поверхности и равная согласно (15.14) компоненте и„' тензора напряжений. С помощью формул (15.17) находим 7Вн е'1 (й, — й,)НЗ~ Момент этой силы получается отсюда умножением на Лм а полный момент Мп действующий на единицу длины цилиндра умножениен1 еще на 2ЯВь Такилг образом, находим 4>гл(й1 — й ')Н> Н,' (18.4) Нз Не Момент сил, действующих на внешний цилиндр, Мз = — Мм При Пз = 0 и малом зазоре к|ежду цилиндрами (о: — Вз — В> « Вз) формула (18.4) принимает вид Мз = >1ВЛиЯ (18.5) где Л вЂ” 2яВ площадь поверхности единицы длины цилиндра, а и = Й1В ее окружная скорость ') .
По поводу полученных в этом и предыдущем параграфах решений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать следующее общее замечание. Во всех этих случаях нелинейный член (чг л>)ч тождественно исчезает из уравнений, определяющих распределение скоростей, так что фактически приходится решать линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, написанным, например, в виде (10.2), (10.3). С этим связано то обстоятельство, что формулы (17.1) и (18.3) пе содержат вовсе коэффициента вязкости жидкости.
Коэффициент вязкости содержится только в таких формулах, как (17.9), которые связывают скорость с градиентом давления в жидкости, поскольку самое наличие градиента давления связано с вязкостью жидкости; идеальная жидкость могла бы течь 1>о трубе и при отсутствии градиента давления. й 19. Закон подобия При изучении движения вязких жидкостей можно получить ряд существенных результатов из простых соображений, связанных с размерностью различных физических величин.
Рассмотрим какой-нибудь определенный тип движения. Этим типом ) Решение более сложной задачи о движении вязкой жидкости в узком зазоре между цилиндрами с параллельными, но эксцентрично расположенными осями, можно найти в кн.1 Кочин Н,Е., Кобель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — Мз Физматгиз. тйбз. Ч. 2, С. 534. 87 1 19 ЗАБОИ ПОДОБИЯ может быть, например, движение тела определонной формы через жидкость. Если тело не является шаром, то должно быть также указано, в каком направлении оно движется, например, движение эллипсоида в направлении его болыпой оси или в направлении его малой оси и т.
п. Далее, речь может идти о течении жидкости по области, ограниченной стенками определенной формы (по трубе определенного сечения и т. и.). Телами одинаковой формы мы называем при этом тела геометрически подобные, т. е. такие, которые могут быть получены друг из друга изменением всех линейных размеров в одинаковое число раз. Поэтому если форма тела задана,. то для полного определения размеров тела достаточно указать какой-нибудь один из его линейных размеров (радиус шара или цилиндрической трубы, одну из полуосей эллипсоида вращения с заданным эксцснтриситстом и т.
п.). Мы будем рассматривать сейчас стационарные движения. Поэтому если речь идет, например, об обтекании твердого тела жидкостью (ниже мы говорим для определенности о таком случае), то скорость натекающего потока жидкости должна быть постоя~ной.
Жидкость мы будем предполагать несжимаемой. Из параметров, характеризующих самую жидкость, в гидро- динамические уравнения 1уравнение Навье — Стокса) входит только кипематическая вязкость = й/р, неизвестными же функциями, которые должны быть определены решением уравнений, являются при этом скорость и и отношение р/р давления р к постоянной р. Кроме того, течение жидкости зависит посредством граничных усшовий от формы и размеров движущегося в жидкости тела и от его скорости.
Поскольку форма тела считается заданной, то его геометрические свойства определяются всего одним каким-нибудь линейным размером, который мы обозначим буквой 1. Скорость же натекающего потока пусть будет и. Таким образом, каждый тип движения жидкости определяется тремя параметрами: и, и, Е Эти величины обладают размерностями: [и) = см /с, Я = см, ~и1 = см/с. Легко убедиться в том, что из этих величин можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию, именно, 1и/и. Эту комбинацию называют числом Рейиольдса и обозначают через В.: к. = '— '"' = — "'.
(19.1) П и Всякий другой безразмерный параметр можно написать в виде функции от Й. Будем измерять длины в единицах 1, а скорости в единицах и, т. е. введем безразмерные величины г/1 и м/и. Поскольку ГЛ 11 ВЯЗКАЯ 1КИДКОСТЬ единственным безразмерным параметром является число Рей- нольдса, то ясно, что получающееся в результате решения гидро- дипамических уравнений распределение скоростей определяется функциями вида ч = и1( —, й). (19.2) Из этого выражения видно, что в двух различных течениях одного и того жс типа (например, обтекание п1аров различного радиуса жидкостями различной вязкости) скорости ч(и являются одинаковыми функциями отношения г,Ч, если только числа Рсйнольдса для этих течений одинаковы.
Течения, которые могут быть получены друг из друга простым изменением масштаба измерения координат и скоростей, называются подобными. Таким образом, течения одинакового тина с одинаковым числом Рейпольдса подобны ". так называемый закон г1одобил (О. Кеупо1дл, 1883). Аналогичную (19.2) формулу можно написать и для распределения давления в жидкости. Для этого надо составить из параметров и, 1, и величину с размерностью давления, деленного на р; в качестве такой величины выберем, наприълер, и~.
Тогда можно утверждать, что р/ри~ будет функцией от безразмерной переменной г/1 и безразмерного параметра В.. Таким образом, р = ри~)'( —, В). (19.3) Наконец, аналогичные соображения применимы к величинам, характеризующим течение жидкости, но нс являющимся уже функциями координат. Таковой является, например, действующая на обтекаемое тело сила сопротивления Г. Именно, можно утверждать, что безразмерное отношение Г к составленной из и, и, 1, р величине размерности силы должно быть функцией только от числа Рейнольдса.
В качестве указанной комбинации из 1А, и, 1, р можно взять, например, произведение ри 1 . Тогда Г = ри 1 1(В). (19.4) Если влияние силы тяжеспи на движение существенно, то движение определяется не тремя, а четырьмя параметрами: 1, и, и и ускорением свободного падения 8. Из этих параметров можно составить уже не одну, а, две независимые безразмерные комбинации. В качестве их можно, например, выбрать число Рсйнольдса и число Фруда, равное Р = и /(18). (19.5) В формулах (19.2) — (19.4) функция 1 будет зависеть теперь не от одного, а от двух параметров (В и Р), и течения являются подобными лишь при равенстве обоих этих чисел. твчьнив пеи мллых чис тлх Рай~О 'и дол Наконец, скажем несколько снов о нестационарных движениях.
Нестационарное движение определенного типа характеризуется наряду с величинами и, и,! еще значением какого-либо характерного для этого движения интервала времени т, определяющего изменение движения со временем. Так, при колебаниях погруженного в жидкость твердого тела определенной формы этим временем может являться период колебаний. Из четырех величин и, и, 1, т можно опять составить не одну, а две независимые безразмерные величины, в качестве которых можно взять число Рейнольдса и число Я = ит)1, (19.б) называемое иногда числом Струхала (ЯСгоиЬа1).
Подобие движений имеет место в таких случаях при равенстве обоих этих чисел. Если колебания в жидкости возникают самопроизвольно (а пе под влиянием заданной внешней вынуждающей силы), то для движения определенного типа число Я будет определенной функцией числа К: й 20. Течение при малых числах Рейнольдса Уравнение Навье- Стокса заметно упрощается для движений с малым числом Рейнольдса. Для стационарного движения несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид ( М)рг = — - бгасСр+ -Ьч. 1 в Р Р Член (чЧ~ч имеет порядок величины и1,Ч, где и и 1 имеют тот же смысл, как и в ~ 19. Выражение же (г1~р)Ьч — Ои((р1з).
Отношение первой величины ко второй есть как раз число Рейнольдса. Поэтому при Н«1 членом (ч~7)ч можно пренебречь, и уравнение движения сводится к линейному уравнению грач — дгасСр = О. (20.1) Вместе с уравнением непрерывности г11тч = 0 (20.2) оно полностью определяет движение. Полезно также заметить уравнение (20.3) ЬгоСч = О, получающееся применением операции гоС к уравнению (20.1).
Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара в вязкой жидкости (С. С. Яо1еа,. 1851). Эта задача вполне ВЯЗКАЯ 1КИЛКОСТЬ Гл и эквивалентна задаче об обтекании неподвижного шара потоком жидкости, иь1еющим на бесконечность заданную скорость и. Распределение скоростей в первой задаче получается из решения второй задачи просто вычитанием скорости и; тогда жидкость на бесконечности оказывается неподвижной, а шар движется со скоростью — и.
Если мы рассматриваем движение как стационарное, то надо, конечно, говорить именно об обтекании жидкостью не1юдвижного шара, так как при движущемся шаре скорость жидкости в каждой точке пространства меняется со временем. Поскольку йч(А1 — и) = йгм = О, то м — и может быть представлено в виде ротора некоторого вектора А: м — и = — го1А, причем го~А обращается на бесконечности в нуль. Вектор А должен быть аксиальпым для того, чтобы его ротор был полярным вектором, как скорость. В задаче об обтекании полностью симметричного тела шара нет никаких выделенных направлений за исключением направления и.
Этот параметр и должен входить в А линейно в виду линейности уравнения движения и граничных условий к нему. Общий вид векторной функции А(г), удовлетворяющей всем этим требованиям, есть А = г'(г)[пп], где п единичный вектор в направлении радиус-вектора г (начало координат выбираем в центре шара), а ~'(г) скалярная функция от г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
