VI.-Гидродинамика (1109684), страница 21
Текст из файла (страница 21)
гл 11 вязкая жидкость Прежде всего пишем тождественно: /де, до»1 ~,~ = г)~( — *+ — ') — рб»~+ дя». дг, -1- — / ~»г,ь — г)о( "* + — ") +рб»ь)»Л». (22.5) В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для одного отдельного шарика, как если бы других вообще пе было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию п суспензии 1число шариков в единице объема). Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследования внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это затруднение путем преобразования интеграла, по объему в интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Д~ля этого замечаем, что ввиду уравнений движения д»г»1,»да» = 0 имеет место тождество д Сг»Ь = — 1»т»ЯЬ)' дя» поэтому преобразование обьемного интеграла в поверхностный дает гг»ь = г)о ' + —" + п»~)[О»»хь 4~ — г)О(О» 4ь + пь 4~)].
(а', ь~ Член с р мы опустили, имея в виду, что среднее давление непременно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, который должен определяться линейной комбинацией компонент тензора»у»ь, но единственный такой скаляр он = О). При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении 122.3) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены 1»»г~. Простое вычисление дает для этого интеграла г»г)о 20лК~» 5гг»гип,пьп»г»и» — сг»»пыл»), где черта обозначает усреднение по направлениям единичного вектора и.
Производя усреднение '), получим окончательно: »' ди» до» '» 4яй~ й»ь = г)о( * + — ]+ 5>)осг»ь ' п. (22.6) дг»„. дг, 3 1 ) Искомые средние значения произведений компонент единичного вектора представляют собой снл»метричные тензоры, которые могут быть составлены только из единичных тензоров б,я. Имея ато в виду, легко найти, что 1 1 и,и» = — б,», и,и»и»и, = — (б,»б», -Ь б»б»м 4- б бы) то 1ные Решвния уРлвнений даи1кения 1 23 Первое слагаемое в 122.6) после подстановки в него тдо) из 122.1) дает 2г)оаеь, член же первого порядка малости в этом слагаемом тождественно обращается в нуль после усреднения по направлениям и (как и должно было быть, поскольку весь эффект заключен в выделенном в 122.5) интеграле). Поэтому искомая относительная поправка в эффективной вязкости суспензии г) определяется отношением второго члена в (22.6) к первому.
Таким образом,. получим 4 оа г) = г)О(1+ -~р), еэ = — ьз1 122.7) 2 3 где р малое отношение суммарного объема всех шариков к полному объему суспензии. Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения аналогичные вычисления и окончательные формулы становятся очень гролюздкими ') . Приведем для иллюстрации числовые значения поправочного коэффициента А в формуле г) = )011+ Аоз), 1р = в з для нескольких значений отношения а/Ь (а и Ь = с . полуоси эллипсоидов): а/Ь = 0,1 0,2 0,5 1,0 2 5 10, А = 8,04 4,71 2,85 2,5 2,91 5,81 13,6. Поправка возрастает по обе стороны от значения а/Ь = 1, отвечающего сферическим частицам. я 23.
Точные решения уравнений движения вязкой жидкости Если нелинейные члены в уравнениях движения вязкой жидкости не исчезают тождественно, решение этих уравнений представляет большие трудности, и точные решения могут быть получены лишь в очень небольшом числе случаев. Такие решения представляют существенный интерес если не всегда физический (ввиду фактического возникновения турбулентности при достаточно больпгих значениях числа Рейнольдса), то, во всяком случае, методический. ') В потоке суспензии с нешарообразными частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влиянием одновременного воздействия ориентирующих гидродинамических сип и лезориеигирующего вращательного броуновского движения устанавливается анизотропное распределенно частиц гю их ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычислении поправки к вязкости нр анизотропия ориентационного распределения сама зависит от градиентов скорости 1в первом приближении — линейно) и ее учет привел бы к появлсни1о в тензоре напряжений,нелинейных по градиентам членов.
112 ГЛ 11 ВЯЗКАЯ 1КИДКОСТЬ о„=О, о,.=йг, о, =О при В=О, при г = оо. о,=О., Аксиальная скорость о, не исчезает при з — ~ оо, а стремится к постоянному отрицательному пределу, определяющемуся из самих уравнений движения. Дело в том, что, поскольку жидкость движется радиально по направлению от оси вращения, в особенности вблизи диска, для обеспе 1ения непрерывности в жидкости должен существовать постоянный вертикальный поток по направлению из бесконечности к диску. Решение уравнений движения ищем в виде о.
= ъ'ийН(В1), о„= гйГ(з1), од — — гйС(з1 ), (23.1) /а ГДЕ Я1 = )1 — В. 1/ и р = — рийР(з~), В этом распределении радиальная и круговая скорости пропорциональны расстоянию от оси вращения диска, а вертикальная скорость о, постоянна вдоль каждой горизонтальной плоскости. Подстановка в уравнения Навье — Стокса и уравнение непрерывности приводит к следующим уравнениям для функций Г, С,Н,Р: Гз С'+ Г'Н вЂ” Г" 2ГС + С'Н = С", (23.2) НН' = Р'+ Н", 2Г+ Н' = О (штрих означает дифференцирование по г1 ) с предельными усло- виями: Г=О, С=1, Н=О при В1 =О, (23.3) Г=О, С=О ПРИ В1 = Со.
Мы свели, таким образом, реп1ение зада 1и к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной переменной, которое может быть произведено численным обра- Ниже приводятся примеры точных решений уравнений движения вязкой жидкости. Увлечение жидкости вращающимся диском. Бесконечный плоский диск, погруженный в вязкую жидкость, равномерно вращается вокруг своей оси. Требуется определить движение жидкости, приводимой в движение диском(Т. Катп1ап, 1921).
Выбираем плоскость диска в качестве плоскости в = О цилиндрических координат. Диск вращается вокруг оси з с угловой скоростью й. Рассматриваем неограниченную жидкость с той стороны диска, где в > О. Предельные условия имеют вид 113 ТО 1ные Решения ЕРлвнений деи«кения М 2 /' 2яггп,,12 яН4Р.,Я18 Сг~ 10) 0 множитель 2 перед интеграпом учитывает наличие у диска двух сторон, омываемых жидкостью), численное вычисг1ение функ- ции С приводит к формуле М = — 1,94 Н~рь'1«Й1.
(23.4) Течения в диффузоре и конфузоре. Требуется определить стационарное движение жидкости между двумя плоскими стенками, наклоненными друг к другу под углом 1на рис. 8 изображен поперечный разрез обеих плоскостей); истечение происходит вдоль линии пересечения плоскостей 16. Нагпе1, 1917). о Выбираем цилиндрические координаты г, е, 1р с осью е вдоль линии пересечения плоскостей (точка О на рис. 8) и углом 1р, отсчитываемым указанным на рис. 8 образом.
Рис. 8 Движение однородно вдоль оси е, и естественно предположить, что оно будет чисто радиальным, т. е. вр — — в, = О, в„= в(г, 1р). Уравнения 115.18) дают дв 1 др / д в 1 д«в 1 дв в '1 в — = — — — + и~ — + —,— + — — — — «), дг р дг 1 д1' г«др' г дс «а) (23.6) рс др Р' д1« ) =0 дг (23.5) зом. Па рис.
7 изображены полученные таким способом графики функций Г, С, — Н. Предельное значение функции Н при 21 -+ — ОО равно — 0,886, другими словами, скорость потока жидкости, текущего из бесконечности к диску, равна 0,8 0,8 в,(ОО) = — 0,886хг'ИП. 0,4 Сила трения, действующая на едини- с цу поверхности диска по направлению, перпендикулярному к его радиусу, есть д ' ' 0 1,0 2,0 3,0 4 «1 с««„, = 11 — ' . Пренебрегая эффекта- д««=0 Рис.
7 ми от краев диска, можно написать для диска большого, но конечного радиуса Л момент действующих на него сил трения в виде 114 Гт!. 11 Вязкля жидкость Из последнего уравнения видно, что ти есть функция только от 1р. Введя функцию и(1р) = — ти2 (23.7) 6К получаем из (23.6) 1 др р д1р т' 111р откуда — и(1р) + ~Я. Подставляя это выражение в (23.5), получаем уравнение — + 4и + би = — т 1'(т), В и З 1 3 1 д р2 Г,1,2 откуда видно, что как левая, так и правая части, зависящие со- ответственно только от 1р и только от 1, являются, каждая в отдельности, постоянной величиной, которую мы обозначим как 2С1.
Таким ОбраЗОм, ~'(т) = 121~С1 —,, откуда 2 1т) = — , + сопв1, т2 и окончательно имеем для давления р Ь" = — (2и — С1) + сопв1, р Г1 Для и(1р) имеем уравнение и" + 4и + би = 2См которое после умножения на и' и первого интегрирования дает (23.8) — + 2и + 2из — 2С1и — 2С2 = О 2 Отсюда получаем 21р = ~ / + Сз (23.9) и(~ — ) =0 (23.10) чем и определяется искомая зависимость скорости от 1р; функция и(1р) может быть выражена отсюда посредством эллиптических фУнкЦий. ТРи гюстоанные С1, Сз, Сз опРеДелЯютсЯ из гРанич- ных условий на стенках: то лные Решения ИРАВнений дВилнения 115 (23.12) и из условия, что через любое сечение г = сопа$ проходит (в 1 с) одинаковое количество жидкости (,1: -Раллг -Раллг 6~ = р / игл1лр = бар / исйр.
(23.11) — аллг —,лг Количество жидкости Ц может быть как положительным, так и отрицательным. Если е) ) О, то линия пересечения плоскостей является источником, т. е. жидкость вытекает из вершины угла (о таком течении говоргп как о течении в диффузоре). Если о,л < О, то эта линия является стоком, и мы имеем дело со сходящимся к вершине угла течением (илил как говорят, с течением в коифузоре). Отношение ~Я~/(рлл) является безразмерным и играет роль числа Рейнольдса для рассматриваемого движения. Рассмотрим сначала копфузорное движение (гол < 0). Для исследования решения (23.9) .(23.11) сделаем оправдывающееся в дальнейппем предположение, что движение симметрично относи- тЕЛЬПО ПЛОСКОСТИ 1Р = 0 (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
