VI.-Гидродинамика (1109684), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Первым приближением в дальней области является просто постоянное значение ъ~ ~ = г/, отвечающее певозмущенному однородному набегающему потоку 1«/ единичный вектор в направлении обтекания). Подстановка з/ = г>+ и121 в 120.20) приводит для я~ ~ к уравнению Осеена 121 ЙгоФ ~игоФьл >) + 21гоФя~ ) = О. (20.23) Решение должно удовлетворять условию обра1пения скорости ь121 в нуль на бесконечности и условию сшивки с решением (20.22) в промежуточной области; последнее устшовие исключает, в частности, решения, слишком быстро возрастающие с уменьшением г ') .
Таким решением является следующее: , (1) + (2) ол+ З ) 1 ~1+ Рг(1+,О)~ — >гя(1 — со«0)) (20.24) и( ) + и( ) — я>П/1+ ян111Š— >гя11 — со«0> 0 0 4г ) Для фиксирования численных коэффициентов в решении надо также учесть условие обрюцения в нуль полного потока жидкости через всякую замкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемый шар.
ТКЧКНИК НРИ МЛЛЫХ ЧИС ИЛХ РКЙНО 'И ДСЛ Отметим, что естественной переменной для дальней области яв- ляется не сама радиальная координата г, а произведение р = гй. При введении этой переменной из уравнения (20.20) выпадает число В, — в соответствии с тем, что при и > 1/11 вязкие и инер- ционныс члены в уравнении сравниваются по порядку величи- ны. Число К входкгг при этом в решение только через граничное условие сшивки с решением в ближней области.
Поэтому разло- жение функции х(г) в дальней области является разложением по степеням В. при заданных значениях произведения р = тР; действительно, вторые члены в (20.24), будучи выражены ге- рез р, содержат множитель В. Для проверки правильности сшивки друг с другом решений (20.22) и (20.24), замечаем, что в промежуточной области (20.21) гй« 1 и выражения (20.24) могут быть разложены по этой псрг, монной. С точностью до первых двух (после однородного потока) членов разложения находим п„= сок д(1 — — ~ + — (1 — сок 0)(1+ 3 сов д), 31 ЗГК 2г 16 ' (20 25) вв = — кшд(1 — — ) — — кшд(1 — сов д).
31 ЗЕ 4т 8 С другой стороны, в той же области г » 1 и потому в (20.22) можно опустить члены 1/гз; остающиеся выражения действи- тельно совпадают с первыми членами в (20.25) (вторые члены в (20.25) понадобятся ниже). Для перехода к следующему приближению в ближней обла- сти пишем и = хд') + ха1~) и получаем из (20.20) уравнение для поправки второго приближения: Ьго1хайй = — К.го11хдцго1х1Ц1. (20.26) Решение этого уравнения должно удовлетворять условию обра- щения в нуль на поверхности шара и условию сшивки с решени- ем в дальней области; последнее означает, что главные члены в функции хд 1(г) при г »1 должны совпасть со вторыми членами в (20.25). Таким решением является следующее: нв — — — нв + — (1 — — ~(4+ — + — + — ) кшдсокд, 12) ЗВ.
00 ЗЙ/ 117 1 1 21 8 32 и и Ри га г « 1/В,. (20.27) В промежуточной области в этих выражениях остаются только члены, не содержащие множителей 1/г; эти члены действительно совпадают со вторыми членами в (20.25). По распределению скоростей (20.27) можно вычислить по- правку к формуле Стокса для силы сопротивления. Вторые 4 Л.
Д. Лаидау и Е.М. Лифшиц, том Ц1 98 ВязкАя жидкость гл и члены в [20.27) в силу своей угловой зависимости не дают вклада в силу., а первые дают как раз тот поправочный член Зй/8. который был приведен в [20.18). В соответствии с изложенной выше аргументацией правильное распределение скоростей вблизи шара приводит [в рассмотренном приближении) к тому же результату для силы, что и решение уравнения Осеена. Следующее приближение может быть получено путем продолжения описанной процедуры. В этом приближении в распределении скоростей появляются логарифмические члены, а в выражении [20.18) для силы сопротивления скобка заменяется на 1+ — гс — — гт~ 1и — 1 ( -'- — '' ч 8 40 К/ [причем логарифм 1п [1/В) предполагается большим) ') .
Задачи 1. Определить движение жидкости, заполняющей пространство между двумя концентрическими сферами [радиусов Лс и Л; Лг > Лс), равномерно вращающимися вокрут различных диаметров с' угловыми скоростями йс и йз [числа Рейнольдса й1Л~с/и, йвЛз)и << 1). Р е ш е н и е. В силу линейности уравнений движение между двумя вращщощиьсися сферами можно рассматривать как наложение двух движений, имеющих место, если одна из сфер покоится, а другая вращается. Положим сначала йг = О, т. е.
вращается только внутренняя сфера. Естественно ожидать, что скорость жидкости в каждой точке будег направлена по касательной к окружности с центром на оси вращения в плоскости, перпендикулярной к этой оси.Но в силу аксиальной симметрии относительно оси вращения давление не может иметь градиента в этом направлении. Поэтому уравнение движения [20. Ц приобретает вид са» = О. Вектор угловой скорости йс является аксиальным вектором. Рассуждения, аналогичные произведенным в тексте, показывают, что можно искать скорость в виде » = го! й, у[г) = [тсу й~). Уравнение движения дает тогда [бгас) сау" йс] = О, поскольку вектор бгас) Л ! направлен по радиус-вектору, а произведение [гйс) не может быть равно нулю при заданном й с н пронзвольном г, то должно быть йс ас! Ьу" = О, так что сху" = совка Интегрируя, получаем э Ь ГЬ 7" = ас. -!- —, » = [ — — 2а) [йсг).
г' ~го Постоянные а и Ь определяются из условий» = 0 при г = Л и» = и при г = Ль где и = [й~ г[ есть скорость точек вращающейся сферы. В результате получим ') Смс Рговс1глап 7., Реогвов о'.Л. О .1. Р!сс!с) МесЬ. 1957. У. 2. Р. 237. ткчькин пРи мллых числлх Ркйно'гьдсл Давление в жидкости остается постоянным 112 = ре). Аналогично получается для случая, когда вращается внешний шар, а внутренний покоится 1йг = 0): ВзВз г = ~ — — — ) [Йгг].
Вз Вз ] Вз гз) 2 1 1 В общем шгучае вращения обеих сфор имеем Если внешний шар вообще отсутствует 1йг = оо, йг = 0), т. е. мы имеем просто шар радиуса Я, вращающийся в неограниченной жидкости, то 1гз ъ = — )ззг]. гз Вычислим момент сил трения, действующих на шар в этом случае. Если выбрать сферические координаты с полярной осью по И, то 412П я, =ге=О, г;=г= зшд. гг Действующая па единицу поверхности шара сила трения равна /дг г'! а„= 21 ! — — — 21 = — 341й зги д. ге дг' !' =к Полный действующий на шар момент снл трения есть ЛХ = / а„„йзгпд 2хЛ зги д41д, о откуда ЛХ = — 8хйдзрп Если отсутствует внутренний шар, то г = ]йгг], т.
е. жидкость просто вращается как целое вместе со сферой, внутри которой она находится. 2. Определить скорость круглой капли жидкости 1с вязкостью г~'), движущейся под влиянием силы тяжести в жидкости с вязкостью 0 ] И'. ЕубсзупзЬ, 1911). Р е ш е н и е. Воспользуемся системой координат, в которой капля покоится.
Для жидкости снаружи капли ищем решение уравнения 120. 5) опять в виде 120.б), так что скорость имеет вид 120лт). Для жидкости же внутри капли надо искать решение, пе обладающее особой точкой при г = 0 !причем должны оставаться конечными также и вторые производные от 1, определяющие скорость). Таким общим решением является АгВ4 у= — г + — г, А 8 чему соответствует скорость т = — Ап -!- Вг ]п1пп) — йп]. 1ОО гл и ВязкАя 1кидкость На поверхности шара ') должны быть выполнены следующие условия.
Нор- мальные составляющие скорости вещества впе (ъ О1) и внутри (чб1) капли должны обращаться в нуль: п~'~ = г1Ы = О. Касательная компонента скорости должна быть непрерывна: „1О "в = гэ то же самое должно иметь место для компоненты п„э тепзора напряжений .О1 п1 1 "в = п.в (условие же равенства компонент о„тензора напряжений можно не пи- сать — оно определило бы собой искомую скорость и,которую, однако.,про- ще найти, как это сделано ниже).
Из указанных четырех условий 1юлучаем четыре уравнения для постоянных а, б, А, В, решение которых дает п2ПЗ ЗП' б Вэ 11' 4 ВВ1 П 4(П + 11') 4(П + П') 2(П + П') Для силы сопротивления получаеь1 согласно (20.14а): 2П+ ЗП Е = 21гиПЛ, 4(П + П') При П' — 1 со (что соответствует твердому шарику) эта формула переходит в формулу Стокса. В предельном же случае П~ — 1 О (газовый пузырек) полу- чается Г = 4хиПВ, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
