VI.-Гидродинамика (1109684), страница 3
Текст из файла (страница 3)
— ~ + г1!ч рч = О. (1.2) !э! Это так называемое уравнение непрерывности. Раскрыв выражение !11ч рч, (1.2) можно написать также в виде эр — Р + р !1!чч + ч ягас1 р = О. д! (1.3) Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вы- вода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике. Рассмотрим некоторый объем 1'е пространства. Количество (масса) жидкости в этом объеме есть ) р!1г', где р есть плот- ность жидкости, а интегрирование производится по объему гш Через элемент !К поверхности, ограничивающей рассматривае- мый объем, в единицу времени протекает количество рч НК жид- кости; вектор ЕК по абсолютной величине равен площади эле- мента поверхности и направлен по нормали к ней.
Условимся направлять !К по внешней нормали. Тогда рч!К положительно, если жидкость вытекает из объема, и отрицательно., если жид- кость втекает в него. Полное количество жидкости, вытекающей в единипу времени из объема гш есть, следовательно, ф рч гК, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхно- сти, охватывающей рассматриваемый объем. С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объ- ЕМЕ Ко МОЖНО ПаннеатЬ В ВИДŠ— — / рд1г. д Приравнивая оба выражения, получаем: 15 иглииииии эйльгА Вектор (14) )=рч называют плотвостьсо потока жидкости. Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в едипип,у времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.
й 2. Ъгравнение Эйлера Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, дей- ствующая па выделенный объем жидкости, равна интегралу — ~рс1~, взятому по поверхности рассматриваемого обьема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем — с~рсК = — /уас1рЙУ. Отсюда видно, что на каждый элемент объема с1'и' жидкости дей- ствует со стороны окружающей его жидкости сила — дГдас1р.
Другими словами, можно сказать, что на единицу объема жид- кости действует сила — бгас1р. Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объема жидкости, приравняв силу — яви р произведению мас- сы р единицы объема жидкости на ес ускорение с1тс/й; р — = — ягас1 р. сСх (2.1) дс Стоящая здесь производная с1ч~сИ определяет пе изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в простран- стве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам. Для этого заметим., что изменение ссч скорости данной частицы жидкости в течение времени сй складывается из двух частей: из изменения скорости в данной точкс пространства в течсние времени Ж и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием сСг, пройден- ным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени Ф.
Первая из этих частей равна — Ф, дс где теперь производная 'дч~д1 берется при постоянных т, д, я, т. е. в заданной точке пространства. Вторая часть изменения Гт!. 1 идияльнкя жидкость скорости равна дх — + ду — + дз — =~(ЙБ )ч. дх дл дс Таким образом, с1ч = ~ Ю + (6 Ч)ч д! или, разделив обе части равенства на д1 '), — = — + (чЧ)ч. д! д! (2.2) Подставив полученное соотношение в (2.1), находим — + (ч ч)ч = — — ягас1р. д! Р (2.3) — + (чК)ч = — — + н.
дч 7'р д1 Р (2.4) При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывали процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое здесь и в следующих парю рафах этой главы относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несуп!сственны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной з!сидкоспзи. Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости.
Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое. При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в ') Определенную таким образом производную д,!д! называют субстанннональной, подчеркивая тем самым ее связь с перемещающимся веществом. Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л. Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением Эйлера и является одним из основных уравнений гндродинамики. Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее объелса действует еще сила рн! где я есть ускорение свободного падения.
Эта сила должна быть прибавлена к правой части уравнения (2.1), так что (2.3) приобретает вид 17 хелвнв~ив эйльтА пространстве. Обозначая буквой э энтропию, отнесенную к еди- нице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность дви- жения уравнением (2.6) э = сопвФ, (2.8) что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют иээнгпропическим. Изэптропичностью движения можно воспользоваться для то- го, чтобы представить уравнение движения (2.3) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинами- ческим соотношением дш = Т<Ь+1'Йр, где ш —.
тепловая функция единицы массы жидкости, 1' = 1/р -" удельный объем, а Т температура. Поскольку э = сопв1, имеем дю = Ъ' др = — ор, Р и поэтому -~ур = ~7ю. 1 Р Уравнение (2.3) можно, следовательно, написать в виде — + (уТГ)у = — игам и. дч д1 (2.9) — =О, (2.5) где полная производная по времени означает,как и в (2.1),изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде — ' + у игаса э = О. д~ д~ Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости.
С помощью (1.2) его можно написать в виде эуравнения непрерывности» для энтропии + с11у(рэу) = О. (2.7) д~ Произведение рэу представляет собой плотность потока энтропии. Обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если, как это обьгшо имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках обьема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости.
В этих случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатичности просто в виде 18 гл. 1 идкА>1ьнхя жидкость Полезно заметить еп)е одну форму уравнения Эйлера, в котором оно содержит только скорость. Воспользовавшись известной формулой векторного анализа — ягас) и =1» го1 ъ] + )ч»)», 2 можно написать [2.9) в виде З 1 д! — — [»го1ь] = — ягас)(п>+ '— ]. 2 [2.10) Пр!лменив к обеим частям этого уравнения операцию го1, получим уравнение д — го1ч = го$ [чго1ч]! [2.11) д! содержащее только скорость. К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые должны выполняться па ограничивающих жидкость стенках.
Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных степках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки компонента скорости жидкости: по=О [2.12) [в общем же случае движущейся поверхности ьв должно быть равно соответствующей компоненте скорости поверхности). На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие равенства давлений и условие равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей [причех! каждая из этих скоростей равна скорости нормального перемещения самой поверхности раздела).
Как уже было указано в начале 8 1, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами: тремя компонентами скорости ч и! например, давлением р и плотностью р. Соответственно этому полная система гидродинамичсских уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение., выражающее адиабатичность движения. Задача Написать уравнения одномерного течения идеальной жидкости в переменных о, й где а есть я-координата частиц жидкости в некоторый момент времени ! = !о 1так называемая переменная Лагранжа) 1 1 ) Хотя зти переменные н принято называть лагран>кевыми, но в действительности уравнения движения жидкости в этих координатах были впервые получены Л.
Эйлером одновременно с основными уравнениями 12.3). 19 гидгостлтикл Р е ш е н н е. В указанных переменных координата т каждой частицы жидкости в произвольный момент времени рассматривается как функция ли ее же координаты а в начальный момент: х = т(о,г). Условие сохранения массы элемента жидкости при его движении (уравнение непрерывности) напишется соответственно в виде разя = ре да, нли ( — '*) =., где ре(а) есть заданное начальное распределение плотности. Скорость жнд/ дя л г дол кой частицы есть, по определению, г = ) — ), а производная ) — ) опредг дл делает изменение го временем скорости данной частицы по мере ее движения. Уравнение Эйлера напишется в видо а уравнение ациабатичности: ('~') о 9 3. Гидростатика Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера (2.4) принимает вид игаг)Р = ри. (3.1) Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.
(Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнение равновесия гласит просто лгР = О, т. е. Р = сопя), --. давление одинаково во всех точках жидкости.) Уравнение (3.1) непосредственно интегрируется, если плотность жидкости можно считать постоянной во всеьг ее объеме, т. е. ежи не происходит заметного сжатия жидкости под действием внешнего поля. Направляя ось х вертикально вверх, имеем д* др ' дс Отсюда Р = — раз+ сопз1. Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на высоте 6), к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление ро, то эта поверхность должна быть горизонтальнои плоскостью г = 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
