VI.-Гидродинамика (1109684), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. член такого же вида, как и рб,ы Поэтому, строго говоря, после такого видоизменения формы тензора потока импульса,толжно быть уточнено, что именно подразумевается под давлением р. См. об этом коноц З 49. 7З 1 15 УРЛВИВИИЯ ДВИ1ККНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКООГИ показано в 8 16, 49, оба они положительны: ц>О, б >О. (15.4) Уравнения движения вязкой жидкости можно теперь полудо,'„ чить непосредственно путем прибавления выражения — ' к прадлв вой части у.равнения Эйлера Таким образом, получаем Это есть наиболее общий вид уравнений движения вязкой жидкости.
Величины ц, 1, являются, вообще говоря, функциями давления и температуры. В общем случае р, т, а потому и ц, 1'„не постоянны вдоль всей жидкости, так что ц и 1, не могут быть вынесены из-под знака производной. В болыпинстве случаев, однако, изменение коэффициентов вязкости вдоль жидкости незначительно, и потому можно считать их постоянными. Тогда уравнения (15.5) можно представить в векторном виде р( — + (згу'4У = — кгас(р+ цап+ (1, + ц ) ига(4г)1уч, (15.6) 1 де з~ — + (и У)ч = — — ягас)р+ — ~1дп. д1 Р Р (15.7) Тензор напряжений в несжимаемой жидкости тоже принимает простой пид О1Ь =-рб1Ь+ц( '+ — (. 7 дв, двей дхв ди, (15.8) ) Уравнение (15.7) было впервые сформулировано на основе модельных представлений Навье ( С.Ь.
Лав1ег, 1827). Вывод уравнений (15.8), (15.7) (без члена с С), близкий к современному, был дан Стоксам (С.С. 81ойев., 1845). Это так называемое уравнение Ноеве — Стокси Оно существенно упрощается, если жидкость можно считать несжимаемой. Тогда с(1уч = 0 и посз1едний член справа в (15.6) исчезает. Рассматривая вязкую жидкость, мы фактически всегда будем считать ее несжимаемой и соответственно этому пользоваться уравнением движения в виде ') 74 гл и аязкля жидкость Мы видим, что в несжимаемой жидкости вязкость описывается всего одним коэффициентом. Поскольку практически жидкость можно очень часто считать несжимаемой, обычно играет роль именно этот коэффициент вязкости т1.
Отношение и=— (15.9) Р называют кинельатической вязкостью, а коэффициент г1 динадипчсской). Приведем значения величин 0 и и для некоторых жидкостей н газов (при температуре 20еС) в абсолютных единицах: Шг/с см и,см /с Вола...., 0,010 0,010 Воздух.... 1,8 10 0,150 Спирт.... 0,018 0,022 Глицерин... 8,5 6,8 Ртуть.... 0,0150 0,0012 Упомянем, что динамическая вязкость газов при заданной температуре не зависит от давления. Кинематическая же вязкость соответственно обратно пропорциональна давлению.
Из уравнения (15.7) можно исключить давление таким же образом, как это было сделано раньше с уравнением Эйлера. Применив к обеим частям уравнения операцию го1, получим — гоб и = го1 [и го1 и) + иЬ го1 тс д д1 (ср. уравнение (2.11) для идеальной жидкости). Поскольку здесь идет речь о несжимаемой нсидкости, этому уравнению можно придать другой вид, раскрыв первый член в его правой части по правилам векторного анализа и учтя равенство с11у и = 0: — го1тс+~чЧ) го1у — (го1тс Ч~рг= мЬго1ь. (15.10) д д1 По известному распределению скоростей, распределение давления в жидкости может быть найдено путем решения уравнения типа уравнения Пуассона; ьтр= Р = Р ди, дее д'е,и,, (15.11) дхь дх, дхе дх, ' оно получается применением к уравнению (15.7) операции с11у. Приведем здесь также уравнение., которому удовлетворяет функция тока ср(х., у) при двумерном те сенин несжимаемой вязкой жидкости.
Оно получается подстановкой (10.9) в уравнение (15.10): — Ьу5 — — ' + — — иЬЬф. (15.12) дг дх ду ду дх 75 хглвокния движения вязкой жидкости 1 15 Необходимо написать сщс граничное условие к уравнениям движения вязкой жидкости. Между поверхностью твердого тела и всякой вязкой жидкостью всегда существуют силы молекулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающий к твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как бы прилипая к ней. Соответственно этому граничное условие к уравнениям движения вязкой жидкости состоит в требовании обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверхностях: хг = О. (15.13) Подчеркнем, что здесь требуется исчезновение как нормальной, так и тангенциальной компонент скорости, между тем как граничные условия к уравнениям идеальной жидкости требуют обращения в нуль только и„') .
В общем случае движущейся поверхности скорость ч должна быть равна скорости этой поверхности. Легко написать выражение для силы, действующей на соприкасающуюся с жидкостью твердую поверхность. Сила, действующая на некоторый элемент поверхности, есть нс что иное, как поток импульса через этот элемент. Поток импульса через элемент поверхности с1Г есть П,ьфь = (рп,пь — сггь) фы Написав фк в виде фь = пьф, где и.—.
единичный вектор нормали к поверхности, и помня, что на твердой поверхности и = О э), находим, что сила Р, действующая на единицу шющади поверхности, равна Р, = — гт ьпь = Рп — гт,ьпь. (15.14) Первый член есть обычное давление жидкости, а второй представляет собой действующую на поверхность силу трения, обусловленную вязкостью. Подчеркнем., что п в (15.14) есть единичный вектор нормали, внешней по отношению к поверхности жидкости, т. е. внутренней по отношению к твердой поверхности. Если мы имеем границу раздела двух несмешивающихся жидкостей (или жидкости и газа), то условия па этой поверхности гласят, что скорости обеих жидкостей должны быть равны и силы, с которыми опи действуют друг на друга, должны быть ) Отметим, что решениями уравнения Эйлера нельзя удовлетворить лишнему (по сравнению со глучаем идее явной жидкости) граничному условию обращения в нуль тангенциальной скорости.
Математически это связано с более низким (пер1эыы) порядком этого уравнения по координатным производным, чем порядок (второй) уравнения Невке — Стокса. э) При определении действующей на поверхность силы надо рассматривать данный элемент поверхности в системе отсчета, в которой он покоится.
Сила равна просто потоку импульса только при неподвижной поверхности. ВязкАя гкидкость Гл и одинаковы по величине и противоположны по направлению. Второе из этих условий записывается в виде где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостягл. Векторы нормали пг 7 и и( 1 имеют взаимно противоположные направления, п7 ~ = = — и = и, гак что можно написать: 121— и;177 в — — Птт,.ь 771, Рг (15.15) На свободной поверхности жидкости должно выполняться условие П7ЬПГ = гтгвпг — Рп; = О.
(15.16) Уравнения движения в криволинейных координатах. Приведем для справок уравнения движения вязкой несжимае- мой жидкости в часто используемых криволинейных координа- тах. В цилиндрических координатах 7, 1р, я компоненты тензора напряжений выглядят следующим образом: до, /г до, дог ог1 тг, = — Р+ 277 — ", ог,р — — 71( — — '+ /1 до о„'г 1'дог 1 до,г гг, „= — р+ 271~ — — '+ — "), о,, = 71 — '+ — — '), (15.17) 7' дгг г дг 7' д777 до- /до„. до,1 гт„= — р+ 271=7 гт„= 71 — '+ —" дз ( д. дз)' Три компоненты уравнения Навье — Стокса принимают вид до, ог гдр / „2 до 1 — '+ (ЧЧ)Ог — — ' = — — — + 77~ЬОг — —" — — —" дг рдт 1 т' тг д777) "г +~(чЧ)ор — '"г — — — — — "+р(г."го, — — '+ — — '1, (15.18) дг рг д777 ' тг гг дгг / до, — ' + '(чЧ) о, = — — — + гтгао„ дг 77 дг ПРИЧЕМ ОПЕратОрЫ (ЧЧ) И АА ОПрЕдЕЛяЮтСя фОрМуЛаМИ (чЧ)1 = о,— + — г — + о.—, д7 ог д7 д7 дт т ду дз Уравнение непрерывности запишется в виде г д(т71 ) + 1 дгм + д .
(15. 19) г дт т дгг дг 77 УРЛВВВИИЯ ДВИ1КВВИЯ ВЯЗКОЙ жИДКОСвтв дб — р+ 2т1 — ', дг ' гяшВ ду т т т дВ дг г ( 1 дов 1 до и сСВВ) Ц гяшВ д1р т дВ т (15.20) ПтО Уравнения Навье -Стокса: —" + (~~7)вт— дв 1 др = — — — + и ~Ьо„ рдг 2 д(ов яп В) 2 до шЗВ дВ г'явВ д тв я дсв 1 1 о,ов в 1рсФВВ 1др ~ 2дс„ = — — — + и ~21ов+ —.—" ргдВ ~ Я дВ вв 2 соя В дог 1 (15 21) .
В1в В тяя1в В д,~' дп +( ~) +о,о, +Ввг,ссяВ дв г т 1 др 1 2 до, 2 = — — — +и~Ьо, + — '+ рт дсв гвя1пВ ду г' соя В дюв пт яп' В д1р гя я1в' В 1 причем 1УУ)1 = о,— + — — + дУ .,ОУ дг т дВ гяпВ д1 др' 1 д 7 тя япв В доз Уравнение непрерывности: 1д(т 1~)+ 1 д1 ВВ )+ 1 дог О тз дт тявО дВ 1яшВ др В сферических координатах т, 1р, 0 имеем для тензора напря- жений 79 1 17 течение пО ттуне Первый член справа определяет изменение кинетической энергии жидкости в обьеме 1' благодаря наличию потока энергии через поверхность этого объема. Второй же член (взятый с обратным знаком) представляет собой, следовательно, уменьшение кинетической энергии в единицу времени, обусловленное диссипацией.
Еш>и распространить интегрирование по всему об"ьему >кидкости, то интеграл по поверхности исчезает (на бесконечности скорость обращается в нуль ') ), и мы получим диссипируемую в единицу времени во всей жидкости энергию в виде (последнее равенство следует из симметричности тензора сг,' ). В ИРС>кимаРе>ОЙ жидкости тРизор 27 е Определяется выра>кепиРм (15.8). Таким образом, находим окончательно следующую формулу для диссипации энергии в несжимаемой жидкости: 2./(д д ) Диссипация приводит к уменьшению механической энергии, т. е, должно быть Еквв ( О. С другой стороны, интеграл в (16.3) является величиной всегда положительной.
Поэтому мы можем заключить, что коэффициент вязкости 27 положителен. Задача Для потенипального движения преобразовать интеграл (16.3) в интеграл по поверхности, ограничивающей область движения. Р е щ е н и е. Положив де,22дхе = две 22дх, и произведя однократное интегрирование по частям, получим Е „= — 2271( ) бр= — 227>в, 2212,, ,I дхе ,/ дхе Е „„= — 2> ( 'У222 ь27. или 9 17.Течение по трубе Рассмотрим несколько простейших случаев движения вязкой несжимаемой жидкости. Пусть жидкость заключена между двумя параллельными плоскостями, движущимися друг относительно друга с постоян- 2 ) МЕ2 рассматриваем движение жидкости в системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Здесь и в аналогичных других местах мы для определенности говорим о бесконечном объеме жидкости, что отнюдь не означает какого-либо ограничения общности. Так, для жидкости, заключенной в ограниченном твердыми стенками объеме, интеграл по поверхности этого объема все равно обратился бы в нуль в силу условия равенства нул>о скорости па стенке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
