VI.-Гидродинамика (1109684), страница 25
Текст из файла (страница 25)
По 124.14) находим диссипируемую эпергиго 1отнесеггную к единице длины цилиндра): Е,„„= яи ЛугГ2рйаг. Сравнение с формулами Г24.15), Г24.16) дает для искомой силы: Рл„„. — — 2ггЛи гуг2рцаг. Т. Определить силу сопротивления, действующую на произвольно движущийся шар 1скорость шара есть заданная функция времени и = и11)). 1самуго функцию 1 ъгожно не выписывать, так как в скорость входят только производные 1 и г'~~).
Постоянные а и Ь определяются из условия и = п при г = Л и оказываются равными зл,„л г з з а,=- — е-', Ь=- — (1— 12) 2гЬ 2 1 гЬЛ /сгЛэ/ Отьгеэим, что при больших частотах гЛ » Ь) а э О, Ь э — Л~гг2, что соответствует 1в согласии с утверждениями 3 24) потонциальному движению 1определенному в задаче 2 3 10). Сила сопротивления вычисляется по формуле г20.13), в которой интегрирование производится по поверхности шара.
Результат: 131 э 24 кОленатьльнОе движение В ВязкОЙ жидкости Р е ш е н и е. Разлагаем и(4) в интеграл Фурье: и11) = — и е г)ы, и = / и(т)е™" Йт. 2я з з — с ( бь 2иэ Зъ~2и грЛ и е ' ~ — — — + — (1 — 4)~/~~. '1Л' 3 К гда~ Замечая, что ) — ) = — 1тон, переписываем это в виде Ж з,,1 бп 2 Зъ~2и, 1+4) хрВ е 1 — и + — (г1)„+ — (и) 1ю ",с/ При интегрировании по ди/2я в первом и втором членах получаем соответственно Е1г) и и(г).
Для интегрирования третьего члена раньше всего замечаем, что для отрицательных ы надо писать этот член в комплексно 1 — г 1+г сопряженном виде, написав в пем вмеСто (это связало с тем, что ъ'Т ) полученная в задаче 5 формула (3) выведена для скорости и = нее 'и' с положительным ьд для скорости же иэе™ получилась бы комплексно сопряженная величина). Поэтому вместо интеграла по Ны в пределах от— — со до +ос можно написать удвоенную вещественную часть интеграла от 0 до -~-оо. 2 ~ . Г (и) е ' ' — Ве (1-~-г) / Ж~ 2я ~,/ эгБ о г и( )е'1 = — Ве ~(1+в) / / сЬ4т4-(14-1) / / г)мат — е е Таким образом, получаем окончательное выражение для силы сопро- тивления 4~1ди Зи 3 И 1 Зи йт Г = 2хр — — 4- — и 4- — ~/ — / ~334 Лэ К1„/ ат,/Г--т~ (4) В силу линейности уравнений полная сила сопротивления может быть напи- сана в виде интеграла от сил сопротивления, получая>шихся при движении со скоростями, равными отдельным компонентам Фурье и„е ™; эти сиды определяются выражением (3) задачи 5 и равны 132 вязкая жидкость гл и 8.
Определить силу сопротивления для п~ара, начинающего в момент 1 = 0 двигаться равноускоренно по закону и = об Р е ш е и и е. Полагая в формуле (4) задачи 7 и = 0 при 1 < 0 и и = о1 при 1 > О, получаем (при Ф > 0): нэ Р = 2хрЛ~о [ — 4- — 1-~- — ( — ) ]. 9. Определить силу сопротивления для шара, мгновенно приведенного в равномЕрное движЕниЕ. Р е ш е н и е.
Имеем и = 0 при 1 < 0 и и = ие при 1 > О. Производная Ии/М равна нулю всегда, кроме момента 1 = О, в который она обращается в бесконечность, причем так, что интеграл от ди/Ж по времени конечен и равен ио В результате получаем для всего времени 1 > 0 Вз Г = бярийво(1 4- ~ + подП); и 1) 3 здесь б11) есть б-функция. При 1-э ж это выражение асимптотичоски приближается к значению, даваемому формулой Стокса. Импульс силы сопротивления, испытываемый шаром в течение бесконечно малого интервала времени вокруг 1 = О, получается интегрированием по времени последнего члена в Е и равен 2ярйзпо/3.
10. Определить момент сил, действующих на шар, совершающий в вязкой жидкости вращательное колебательное движение вокруг своего диаметра. Р е ш е и и е. По тем же причинам, что и в задаче 1 3 20, в уравнении движения можно не писать члена с градиентом давления, так что имеем ди — = иЬт. дэ Ищем решение в виде ч = гос ~Йое '"', где Й = Йее '" — угловая скорость вращения шара. Для 1 получаем теперь вместо уравнения Л1 = сопвС следующее уравнение: Лу ч-1.
1 = солей Опуская несущественный постоянный член в решении этого уравнения, имев ем отсюда з' = -е' " (выбирается решение, которое обращается на бескопечт ности в нуль). Постоянную а определяем из предельного условия т = )Йг] на поверхности шара и в результато получаем Вз щ„л),,ГЛ'~з 1 — юг,ьр и> г(1 — гйЛ) г 1 — гкЛ 21 — радиус шара). Вычисление, аналогичное произведенному в задаче 1 20, приводит к следующему выражению для момента сил, действующих на шар со стороны жидкости: 8~г в 3 4-6В/д 4-6(В/б)в 4- 2(Я/б)~ — 21(В/б)з(1 4- В/д) 3"'" 1+2 .~3~2~Лсб)в злтухлиик гглВитлциОиных ВОли При ш — 1 0 (т. е.
6 — 1 оо) получается выражение ЛХ = — Зтййзрч соответствующее равномернол!у вращени1о шара (су!. задачу 1 3 20). В обратном же предельном случае й/6» 1 получается яй ЛР'А! — 1)11 4У!2 3 Это выражение можно получить и непосредственным путем: при 6 «Л каждый элемент поверхности шара можно рассматривать как плоский, а действующую на него силу трения определить по формуле (24.6), подставив в нее скорость и = Пйэш 6. 11. Определить момент сил, действующих на наполненный вязкой жидкостью полый шар, совершающий вращательное колебательное движение вокруг своего диаметра. Р е ш е н и е. Ищем скорость в том же виде, как ив предыдущей задаче.
Для !" берем решение, конечное во всем объеме внутри шара, включая его яп кт центр: 1 = а . Определяя а из граничного условия, получаем т т В 15 тй сов Ь!. — яп кт ВМ соз Лй — зш ЯЛ Вычисление момента сил трения приводит к выражению 8 5 й~й'япЬВ+Зьйсозйй — Зяпйй ЛХ = —.гчйзй 3 кй соз ЙЛ вЂ” яп кй Предельное выражение при Л1!6» 1 совпадает, естественно, с соответствующим выражением предыдущей задачи. Если же й/6 «1, то 5 ЛХ = — ярый !1! ! —— 15 Зато ) Первый член в этой формуле соответствует инерционным силам, возникающим при вращении всей массы жидкости как пелого.
й 25. Затухание гравитационных волн Рассуждения, аналогичные вышеизложенным, могут быть проведены гю поводу распределения скоростей вблизи свободной поверхности жидкости. Рассмотрим колебательное движение, происходящее у поверхности жидкости (например, гравитационные волны). Предположим, что выполняются условия (24.11), в которых теперь роль размеров 1 играет длина волны Л: Л~со >> гт, а << Л (25. Ц 1а -- амплитуда полны, ы -- ее частота). Тогда можно утверждать, что решение будет вихревым лишь в тонком слое у поверхности жидкости, а в основном ее обьеме движение будет потенциальным — таким, каким опо было бы у идеальной жидкости.
Движение вязкой жидкости должно удовлетворять у свободной поверхности граничным условиям (15.16), требующим исчезновения определенных комбинаций производных от скорости по 134 ГЛ 11 ВЯЗКАЯ 1КИДКОСТЬ координатам. Движение жс, получающееся в результате решения уравнений гидродинамики идеально13 жидкости, этому условию не удовлетворяет. Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для скорости пю мы можем заключить, что в тонком слое у поверхности жидкости соответствующие производные скорости будут быстро уменьшаться. Существенно отметить, что градиент скорости не будет при этом аномально большим, как это имело место вблизи твердой поверхности.
Вычислим диссипацию энергии в гравитационной волне. Здесь надо говорить не о диссипации кинетической энергии, а о диссипации механической энергии Е,, включающей в себя наряду с кинетической также и потенциальную энергию в поле тяжести. Ясно, однако, что на обусловленную процессами внутреннего трения в жидкости диссипацию энергии пе может влиять факт наличия или отсутствия поля тяжести. Поэтому Еив определяется той же формулой (16.3)1 '-- =-И( —:" "Р)'" При вычислении этого интеграла для гравитационной волны надо заметить, что поскольку объем поверхностного слоя вихревого движения мал, а градиент скорости в нем не аномально велик, фактом наличия этого слоя можно пренебречь, в противоположность тому, что мы имели в случае колебаний твердой поверхности.
Другими словами, интегрирование должно производиться по всему объему жидкости, в котором, как мы видели, жидкость движется как идеальная. Но движение в гравитационной волне в идеальной жидкости было уже нами определено в 3 12. Это движение потенциально, и потому так что Е В, = — 21)/( ~ ) Л'. Потенциал 1р имеет вид р = ро сов (йт — ы1 + 1х)еи, Нас интересует, конечно, не м1новеннос, а среднее по времени значение диссипируемой энергии. Замечая, что средние значения квадратов косинуса и синуса одинаковы, получим Е„„= — 8 уИ~ / 1р~ ЫР. (25.2) Что касается самой энергии гравитационной волны, то для ее вычисления можно воспользоваться известным из механики 135 зхтэхлнив ггхвитэщиопных воли обстоятельством, что у всякой системы, совершающей малые колебания (колебания с малой амплитудой), средняя кинетическая и потенциальная энергии равны друг другу. На этом основании можно написать Ем„просто как удвоенную кинетическую энергию; откуда Ем, = 2р)о~ / д2 дЕ (25.3) Затухание волн удобно характеризовать ноя))фициеитоло затухания у, определенным как отношение .у = ~Е„е,Я2Е).
(25.4) С течением времени энергия волны падает по закону Е = сопв$ е '; что касается амплитуды волны, то, поскольку энергия пропорциональна ее квадрату, закон ее уменьшения со временем определяется множителем е у . С помощью (25.2)., (25.3) находим у = 2о)с2. (25 5) Подставляя сюда (12.7), получим коэффициент затухания гравитационных волн в виде 'у = (25 б) 6 Задачи 1. Определить коэффициент затухания длинных гравитационных волн, распространяющихся в капало постоянного сечения; частота предполагается настолько большой, что УиУш мало по сравнению с глубиной жидкости в канале и его шириной. Р е ш е н и е. Основная диссипация энергии будет происходить в пристеночном слое жидкос"ги, где скорость меняется от нуля на самой стенке до значения ь = вое ~, которое она имеет в волне.
Средняя диссипация энергии (отнесенная к единице длины канала) равна согласно (2434) ! — Я~; !Юо!' 2тУ2 ! — длина той части конту.ра сечония канала, вдоль которой он соприкасается с жидкостью. Средняя же энергия жидкости (тоже отнесенная к единице длины капала) равна орое = Яр~во~~72 (о — площадь сечения жидкости в канале). Коэффициент затухания равен 2тУ2о Так, двя капала прямоугольного сечения (ширина о, глубина жидкости 6) 2й 4-о 2ьг2ай 136 гл и вязкая жидкость 2. Определить движение в гравитационной волне на жидкости с большой вязкостью (и > ыЛ ). Р е ш е н и е. Приведенное в тексте вычисление коэффициента затухания применимо только в случаях, ко~да этот коэффициент мал (у << ы), так что движение можно рассматривать в первом приближении как движение идеааьной жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
