VI.-Гидродинамика (1109684), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Е. и(1Р) = и( — 1Р))л ПРИЧЕМ ФУНКЦИЯ и(лр) везде отрицательна (скорость направлена везде к вершине угла) и монотонно меняется от значения 0 при лр = Ылллл2 до зна- чениЯ вЂ” ио (ио ) 0) пРи 1Р = О, так что ио есть максимУм )и(. Тогда при и = — ио должно быть л1и/Жр = О, откуда заключаем, что и = — ио есть корень кубического многочлена, стоящего под корнем в подынтегральнолл выражении в (23.9), гак что можно написать: — иа — иг + Сли+ Сг = (и+ ио)( — иг — (1 — ио)и+ 11), где у — новая постоянная. Таким образолл, имеем и 2лр=~ (и -'; лло)( — ио — (1 — ио)и -Р д) — ио причем постоянные ио и 11 определяются из условий о 4и ( и -Р ио) ( — ио — (1 — ио) и -Р д) (23.13) в игл 6 .I (и Р ио)( — ио — (1 — ио)и Р О) — ио (где К = ~Я/ллр); постоянная д должна быть положительна, в противном случае эти интегралы сделались бы комплексными.
Эти два уравнения имеют, как можно показать, решения для ио и 11 при любых К и о < ог. Другими словами, сходящееся (конфузорное) симметрическое течение (рис. 9) возможно при любом 116 вязкая жидкость гл 11 123.14) или ') Может возникнуть вопрос о том, каким образом этот интеграл может сделаться немалым даже при и — ио. В действительности при очень больших ио один из корней трехчлена — и — 11 — ио)и + д оказывается тоже 2 близким к — ио, так что все подкоренное выражение имеет два почти совпадаЮщих кОрня и потому весь интеграл «пОчти раСхОдитСя» при и = — ио.
угле раствора а ( я и любом числе Рейнольдса. Рассмотрим подробнее движение при очень больших В. Большим В соответствуют также и большие значения ио. Написав 123.12) 1для 9о > 0) в виде 0 ( -)=/' пи 2 — — 9о)= I 2 l У ]и+ ио)] — ио — ]1 — ио)и+9] и мы видим, что во всей области интегрирования подынтегральное выражение теперь мало, если только ]и] не близко к ие.
Это значит, что ]и] может быть заметно отличным от ио только при 9о, близких жег/2, т. е. в непосредственной близости от стенок '). Другими словами, почти во всем интервале углов 9» получается и — сопз1 = -ие, причем, как показывают равенства 123.13), должно быть ио = 1х/1ба). Сама скорость и равна и = ]с)]/рог, что соответствует потенциальному невязкому течению со скоростью, нс зависяРис.
9 щей от угла и падающей по величине обратно пропорционально г. Таким образом, при больших числах Рейнольдса течение в конфузоре очень мало отличается от потенциального течения идеальной жидкости. Влияние вязкости — проявляется только в очень узком слое вблизи стенок, где происходит быстрое падение скорости от значения, соответствующего потенциальному потоку, до нуля 1рис. 10).
Пусть теперь Я > О., т. е. мы имеем дело с диффузорным течением. Сделаем сначала Рис. 10 опять предположение, что движение симметрично относительно плоскости со = 0 и что и(р) 1теперь н > 0) монотонно меняется от нуля при 9э = ~сх/2 до и = но > 0 при ~р = О. Вместо 123.13) пи|нем теперь: ио Ыи 1ио — и)]ие -~-11-~- ио)и -~-9] 0 ио 117 то 1ные Ркшкния КРАВнений дВиокения Если рассматривать ио как заданное, то а монотонно возрастает с уменьшением д и имеет наибольшее возможное значение при о=О: ио Соо2ОК вЂ” / о С другой стороны, как легко убедиться, при заданном 21 со есть монотонно убывающая функция от ио.
Отсюда следует, что ие как функция от д при заданном ох есть монотонно убывающая функция., так что ее наибольшее значение соответствует д = О и определяется написанным равенством. Наибольшему ио соответСтВуЕт таКжЕ И НаИбОЛЬШЕЕ Н = Н2В . С ПОМОЩЬЮ ПОдетаНОВКИ Й =, и=носов я 2 ио 2, 1 -Р 2ио можно представить зависимость Н,о, от 2т в параметрическом виде Я,22 =2Л вЂ” 22 1 -!2 , /' о Таким образом, симметричное, везде расходящееся течение в диффузоре (рис. 11 а) возможно для данного угла раствора Рис. 11 только при числах рейпольдса, не превышающих определенного ПрсдСЛа. Прн СЕ -О я (ЧЕМУ СООтнвтСтнует й -+ О) Н и, СтрЕМИтСя к нулю.
При а — о О (чему соответствует й — + 1/ъ'2)й.; стрс мится к бесконечности по закону П; = 18,822со. При Л ) В. предположение о симметричном, везде расходящемся течении в диффузоре незаконно, так как усло- 118 ВязкАя 1кидкость ГЛ 11 вия (23.14) не могут быть выполнены. В интервале утлов — а112 < 1В < а/2 функция и(О1) должна иметь несколько максимумов или минимумов.
Соответствующие этим экстремумам значения и(1д) должны по-прежнему быть корнями стоящего под корнем многочлена. Поэтому ясно, что трехчлен и +(1+ив)и+г1 2 (с ио > О, д > 0) должен иметь в этой области два вещественных отрицательных корня, так что стоящее под корнем выражение может быть написано в виде (ио и) (и + ио) (и + ио)., где ио > О, и1о > О, и1о1 > 0; пусть и1о < и1о1. Функция и(<р) может, очевидно, изменяться в интервале и > и > — ио, причем и = ио соответствует положительному максимуму и(1д), а и = — и1о отрицательному минимуму.
Не останавливаясь подробнее на исследовании получающихся таким образом решений,. укажем, что при Й > й., возникает сначала решение, при котором скорость имеет один максимум и один минимум, причем движение асимметрично относитольно плоскости (О1 = 0; рис. 11 б). При дальнейшем увеличении В, возникает симметричное решение с одним максимумом и двумя минимумами скорости (рис.
11 в) и т. д. Во всех этих решениях имеются, следовательно, наряду с областями вытекающей жидкости также и области втекающих потоков (но, конечно, так, что полный расход жидкости 1~ > 0). При В, — э оо число чередующихся минимумов и максимумов неограниченно возрастает, так что никакого определенного предельного решения пе существует. Подчеркнем, что при диффузорном течении решение не стремится, таким образом, при В. — ) оо к решению уравнений Эйлера, как это имеет место при конфузорном движении. Наконец, отметим, что при увеличении В, стационарное диффузорное движение описанного типа вскоре после достижения Н = В.
делается неустойчивым и возникает турбулентность. Затопленная струя. Требуется определить движение в струе жидкости, бьющей из конца тонкой трубки и попадающей в неограниченное пространство, заполненное той же жидкостью, так называемая затопленная струя (Л. Ландау, 1943).
Выбираем сферические координаты г, В, оз с полярной осью вдоль направления скорости струи в точке ее выхода, которая выбирается в качестве начала координат. Движение обладает аксиальной симметрией вокруг полярной оси, так что о, = О, а ВО, Ьг ЯВЛЯЮТСЯ ФУНКЦИЯМИ ТОЛЬКО От Г, й. ЧЕРЕЗ ВСЯКУН1 ЗаМК- нутую поверхность вокруг начала координат (в частности, через бесконечно удаленную) должен протекать одинаковый полный поток импульса (« импульс струна).
Для этого скорость должна падать обратно пропорционально расстоянию 1 от начала 119 то 1ныв РБшвния уРАВнений ДВижБния координат, так что ит = -'Р(В). Еа = -"У(В), (23.16) где г', 7' некоторые функции только от д. Уравнение непрерывности гласит: — — (в1пд. иа) = О. дт те1ВО дд Отсюда находим., что Г(д) = — д — Хс180. (23.17) ; гд П„,='д~ Йд (11,„— П„)1 2ао Поэтому из равенства нулю П,р, и Пай следует, что и П,р = О. Таким образом, из всех компонент ПЕР отлична от нуля только Птт, зависящая от т как т . Легко видеть, что при этом уравнения движения дП,Е11дхЬ = 0 удовлетворяются автоматически.
Далее, запишем — (Пэв — П ) = — (~~+ 2и,)'с180 — 2и~') = О, и т' или Решение этого уравнения есть ЙРМпд А — соВ В а из (23.17) получаем теперь для Р: Г = 21 ' — 11. 04 — соВ д)1 — - 1. Распределение давления определяем из уравнения — Ппя = — + — (~+ 2ис180) = 0 7 т р т1 (23.18) (23.19) Кох1поненты Пт,1, Па тензора потока импульса в струе тождественно исчезают, как это явствует уже из соображений симметрии. Сделаем предположение, что равны нулю также и ком- ПОНЕНтЫ ПЯА И П (ОНО ОнраВдЫВаЕтея тЕМ, ЧтО В рЕЗуЛЬтатЕ МЫ получаем решение, удовлетворяющее всем необходимых| условиям).
С помощью выражений (15.20) для компонент тензора а;ь и формул (23.16), (23.17) легко убедиться в том, что между компонентами Прп, П, и Пта тепзора потока импульса в струе имеется соотношение 12О вязкая жидкость Гл и и получаем 4рив Асов — 1 (23.20) гв (А — сов В)в (ро -- давление на бесконечности). Постоянную А можно связать с «импульсом струив, полным потоком импульса в ней. Он равен интегралу по сферической поверхности: Р = ~П,„сов0п1 = 2л- / тдП„сов0в1п0с~0. о Величина П„рав?а р т' !(А — совВ)в А — совВ] и вычисление интеграла приводит к результату Р = 16низрА~1+ — — 1п ~. (23.21) Формулы (23.16) — (23.21) решают поставленную задачу. При изменении постоянной А от 1 до оо импульс струи Р пробегает все значения от оо до О.
Линии тока определяются урав- нением 1г~о„= г 10РВ, интегрирование которого дает в = сопв1. (23.22) А — сов В Рис. 12 На рис. 12 изображен характерный вид линий тока. Течение представляет собой стру ю, вырывающуюся из начала координат и подсасывающую окружающую жидкость. Если условно считать границей струи поверхность с минимальным расстоянием (гв1п0) линии тока от оси, то это будет поверхность конуса с углом раствора 20о, где сов 0о = 1/А. В предельном случае слабой струи (малые Р, чему отвечают большие А) имеем из (23.21) Р = 16~~2р/А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
