VI.-Гидродинамика (1109684), страница 9
Текст из файла (страница 9)
5 г). Зависимость ш от этой вспомогательной переменной определяется конформным преобразованием, переводящим верхнк>ю полуплоскость и в полосу плоскости ш.При условленном соответствии го 1ек это есть ш = — — !пи. с) (2) ря г!тобы найти зависимость С от иь надо найти конформное отображение полуполосы плоскости с' в верхшою полуплоскосгь и. Рассматривая эту полуполосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность, можно найти искомое отображение с помощью известной формулы Шварца— Кристоффеля: ь = †! агсв!а и (3) ! '-"'"' ( ) И р~шают задачу определяя в параметрическом в; е силгость йю/Аг ог ш. Определим форму струи.
На ВС имеем ш = д, ( = ! — те), а и меняется '2 между 0 и 1. Из (2) и (3) получаем ш = — — !и( — соз0), О (4) ря 2 + 2 А' В' , В А в а~ С С )-~ +е О~ я ~~А' 2, — -+'- — - — !и„— ~СС в~ 2~В А 48 Гт!. 1 иднлг!ылая гкидкость а из (Ц с6!гг!вЬ = о!с '", или !Лв = вЫ- !в)у = — е' ВЛв = — е' Ля В ЫВ, 1,в а!,в я откуда интегрированием (с условиями у = О, т = а!!2 при В = — я) найдем в параметрическом виде форму струи. В частности, для сжатия струи получается аг/а = яг!(2 З-я) = 0,61. 8 11. Сила сопротивления при потенциальном обтекании Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой идеальной жидкостью какого-либо твердого тела.
Такая задача. конечно, полностью эквивалентна задаче об определении течения жидкости при движении через пее того же тела. Для получения второго случая из первого достаточно перейти к системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Мы будем говорить ниже именно о движении твердого тела через жидкость. Определим характер распределения скоростей в жидкости на больших расстояниях от движущегося тела. Потенциальное движение несжимаемой жидкости определяется уравнением Лапласа Луг = О. Мы должны рассмотреть такие решения этого уравнения, которые обращаются иа бесконечности в нуль., поскольку жидкость на бесконечности неподвижна. Выберем начало координат где-нибудь внутри движущегося тела (эта система координат движется вместе с телом; мы, однако, рассматриваем распределение скоростей в жидкости в некоторый заданный момент времени).
Как известно, уравнение Лапласа имеет решением ))и, где г.— расстояние от начала координат. Решением явля!отея также градиент ~7(11!г) и следующие производные от 1л!г по координатам. Все эти решения (и их линейные комбинации) обращаются иа бесконечности в нуль. Поэтому общий вид искомого решения уравнения Лапласа на больших расстояниях от тела есть уг = — -+ А17 + а 1 г г где а, А не зависят от координат; опущенные члены содержат производные высших порядков от 1/г.
Легко видеть, что люстоянная а долгкпа быть равной нулю. Действительно, потенциал !р = — аг!г дает скорость а аг и = — 17- = —. Вычислим соответствуюгций поток жидкости через какую-нибудь замкнутую поверхность, скажем, сферу с радиусом Л. На СИЛЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ПОТЯНЦИЛЛЫНРМ ОБТЕКЛИИИ 49 1 Ап р=А~7-= — —, Г Р2 7 (11 1) а для скорости о = йгал( у ,т) тт 1 3(АП)п — А г гл (11.2) (и единичный вектор в направлении г).
Мы видим, что на больших расстояниях скорость падает, как 1/тл. Вектор А зависит от конкретной формы и скорости движения тола н может быть определен только путем полного решения уравнения ЬЭ1 = = О па всех расстояниях, с учетом соответствующих граничных условий на поверхности движущегося тела. Входящий в (11.2) вектор А связан определенным образом с полным импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей движущееся в ней тело. Полная кинетическая энергия жидкости (внутренняя энергия несжимаемой жидкости постоянна) есть Е= Е о2Л', 2,1 где интегрирование производится по всему пространству вне тела.
Выделим из пространства часть Г, ограниченную сферой большого радиуса В, с центром в начале координат и будем интегрировать сначала только по объему И, а затем устремляя Л к бесконечности. Имеем тождественно / о2Л' = ~и лйт+ ~(ч+ п)(о — и) а11; где и — скорость тела. Поскольку и есть не зависящая от координат величина, то первый интеграл равен просто и2(1' — 'Ро), где 1о — объем тела. Во втором же интеграле пишем сумму и+и в виде ~7(р+ пг) и, воспользовавшись также тем, что 61то = О в силу уравнения непрерывности, а Жт и = О, имеем / о и"Р' = и (И вЂ” 'Ро) + / с(1гг((1р+ пг)(о — п)1111'. этой поверхности скорость постоянна и равна а/Вв; поэтому полньпл поток жидкости через нее равен р(а/Л ).4лгЛ = 4ярп.
Между тем, поток несжимаемой жидкости через всякую замкнутую поверхность должен, очевидно, обращаться в нуль. Поэтому закл1очаем, что должно быть а = О. Таким образом, 1о содержит члены, начиная с членов порядка 1/г2. Поскольку мы нщсм скорость на болыпих расстояниях, то члены более высоких порядков можно опуститтп н мы получаем 50 гт!. 1 идвлльнля жидкос'!'ъ Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности Я сфе- ры и поверхности Яо тела: и2 г11г = ит!',1г — )го) + ~ (!р + пг) 1гзг — и) г1!'.
яз-яо На поверхности тела нормальные компоненты зг и и равны друг другу в силу граничных условий; поскольку вектор г11 направлен как раз по нормали к поверхности, то ясно, что интеграл по Яо тождественно обращается в нуль. На удаленной же поверхности Я гтодставляем для !р и тг выражения (11.1), (11.2) и опускаем члены, обращающиеся в нуль при переходе к пределу по Л вЂ” э сю. Написав элемент поверхности сферы Я в виде Ж = пЛ2 г1о, где г1о элемент телесного угла, получим / и2 г11' = и2(~ Дз — 1' ) + /~3(Ап)(пп) — (пп)2Д3~ г1г!.
Наконец, произведя интегрирование ') и умножив на ргг2, получаем окончательно югедующее выражение для полной энергии жидкости: Я = к(4яАп — 'гои ). (11.3) 2 Как у.же указывалось, точное вычисление вектора А требует полного решения уравнения га!р = 0 с учетом конкретных граничных условий на поверхности тела. Общигл характер зависимости А от скорости и тела можно, однако, установить уже непосредственно из факта линейности уравнения для гр и линейности (как по !р, так и по и) граничных условий к этому уравнению. Из этой линейности следует, что А должно быть линейной же ункцией от компонент вектора и.
Огтределяемая же формулой 11.3) энергия Е является, следовательно, квадратичной функцией компонент вектора и и потому может быть представлена в виде пи!в,и! 2 (11А) где тгт --некоторый постоянный симметрический тепзор, ком- поненты которого могут быть вычислены с помощью компонент вектора А; его называют тензором присг>ег)иненныга масс. (Ап)(Вп) = А,Вгп,тг!. = — б,гА,В!.
= — АВ. 1 1 3 3 ') Интегрирование по !1о эквивалентно усреднению подынтегрального выражения по всем направлениям вектора п и умножению затем па 4я. Для усреднения выражений типа (Ап)(Вп) =А п,М! и!. (А, В . постоянные векторы), пишем силл сош отивлкния ш и потк~цилльпом овтвклнии 51 Зная энергию Е, можно получить выражение для полного импульса Р жидкости. Для этого замечаем,что бесконечно малые изменения Е и Р связаны друг с другом соотношением дЕ = = пс1Р '): отсюда следует,. что если Е выражено в виде (11.4), то компоненты Р должны иметь вид Р; = гпсьиы (11.5) Наконец, сравнение формул (11.3) — (11.5) показывает, что Р выражается через А следующим образом: Р = 4ярА — р~'еп.
(11.б) Следует обратить внимание на то, что полный импульс >кидкости оказывается вполне определенной конечной величиной. Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости импУльс есть с1Р>сс1г. ВзЯтый с обРатным знаком, он опРеделЯет, очевидно, реакцию Р жидкости, т. с. действующую на тело сил уз (11. 7) Параллельная скорости тела составляющая Р называется силой сопротивления, а перпендикулярная составляюп1ая подаем>сей силой. Если бы было возможно потенциапьное обтекание равномерно движущегося в идеальной жидкости тела, то полный импульс Р был бы равен сопв1 (так как и = сопв$) и Р = О. Другими словами, отсутствовала бы как сила сопротивления, так и подъемная сила, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
