VI.-Гидродинамика (1109684), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. сила сопротивления составляет 2/3 сопротивления твердому шарику. з Приравнивая Г действующей на каплю силе тяжести — Л (р — р )3, 3 д ь др др дг дд дз 1д(,) дг, г дг д" (2) ) Изменение формы капли при ее движении можно не рассматривать, так как опо представляет собой эффект высшего порядка малости. Но для того чтобы движущаяся капля фактически была шарообразной, силы поверхностного натяжения на ее границе должны превышать силы, происходящие от неравномерности давления и стремящиеся нарушить шаровую форму.
Это значит, что должно быть Пи/В << а/В (Π— коэффициент поверхностного натяжения) или, подставляя и й бр/П1 В « (о ((рК) ) "'. найдем 2В'й(р — р')(П -ь П') и= ЗП(2П+ ЗП') 3. Две параллельные плоские круглые пластинки (радиуса В) расположены одна над другой на малом расстоянии друг от друга; пространство между ними заполнено жидкостью. Пластинки сближаются друг с другом с постоянной скоростью и, вытесняя жидкость. Определить испытываемое пластинками сопротивление (О.
АерпоЫЗ). Р е ш е н и е. Выбираем цилиндрические координаты с начшюм в центре нижней пластинки (которую полагаем неподвижной). Движение жидкости осесимметрично, а ввиду тонкости слоя жидкости в основном радиально (э.- « в,.), причем ди„)дг « де,/дю Поэтому уравнения движения принимают вид ламина ный след 1О1 З 21 с граничными условиями при з=О: е,=е,.=о, при з=л: е„=О, е. = — и, при г=й: р=рз (6 — расстояние между пластинками, рз — внешнее давление).
Из уравнений (1) находим 1 г1р г = — — з(з — 6), 2Ч гзг Интегрируя же уравнение (2) по Нз, получилз аз и = — — ( ги, оз =— г Ж,l 12лг г1г йг о откуда ре + (й г ) Зов ьз Полная сила сопротивления, действующая па пластинку, равна З~опЯ 2йз й 21. Ламинарный след При стационарном обтекании твердого тела вязкой жидкостью движение жидкости на больших расстояниях позади тела обладает своеобразным характером, который может быть исследован в общем виде вне зависимости от формы тела. Обозначим через Т7 постоянную скорость натекающего на тело потока жидкости (направление 1.1 выберем в качестве оси х с началом где-либо внутри обтекаемого тела).
Истинную же скорость жидкости в каждой точке будем писать в виде Ю + и; на бесконечности ч обращается в нуль. Оказывается, что на болыпих расстояниях позади тела скорость ч заметно отлична от нуля лишь в сравнительно узкой области вокруг оси х. В эту область, называемую ламинарпылг следом '), попадают частицы жидкости, движущиеся вдоль линий тока, проходящих мимо обтекаемого тела на сравнительно небольших расстояниях от него. Поэтому движение жидкости в следе существенно завихрено.
Дело в том, что источником завихренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью является именно его поверхность з) . Это легко понять, вспомнив, ') В отличие от турбулентного следа в см. 2 37. з) На неправолзерность утверждения о сохранении равенства гост = О вдоль линий тока, проходящей вдоль твердой поверхности, указывалось узко в з 9. 102 ГЛ 11 ВязкАя жидкость что в картине потенциального обтекания, отвечающей идеальной жидкости, на поверхности тела обрагцается в нуль только нормальная, по пе танге~циальпая скорость жидкости мг.
Между тем граничное условие прилипания для реальной жидкости требует обращения в нуль также и мь При сохранении картины потенциального обтекания это привело бы к конечному скачку м1 возникновению поверхностного ротора скорости. Под влиянием вязкости скачок размывается и завихренность проникает в глубь жидкости, откуда и переносится конвективным образом в область следа. На линиях же тока, проходящих достаточно далеко от тела, влияние вязкости незначительно на всем их протяжении, и потому ротор скорости на них (равный нулю в натекающем из бесконечности потоке) остается практически равным нулю,как это было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших расстояниях от тела движение жидкости можно считать потенциальным везде, за исключением лишь области шгеда.
Выведем формулы, связывающие свойства движения жидкости в следе с действуюгпими на обтекаемое тело силами. Полный поток импульса, переносимого жидкостью через какую-нибудь заклкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемое тело, равен взятому по этой поверхности интегралу от тензора потока импульса: фпь У,. Компоненты тензора Пгь равны Пгь = Ргггь + Р(~'г ггг) ЯУА + пь). Напишем давление в виде р = рв+р', где ро давление на бесконечности. ИнтегРиРование постоЯнного члена Робгв + РЦГЬ Даст в результате нуль, поскольку для замкнутой поверхности векторный интеграл ~ гй = О.
Обращается в нуль также и интеграл ) рпь ггг1ьг поскольку полное количество жидкости в рассматриваемом объеме остается неизменным, полный поток жидкости через охватывшошую его поверхность должен исчезать. Наконец, вдали от тела скорость и мала по сравнению с Н. Поэтому если рассматриваемая поверхность расположена достаточно далеко от тела, то на ней можно пРснсбРечь в Пгь членом Рп;вь по сравнению с РГьпг.
Таким образом, полный поток импульса будет равен интегралу ~~г(Р'бгь + Р11Апг) 4ь Выберем теперь в качестве рассматриваемого объема жидкости объем между двумя бесконечными плоскостями х = сопэ1, 1 21 ллмиилгинй след Г, = — рУ / и, ду «Ь, (21.1) где интегрирование производится по площади поперечного сечения следа вдали от тела.
Скорость ь» в следе, разумеется, отрицательна жидкость движется здесь медленнее, чем она двигалась бы при отсутствии тела. Обратим внимание на то, что стоящий в (21.1) интеграл определяет «дефицит» расхода жидкости из которых одна взята достаточно далеко впереди, а другая— позади тела. При определении»юлного потока импульса интег- рал по бесконечно удаленной «боковой» поверхности исчезает (так как на бесконечности р' = О.,ч = 0), и поэтому достаточно интегрировать только по обеим поперечным плоскостям.
Полу- чающийся таким образом поток импульса представляет собой, очевидно, разность между полным потоком импульса, втекаю- щим через переднее, и потоком, вытекающим через заднее сече- ние. Но эта разность является в то же время количеством им- пульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу, т. е. си.лой Р, .действующей на обтекаемое тело. Таким образом, компоненты силы Р равны разностям '=( ~-й х=х» в=.«ч =( 1 ~)1«~~~~, Р,=( ~ — ~)ри,,»и, и;-х» я=в~ Х=Х~ Х=Х~ где интегрирование производится по бесконечным плоскостям х = х~ (значительно позади) и х = лв (значительно впереди тела).
Рассмотрим сна шла первую из этих величин. Вне следа движение потенциально, и потому справедливо уравнение Бернулли р + — (11 + г~ = сопв1 = ро + — Г, 2 2 или, пренебрегая членом рп~/2 по сравнению с РМч, / р = — рГп, Мы видим, что в этом приближении подьштегральное выраже- ние в Г„обрап1ается в нуль во всей области вне следа. Други- ми словами, интеграл по плоскости л = л«(проходящей впе- реди тела и пе пересекающей след вовсе) исчезает полностью, а в интеграле по задней плоскости л = т~ надо интегрировать лишь по площади сечения следа. Но внутри следа изменение дав- ления р —.
порядка величины рп, т. е. мало по сравнению с реп . ! ,г Таким образом. приходим к окончательному результату, что сила сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания, равна 104 Гл и ВязкАя жидкость через сечение штеда по сравнению с расходом при отсутствии тела. рассмотрим теперь силу (с компонентами Рю Р,), стремящуюся сдвинуть тело в поперечном направлении. Эта сила называется подземной.
Вне следа, где движение потенциально, можно написать пк — — д1р11др, и, = д1д,1'дх, :интеграл по проходящей везде вне следа плоскости х = хя обращается в нуль: и„дрд, = ~ — 'дуа = 0, ~' — 'дца = 0, дд дц поскольку на бесконечности 1р = О. Таким образом, для подъемной силы получаеь1 выражение гк —— — рГ / и, дусЬ, Р, = — рГ / п, с~у д». (21.2) Интегрирование в этих формулах фактически тоже производится лишь по площади сечения следа. Если обтекаемое тело обладает осью симметрии (не обязательно полной аксиальной симметрии) и обтекание происходит вдоль направления этой оси1 то осью симметрии обладает и движение жидкости вокруг тела. В этом случае подъемная сила, очевидно., отсутствует. Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка различных членов в уравнении Навье.Стокса показывает, что членол1 иЬЗ1 можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях г от тела, удовлетворяющих условию ТП(и» 1 (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
