VI.-Гидродинамика (1109684), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для скорости получаем в этом случае Р в)вВ (23.23) 8кир с КОЛВВЛТЕЛЫ!ОЬ ДВИЖЕИИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 121 В обратном случае сильной струи (болыпие Р, чему отвечает А — 7 1) ') имеем И77 = — — с18 —, (23.24) 7' 2 а для малых углов (й до): 4ий в,' И77, нг 8~ 19,+уз) ' ' 197+61)ег' Полученное здесь решение является точным для струи, рассматриваемой как бьющая из точечного источника. Если учитывать конечные размеры отверстия трубки, то это решение представляет собой первый член разложения по степеням отношения размеров отверстия к расстоянию г от него. С этим обстоятельством связан тот факт, что если вычислить по полученному решению полный поток жидкости, проходящей через замкнутую поверхность вокруг начала координат, то ои окажется равным нулю. Отличный от нуля поток получился бы при учете следующих членов разложения по указанному отношению ') .
(23.25) 8 24. Колебательное движение в вязкой жидкости Движение, возникающее в вязкой жидкости при колебаниях погруженных в иее твердых тел, обладает рядом характерных особенностей. Для изучения этих особенностей удобно начать с рассмотрения простого типичного примера (С.С. ЯО1ен7 1851).
Пусть несжиклаемая жидкость соприкасается с неограниченной ш1оской поверхностью, совершающей (в своей плоскости) простое гармоническое колебательное движение с частотой ВЗ. Требуется определить возникающее при этом в жидкости движение. ') В,зействительности, однако, движение в достаточно сильной струе становится турбулентным 11 36).
Отметим, что роль числа Ройнольдса для рассмотренной струи играет безразмерный параметр (Рдриз)) Из. См. Румер Ю.Б. /! Прикл. маг. и мех. 1952. Т. 16. С. 255. атопленная ламинарная струя с отличным от нуля моментом вра7цения вокруг оси рассмотрена Лойцлнским Л.Г.,7,7 Прикл. мат. и мех. 1953. Т. 17. С. 3. Упомянем, что гидродинамические уравнения несжимаемой вязкой жидкости для любого стационарного осесимметричного движония, в котором скорость убывает с расстоянием как 1/г, могут быть сведены к одному обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка.
Смз Слезкин Н.А. О Уч. зап. МРУ. 1934. Вьш. и; Прикл. мат. и мех. 1954. Т. 18. С. 764. р2 64х о= 2 ЗР Для больших утлов (й-1) распределение скоростей определяется формулами 122 вявкля жидкость Гл и Твердую поверхность выберем в качестве плоскости ув; области жидкости соответствуют т > О. Ось у выберем вдоль направления колебаний поверхности. Скорость и колеблющейся поверхности есть функция времени вида Асов(оЛ+ О).
Удобно писать такую функцию в виде вещественной части от комплексного выражения: и = Ве 1иое '"~) (с комплексной, вообще говоря, постоянной ио = Ае '; надлежащим выбором начала отсчета времени эту постоянную всегда можно сделать вещественной). До тех пор, пока при вычислениях производятся только линейные операции над скоростью и, можно опускать знак взятия вещественной части и вычислять так, как если бы и было комплексным, после чего можно взять вещественную часть от окончательного результата. Таким образом, будем писать: ио — — и=иое ' '. (24.1) Скорость жидкости должна удовлетворять граничному условию и = и, т.
е. и,=и,=О, ио — — и й= —, б ми=як, (24.4) при л = О. Из соображений симметрии очевидно, что все величины будут зависеть только от координаты т (и от времени 1). Из уравнения непрерывнос си г11г и = О имеем поэтому — * = О, д* откуда и = сопв1, причем согласно граничным условиям эта постоянная должна быть равной нулю, т.
е, и = О. Поскольку все величины пе зависят от координат у, г, и благодаря равенству и нулю имеем тождественно (чтУ)ч = О. Уравнение движения (15.7) приобретает вид — = — — кгабр+ иЬ». дт 1 (24.2) д1 р Это уравнение линейно. Его х-компонента дает др/дт = О, т. е. р = сопво. Из симметрии очевидно также, что скорость и направлена везде по оси у. Для ио —— о имеем уравнение (24.3) (типа одномерного уравнения теплопроводности). Будем искать периодическое по т, и б решение вида г(ьх — ой и = иое удовлетворяющее условию и = и при т = О. Подстановка в уравнение дает колквлтклыюк движение в вязкой жидкости 123 1 24 так что скорость дх х О у 2 (24.6) Предполагая пе вещественным и отделив в (24.6) вещественную часть, получим о „= — ~/ырт~ ио сов (озб + — 1 .
4/ Скорость же колеблющейся поверхности есть и = ив сов озй Таким образом, .между скоростью и силой трения имеется сдвиг фаз х) . ,Легко вычислить также и среднее (по времени) значение диссипации энергии при рассматриваемом движении. Это можно сделать по общей формуле (16.3); в данном случае, однако, проще вычислить искомую диссипацию непосредственно как работу сил трения.
1Лыенно, диссипация энергии в единицу времени, отнесенная к единице площади колеблющейся плоскости, равна среднему значению произведения силы гг „на скорость иу —— и; — ио шру е — гг „и = — ~/ —. 21/ 2 (24.7) ') На расстоянии 4 амплитуда волны убывает в е раз, а на протяжении одного пространственного периода волны .. в ез 540 раз. з) При колебаниях полуплоскости (параллельно линии своего края) возникает дополнительная сила трения, связанная с краевыми аффектами. Задача о движении вязкой жидкости при колебаниях полуплоскости (а также н более общая задача о колебаниях клина с произвольным зтлом раствора) может быть решена с помощью класса решений уравнения зху" 4- к 7" = х = О, используолгого в теории дифракции от клипа.
Мы отметим здесь лишь следующий результат: возникающее от краевого эффекта увеличение силы трения на полуплоскость может быть описано как результат увеличения площади при смещении края полуплоскости на расстояние а/2 с д из (24А) 1Л.Д. Ландау, 1947). — х/4 йх/4 — мг) (24.5) (выбор знака корня хг'4 в (24.4) определяется требованием затухания скорости в глубь жидкости). Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны: скорость пу — — и перпендикулярна направлению распространения волны. Они, однако, быстро затухают по мере удаления от создающей их колеблющейся твердой поверхности. Затухание амплитуды происходит по экспоненциальному закону с глубиной проникновения б ') . Эта глубина падает с увеличением частоты волны и растет с увеличением вязкости жидкости.
Действующая на твердую поверхность сила трения направлена, очевидно, по оси у. Отнесенная к единице площади, опа равна 124 ВязкАя жидкость ГЛ 11 Она пропорциональна корню из частоты колебаний и из вязкости жидкости. Может быть решена в замкнутом виде также и общая задача о жидкости, приводимой в движении плоской поверхностью, движущейся (в своей плоскости) по произвольному закону и = = и(г). Мы не станем производ1лть здесь соответствующие вычисления, так как искомое решение уравнения (24.3) формально совпадает с решением аналогичной задачи теории теплопроводности, которая будет рассмотрена в ~ 52 (и дается формулой (52.15)). В частности, испытываемая твердой поверхностью сила трения (отнесенная к единице площади) определяется формулой (24.8) (ср.
(52.14)) Рассмотрим теперь общий случай колеблющегося тела произвольной формы. В изученном выше случае колебаний плоской поверхности член (чГу~ч в уравнении движения жидкости исчезал тождественно. Для поверхности произвольной формы это, конечно, уже пе имеет места. Мы будем, однако, предполагать, что этот член мал но сравнению с другими членами, так что им все же можно пренебречь. Необходимые для возможности такого пренебрежения усаовия будут выяснены ниже. Таким образом, будем исходить по-прежнему из линейного уравнения (24.2). Применим к обеим частям этого уравнения операцию го1.
Член го1 бгас1р исчезает тождественно, так что мы получаем д — го$ м = ьзз гое», (24.9) д1 т. с. Тобам удовлетворяет уравнению типа уравнения теплопроводности. Но мы видели выше, что такое уравнение приводит к экспоненциальному затуханию описываемой и>1 величины. Мы можем, следовательно, утверждать, что завихренность затухает по направлению в глубь жидкости. Другими словами, вызываемое колебаниями тела движение жидкости является вихревым в некотором слое вокруг тела, а на больших расстояниях быстро переходит в потенциальное движение.
Глубина проникновения вихревого движения 5. В связи с этим возможны два важных предельных 1шучая. Величина Б может быть велика или мала по сравнению с размерами колеблющегося в жидкости тела. Пусть 1 порядок величины этих размеров. Рассмотрим сначала случай 5»1; это значит, что должно выполняться условие 1 В1 « и. Наряду с этим условием мы будем предполагать также, что число Рейнольдса мало. 1 24 КОЛЕВЛ1'ЕЛЫ!ОЬ ДВИЖЕИИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКООТИ 125 Если и амплитуда колебаний тела, то его скорость порядка величины аш.
Поэтому чишю Рейнольдса для рассматриваемого движения есть ша1/и. Таким образом, предполагаем выполнение условий 1 ш«и, — «1. (24.10) Это случай малых частот колебаний. Но малость частоты означает, что скорость медленно меняется со временем и потому в об!цем уравнении движения — + (ч~7~ч = — — !ар+ иЬч дс Р можно пренебречь производной дч/д1. Членом же (чЧ)!г можно пренебречь в силу малости чисз>а Рейнольдса. Отсутствие члена д4г/д1 в уравнении движения означает стационарность движения. Таким образом, при б» 1 движение можно рассматривать в каждый данный момент времени как стационарное.
Это значит! что движение жидкости в каждый данный момент такое же, каким оно было бы при равномерном движении тела со скоростью, которой оно в действительности обладает в данный момент. Если, например, речь идет о колебаниях 1>огру>кенного в жидкость шара, с частотой, удовлетворяющей неравенствам (24.10) (где 1 есть теперь радиус шара), то можно поэтому утверждать, что испытываемая шаром сила сопротивления будет определяться формулой Стокса (20.14), полученной для равномерного движения шара при малых числах Рсйнольдса. Перейдем теперь к изучению противоположного случая, когда 1» 5. Для того чтобы можно было опять пренебречь членом (мгУ~ч., необходимо в этом случае одновременное выполнение условия малости амплитуды колебаний тела по сравнению с его размерами 1 В>» и, а « 1 (24.11) (заметим, что число Рейнольдса при этом отнюдь не должно быть малым).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
