VI.-Гидродинамика (1109684), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2. Шар (радиуса Н) движется в несжимаемой идеальной жидкости. Определить потенциальное течение жидкости вокруг шара. Р е ш е н и е. На бесконечности скорость жидкости должна обрашаться а пуль. Обращающимися на бесконечности в нуль решениями уравнения Лапласа 23!о = 0 являются, как известно, 1гьг и производные различных порядков от 1гьг по координатам (начало координат — в центре шара). Ввиду полной симметрии шара в решение может войти лишь один постоянный вектор — скорость и, а ввиду линейности уравнения Лапласа и граничного условия к нему р должно содержать и линейным образом. Единственным скюгяром, который можно составить из и и производных от 12!г, является произасдение пз'(1/г).
Соответствсгшо этому ищем уг в виде 1 Ап уг = Азг- = —— г г' (п — единичный вектор в направлении радиус-вектора). Постоянная А определяется из условия равенства нормальных к поверхности шара компонент скоростей у и и (уп = пп) при г = Н. Это условие дает А = ийз/2, так что Нз Нз :р = — — пп, т = — '13п(пп) — и). 2гг 2гз Распределение давления определяется формулой (10.7): !ги др Р = Ро — — — р— 2 д! (ро давление на бесконечности). При вычислении производной дуг!!до надо иметь в виду, что начало координат (выбршнзое нами в центре шара) смещается со временем со скоростью и. Поэтому д!р др .
— = — и — п17Р. д1 дп Распределение давления на поверхности шара дается формулой ри г „р о1п Р = Ро + — (9 соя б — о) + — Нп— 8 2 Ф 19 — угол между и и и). 3, То же для бесконечного циляндра, движущегося перпендикулярно к своей оси '). ') Рошение более общих задач о потенциальном обтекании эллипсоида и цилиндра эллиптического сечения см. в книгах: Кочин Н. В., Кибель Н. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.- Физматгиз, 1963. ч. 1, гл.
УП, Лэ,мб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947. 3 103 — 116 (ьашб Н. Нуч)гос1упапз1сэ. — Сашбйг18е. 1932). нес2кнмлемля жидкоот'ь 43 Р е ш е н н е. Течение не зависит от координаты взюль осн цилиндра, гак что приходится решать двумерное уравнение Лапласа. Обращающимися в нуль на бесконечности решениями являются производные от 1пг по координатам, начиная от первого порядка и выше [г -- перпендикулярный к оси цилиндра радиус-вектор).
Ищем репгение в виде Ап Р=Аг!пг=— 2 н с помощью граничных условий получаем А = — 112п, так что 1Ь2 Я~ 22 = — — пп, г = — [2п[пп) — и). г Давление на поверхности цилиндра дается формулой ри г1п р = ро+ — [4 сов У вЂ” 3) + рйп —. 2 Ж 4. Определить потенциальное движение идеальной несжимаемой жид- кости в зллипсоидальном сосуде, вращающемся вокруг одной из своих глав- ных осей с угловой скоростью Й; определить полный момент импульса жид- кости в сосуде. Р е ш е н и е. Выбираем декартовы координаты х, у, 2 вдоль осей эллип- соида в данный момент времени; ось вращения совпадает с осью 2.
Скорость стенки сосуда есть и = [йг), так что граничное ушювие г = ду2(дг2 = и,, есть — = Й[хп„— уп,), дэ2 дп или, используя уравнение эллипсоида х /а -Г у /Ь -~- 2 /с = 1: х д22 у ду 2 д12 /1 1) — — + — — + — — = хуй а' дх Ьв ду с' дх [,Ь2 а2( Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, есть а — Ь 22= й ху.
[1) а2 -~- РД Момент импульса жидкости в сосуде ЬХ = рай[хи, — уь,) 414 Интегрируя по объему эллипсоида, получаем ЙР1 [аэ — Ьз)2 о а2+ Ь2 <12ормула [1) определяет абсолютное движение жидкости, отнесенное к мгновенному положению осей х, у, 2, связанных с вращающимся сосудом. Движение же относительно сосуда [т. е, относительно вращающейся систе- мы координат х, у, 2), получится вычитанием скорости [Йг) из абсолютной скорости жидкости; обозначив относительную скорость жцдкости г', имеем др 2йаэ, 2ЙЬ2 г,'.
= — ->Йу= у, г„'= — х, в.'. =О. дх а2 4-Ь2 У аз-ьЬ2 Траектории относительного движения получаются путем интегрирования уравнений х = г, у = 22ц и представляют эллипсы х 2'а -г у /Ь = сопвц 2 2 2 подобные граничному эллипсу. 5. Определить течение жидкости вблизи критической точки на обтека- емом теле [см. рис. 2). 44 гт!. ! идкл!!ьнля жидкос'!'ъ Р е ш е н н е. Малый участок поверхности тела вблизи критической точки можно рассматривать как плоский. Выбираем его в качестве плоскости ху. Разлагая р при малых х, у, х в ряд, имеем с точностью до членов второго порядка: !р = ах -!- Ьу 4- с- -~- Ах 4- Ву 4- Сх 4- Рху 4- Вух 4- Гхх (постоянный член в <р несуществен).
Постоянные коэффициенты определяем так, чтобы !р удовлетворяло уравнению !хд = О и граничным условиям е, = др!!дх = О прн = О и всех х, у и др/дх = др/ду = О прн х = у = = О !в критической точке). Это дает а=Ь=с=О; С= — А — В, В=В=О. Член Рху может быть всегда исключен соответствующим поворотом осей т и у. В результате полу" !аем р = .4х! 4 Ву — (А 4- В)х .
(1) Если течение обладает аксиальной симметрией вокруг оси х (симметричное обтекание тела вращения), то должно быть А = В, так что !р = А(х!е -!- у — 2х~). Компоненты скорости равны е = 2Ах, ог — — 2Ау, ь, = — 4Ах. Линии тока определяюгся уравнениями (5.2), откуда хек = с!, узх = сз, т. е. линии тока являются кубическими гиперболами. Если течение является однородным вдоль оси у !например, прн обтекании в направлении оси х цилиндра с осью вдоль оси у), то в (1) должно быть В = О, так что р = А1хе — '). Линиями тока явля!отся гиперболы хх = соней О. Определить движение жидкости прн потенциальном обтекании угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями (вблизи вершины угла).
Р е ш е н и е. Выбираем полярные координаты г, О в плоскости поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол У отсчитывается от одной и:! прямых, образующих сечение угла. Пусть и есть величина обтекаемого угла; прн о ( я течение происходит внутри угла, при и > я — вне его. Граничное у<шовие исчезновения нормалыюй составляющей скорости гласит !)!р/Ий = О при й = О и сс Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в виде ) ! !р = Аг" совпд, п = я/о, так что о, = пАг" ' сов пВ, гч = — иАг" ' сйвну.
Рис. 4 При и ( 1 (обтекание выпуклого угла; рис. 3) е обращается в начале координат в бесконечность как г !! "!. При п > 1 (течение внутри вогнутого угла — рнс. 4) о обращается при г = О в нуль. ) Выбираем решение с наиболее гшзкой (малые т!) положительной степенью г. 45 несжимаемая жидкое'гь грункция тока, определяющая форму линий тока, есть й = Аг" э1ппр. Полученные для р и ф выражения являютгя вещественной и мнимой частями комплексного потенциала ш = Аг" ) . 7.
Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса а,. Определить время, в течение которого образовавшаяся полость заполнится жидкостью (Лезапй 1859: Лау1е~дб, 1917). Р е ш е н и е. Движение жидкости после образования полости будет центрально-симметрическим со скоростями, направленными в каждой точке по радиусу к центру. Для радиальной скорости с г в<0 имеем уравнение Эйлера (в сферических координатах) ди дс 1др Ж дг дг рдг Уравнение непрерывности дает г~с = г (1), (2) где г11) — произвольная функция времени; это равенсгво выражает собой тот факт, что в силу несжимаомости жидкости объем, протокающий через сферу любого радиуса, но зависит от последнего.
Подставляя е из (2) в (1), имеем Г'(1) дс 1 др Ь— г' дг рдг Интегрируя это уравнение по г в пределах от оо до радиуса Л=ЛЛ) <а заполняющейся полости, получим г (1) И ра Л11) 2 р где Р = АЛ(1)/41 — скорость изменения радиуса полости, а ро — давление на бесконечности; скорость жидкости на бесконечности, а также давление на поверхности полости равны нулю. Написав соотношение (2) для точек на поверхности полости, находим г11) = Л Л)рф и, подставив это выражение для г (1) в (3), получим следующее уравнение: р 2 2 дЛ р В этом уравнении переменные разделюотся и, интегрируя его при начальном условии И = 0 при Л = а (в начальный момент жидкость покоилась), найдем ' ) Задачи 5 и 6, если рассматривать граничные плоскости в них как бесконечные, вырождены в токг смысле, что значения постоянных коэффициентов А, В в их решениях ос гаются неопределенными.
В реальных случаях обтекания конечных тел эти значения определяются условиями задачи в целом. гт!. 1 идкальнхя жидкое'!'ь Отсюда имеем для искомого полного времени за!юлнення полости; )В 2,! '(7х!: Этот интеграл приводится к виду В-интеграла Эйлера, и вычисление дает окончательно. Зазр!г Г!5/6) . )гр т= в = 0,915а 2ро Г(1/3) ~/ ра 8. Погруженная в несжимаемую жидкость сфера расширяется по заданному закону !г = !г1!). Определить давление жидкости на поверхности сферы.
Р е ш е н и е. Обозначим искомое давление через РЯ. Вычисления в точности аналогичны произведенным в предыдущей задаче с той лишь разницей, что при г = Я давление равно пе пул!о, а Р11). В результате получим вместо 13) уравнение Р'1!) 1' ре Р 1!) й11) 2 Р Р и соответственно вместо !4) уравнение ра — РП) 31" г)1г р 2 г)й Имея в виду, что И = г)В/М, можно привести выражение для РП) к виду в 9. Определить форму струи, вытекающей из бесконечно длинной щели прорезанной в плоской стенке. Р е ш е и и е. Пусть в плоскости гр стенка совпадает с осью к, отверстие есть отрезок — а/2 ( т ( а/2 втой оси, а жидкость занимает полуплоскость у > О.
Вдали от стенки )при р -ч оо) скорость жидкости равна нулю, а давление пусть будет ре. На свободной поверхности струи !ВС и В'С' на рис. 5 а) давление р = О, а скорость согласно уравнению Бернулли имеет постоянную величину ь! = !/2ро/р. Линии стенки, продолжающиеся в свободную границу струи, представлшот собой линии тока. Пусть па линии АВС !5 = 0; тогда на линии А В С' й = — Я/р, где Я = ра! е! .-- расход жцлдости в струе !а!, о! — ширина струи и скорость жидкости в ней на бесконечности). Потенциал у! меняется как на линии АВС., так и на линии А!В С от — со до 4-со; пусть в точках В и В' у! = О.
"Гогда в плоскости комплексного переменного ш области течения будет соответствовать бесконечная полоса ширины О/р !обозначения точек на рис. 5 б — г соответствуют обозначениям на рис. 5 а в плоскости хр). Введем новую кол!плексну!о переменную — логарифм комплексной скорости: 1е!е' !в — комплексная скорость на бесконечности струи). На .4'В' имеем 0 = О, па АВ й = — я, на ВС и В'С' о = е!, причеь! на бесконечности 47 несжимаемая жидкое'гь струи е = -х/2.
Поэтому в плоскости переменного ~, области течения соответствует полуполоса ширины г, расположенная в правой полуплоскости (рис. 5 в). Нели мы теперь найдем конформное преобразование, переводящее полосу плоскости ш в полуполосу плоскости б (с указанным на рис. 5 соответствием точек), то тем самым мы определим ш как функцию от 4ш,ч!гб! функпия ш может быть найдена затем одной квадратурой. ~Ц ® в ! '0 ~- ур -1 ~ 1 С ~Ы А' б Рис. 5 Для того чтобы найти искомое преобразование, введем еще одну вспомогательную комплексную переменную и, такую, чтобы в плоскости и области течения соответствовала верхняя полуплоскость,причем точкам В и В соответствуют точки и = ш1, точкам С, С' и = О, а бесконечно удаленным точкам А и А и = шоо (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
