VI.-Гидродинамика (1109684), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При этом е должно быть пропорционально квадрату градиента скорости ол и соответст- вУюЩемУ коэффиЦиентУ тУРбУлентной вЯзкости и,урал Лол. 1 33 Развитая тугвхльнтпость булентных течений отличаются только масштабами измерения длин и скоростей (или, что то же, длин и времен) ') . Выясним теперь, па каких расстояниях начинает играть роль вязкость жидкости. Эти расстояния Ло определяют собой в то же время порядок величины масштабов наиболее мелкомасштабных пульсаций в турбулентном потоке (величину Ло называют виугггреяяим маглитабом турбулентности в противоположность внешнему масштабу 1).
Для этого составляем «локальное число Рейнольдсагм где К Ьи 1/и число Рейнольдса движения в целом. Порядок величины Ло определяется тем, что должно быть Вло 1. Отсюда находим Ло 1/В.' '. (33.10) К этому же выражению можно прийти, составляя комбинацию размерности длины из величин е и и; Л ( 31)пг (33.11) Таким образом, внутренний масштаб турбулентности быстро падает при увеличении числа Рейнольдса,. Для соответствующей ско ости имеем ол, тли!1ь ~ . (33.12) Она тоже падает с увеличением В ') . Область масштабов Л 1 называют областью энергии; в ней сосредоточена основная часть кинетической энергии жидкости.
Значения Л < Ло составляют область диссштйип--в ней происходит диссипация кинетической энергии. При очень болыпих значениях В обе эти области достаточно раздвинуты друг от друга, и между ними расположен инсрг1ионный интервал, в котором Л «Л«1; к нему относятся излагаемые в этом параграфе результаты. Закон Колмогорова — Обухова можно представить в эквивалентной спектральной (по пространству) форме. Введем вместо масштабов Л соответствующие «волновые числа» пульсаций й 1/Л, и пусть Е(а) дк есть кинетическая энергия (единицы массы жидкости), заключенная в пульсациях со значениями Й в заданном интервале па. Функция Е11«) имеет размерность смз/сз; составляя комбинацию этой размерности из с и й, получим Е(а) 3ЯЪ и'.
(33.13) ) В этой связи в современной литературе широко используется термин авшомодельяосшь движения (по английской терминологии во1бзпсп1аг1«у). ») Формулы (33.10) — (33.13) определяют законы изменения соответствующих величин с В. Что жо касается количественной стороны дела, то более правильным было бы писать в них отношение В/В.„р в»кесто В. 192 ТУРБУЛЬН"ГНОСТЬ Г3! П1 В эквивалентности этой формулы закону (33.6) легко убедиться, заметив, что квадрат п3 определяет порядок величины суммарной энергии, заключенной в пульсациях со всеми масштабами порядка и меньше заданного значения Л. К этому же результату мы придем, интегрируя выражение (33.13)1 213 2Л3 2 Е(В) Ю вЂ” (еЛ) ' '3 ЬМ3 Наряду с пространственными масштабами турбулентных пульсаций, можно рассматривать также и их временные характеристики частоты.
Нижний конец частотного спектра турбулентного движения лежит при частотах и/1. Верхний же его конец определяется частотами 33о — -Н' (33.14) '3 7 отвечающими внутреннему масштабу турбулентности. Инерционной области отвечают частоты в интервале — «33 « — Йм . и Неравенство 33» — означает, что по отношению к локальным свойствам турбулентности основное движение можно считать стационарным. Распределение энергии по частотному спектру в инерц31онной области получается из (33.13) заменой й 33/ьк Е(~ 1) (не) 2/Зь,— 3ГЗ (33.15) причем Е(33) 433 есть энергия, закл1оченная в частотном интервале 3333. Частота 33 определяет период повторяемости во времени движения в данном участке пространства, наблюдаемого из неподвижной системы отсчета. Ее надо отличать от частоты (обозначим ее через 33~), определяющей период повторяеълости движения в данном перемещающемся в пространство участке жидкости.
Распределение энергии по спектру этих частот не может зависеть от и, и должно определяться только параметром е и самой частотой ь3'. Снова из соображений размерности найдем, что Е(33м) е/33~ . (33.16) Эта формула находится в таком же отношении к закону (33.15), как (33.8) к (33.7). Турбулентное перемешивание приводит к постепенному расхождению жидких частиц, находящихся первоначально вблизи 193 кОРРвляциОнные Функции скОРОствй друг от друга. Рассмотрим две жидкие частицы на малом (в инерциальной области) расстоянии Л.
Снова руководствуясь соображениями размерности, можно заключить, что скорость изменения этого расстояния со временем дЛ ~ Л)пз (33.17) Ж Интегрируя это соотношение, найдем, что время т, в течение которого две частицы, находившиеся первоначально на расстоянии Л1 друг от друга, разойдутся на расстояние Л2 » Л1,. равно по порядку величины т-Л /е (33.18) Обратим внимание на самоускоряющийся характер процесса: скорость расхождения растет с увеличением Л.
Это свойство связано с тем, что к расхождению частиц, находящихся на расстоянии Л, приводят только пульсации масштабов < Л; пульсации ббльших масштабов переносят обе частицы вместе и не приводят к их расхождению ') . Наконец, остановимся на свойствах движения в участках с размерами Л « Ло. В таких участках движение обладает правильным характером и его скорость меняется плавно. Поэтому можно разложить здесь пл по степеням Л и, сохранив только первый член, получим пт = сотж1.Л. Коэффициент определяется требованием, чтобы при Л Ло было пл пхо. Таким образом, находим '— "Л вЂ” иЛН' '.
(33.19) л. Этот результат можно получить также и путем приравнивания двух выражений для диссипации энергии ьк выражения (7ди) 7'1 (33.1)., опредсляюп1сго е через характеристики крупномасштабных пульсаций, и выражения и(нд7'Л)2, определяющего ту же величину через градиент скорости тех пульсаций, в которых фактически и происходит диссипация. 9 34. Корреляционные функции скоростей Формула (33.6) качественно определяет корреляцию скоростей в локальной турбулентности, т. е. связь между скоростями в двух близких точках потока.
Введем теперь функции, которые могут служить количественной характеристикой этой корреляции о). ) Эти речультаты межне применить к вэвешЕнным в жидкоети чаСтицам суспспзии, пассивно переносимым вместе с движуп1ойся жидкостью. о) Корреляционные функции были введены в сидродинамику турбулентности Л.В. Келлером и А.А. Фридмояом (1924).
7 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том У1 194 тягьялюп'ность гл 111 Первой из таких характеристик является корреляционный тензор второго ранга (34.1) Вев = ((нз; — н1,)(нзь — ни)), где ч1 и чз скорости жидкости в двух близких точках, а угловые скобки означают усреднение по времени. Радиус-вектор между точками 1 и й (направленный от 1 к й) обозначим через г = гз — г1. Рассматривая локальную турбулентность,мы считаем расстояние малым по сравнению с основным масштабом 1, но не обязательно большим по сравнению с внутренним масштабом турбулентности Лш Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мелкомасштабными пульсациями. С другой стороны, свойства локальной турбулентности пе зависят от усредненного движения.
Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеализированный случай турбулентного движения, в котором изотропия и однородность имеют место нс только на малых (как в локальной турбулентности), но и на всех вообще масштабах; усредненная скорость при атом равна нулю. Такую полностью изотропную и однородную турбулентность ') можно представить себе как движение в жидкости, подвергнутой сильному «взбалтыванию» и затем оставленной в покое.
Такое движение, разумеется, непременно затухает со временем, так что функциями времени становятся и компоненты корреляционного тензора ') . Выведенные ниже соотношения между различными корреляционными функциями относятся к однородной и изотропной турбулентности на всех ее масштабах, а к локальной турбулентности — на расстояниях г « 1. В силу изотропии, тензор В,ь нс может зависеть ни от какого избранного направления в пространстве. Единственным вектором, который может входить в выражение для В,;ь, является радиус-вектор г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
