VI.-Гидродинамика (1109684), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Коэффициент пропорциональности здесь удобно выразить не через поток импульса Р, а через количество жидкости ьэо, выбрасываемой в единицу времени из трубки. На расстояниях порядка величины линейных размеров отверстия трубки а должно быть сэ (~о. Отсюда следует, что сопв$ Цо!!а, так что можно написать Ю = Рб,)о-', (36.5) а где )3--численный коэффициент, зависящий только от формы отверстия. Так, для круглого отверстия с радиусом а эмпирическое значение ф 1,5. Таким образом, расход жидкости через сечение турбулентной области возрастает с расстоянием т, жидкость втягивается в турбулентную область ') .
Движение в каждом участке длины струи характеризуется ий числом Рейнольдса для этого участка, определяемым как — ' и Но в силу (36.2) и (36.4) произведение иЛ остается постоянным вдоль струи, так что чис!!о Рейнольдса одинаково для всех участков струи. В качестве этого числа может быть выбрано отношение Яо/(раи). Входящая сюда постоянная Цог!а является тем единственным параметром, который определяет все движения в струе. При увеличении емощностиа струи Цо (при задан! ) Полный же поток жидкости через всю бесконечную плоскость, проведенную поперек струи, бесконечен — струя, бьющая в неограниченное пространство, увлекает за собой бесконечное количество жидкости.
215 'гугпулк1ггнля стРуя ной величине а отверстия) достигается в конце концов некото- рое критическое значение числа Рейнольдса, восле которого дви- жение делается турбулентным одновременно вдоль всей длины струи ') . Задачи 1. Определить среднее движение жидкости в струе вне турбулентной области. Р е ш е н и е. Выбираем сферические координаты г, В, у» с полярной осью вдоль оси струи и началом координат в точке ее выхода. В силу аксиальной симметрии струи компонента иг средней скорости отсутствует, а ив, и являются функциями только от г и В, Те же соображения, что и в задача о ламинарной струе в 2 23, показывшот, что и„ив должны иметь вид 1(В) ив = Г(В) г г Вне турбулентной области движение жидкости потенциально, т.
е. гос и = О, откуда дн, д †' — — (авив) дВ д ди, Но гив не зависит от г, поэтому дВ = — 6, т. о. 14Š— — = О, откуда Е = сопле = г ДВ Из уравнения непрерывности 1 д — — (г и,) г' дг 1 д + — (з1пВив) = О г зшВ дВ получаем теперь У= сопле — 6 сов В яшВ ') Для более подробного расчета различных случаев турбулентного движения обычно пользуются различными «полузмпирическимив теориями, основанными на определенных предположениях о зависимости коэффициента турбулентной вязкости от градиента средней скорости.
Так,в теории Прандтля полагается (для плоского течения) ди„ дц причем 'зависимость 1 (так называемой «длины пути перемешиванияь) от координат выбирается в соответствии с соображениями подобия; для свободных турбулентных струй, например, пола1ается 1 = ск, где с — эмпирическая численная постоянная. Такие теории обычно дают хорошее согласие с опытом и потому имеют прикладное значение в качестве хороших интерполяционных расчетных схем.
При этом, однако, оказывается невозможным приписать входящим в теорию характерным эмпирическим численным постояш1ым универСальных значений: так, напримЕр, ОтнОшЕние длины пути перемешивания 1 к поперечным размерам турбулентной области приходится выбирать различным для разных конкретных случаев. Следует также отметить, что хорошее согласие с опытными данными удается получнтвч исходя из различных выражений для турбулентной вязкости. 216 ткгвульн"1'ность Гл 111 Постоянная интегрирования должна быть положена равной — Ь, чтобы ско- рость не обращалась в бесконечность при В = я (что касаотся обращения 1 в бесконечность при В = О, то оно несущественно, поскольку рассматриваемое здесь решение относится только к пространству вне турбулентной области, а направление В = 0 лежит внутри нее). Таким образом, Ь1-~-совВ Ь В иа = -- = --сгй —.
(2) эгпВ г 2 Проекция скорости на направление струи (и,) и абсолютная величина ско- рости равны ь ьсов ь г х г эш1Вгг2) Постоянную Ь лгожгго связать с постоянной В = фЯе/а, входящей в формулу (36.5). Рассмотрим отрезок конуса турбулентной области, вырезаемый дву- мя бесконечно близкими поперечными сечениями.
Количество жидкости, втекающей в 1 с извне в этот участок турбулентной области, равно г)Я = — 2ягря1поиэ г)г = 2хЬр (1+ соя о) г1г, а из формулы 136.5) имеем г1Я = В г1х = В соя а г1г. Сравнивая оба выраже- ния,пеленаем Ь= (4) 2хр 1 + соэ ц На границе турбулентной области скорость ц направлена внутрь этой области, образуя угол (я — ц)гг2 с положительным направлением оси х. Сравним срединно скорость внутри турбулентной области, определенную как В ггг = яВ р ггрхси о со скоростью (и„)„„на границе этой области. Взяв первую из формул (3) с В = сн получим (и )„,, 1 — сове й 2 При о = 12' получаем для этого отношения значение 0,011, т.
е. на границе турбулентной области скорость мала по сравнению со средней скоростью внутри области. 2. Определить закон изменения размеров и скорости в турбулентной затопленной струе, бьющей из бесконечно длинной тонкой щели. Р е ш е н и е. По тем же причинам, как и для аксиальной струи, заключаем, что ту-рбулентная область ограничена двумя плоскостями, пересекающимиея вдоль линии щели, т.
е. пелуширина струи: У = хсбо. э Поток иъгпульса в струе (отнесенной к единице длины щели) -- порядка ри У. Для зависимости средней скорости и от х получаем поэтому соггэг эгх Расход жидкости через сечение турбулентной области струи сх риУ., откуда Я = сопвг эГх. Местгзое число Рейнольдса Н = иУ1'и возрастает с ростом х по такому же закону. Эмпирическое значение угла раствора плоской струи — примерно такое же, как у круглой струи (2о 25'). 217 ткгнклглггаый след 3 37. Турбулентный след При числах Рейнольдса, значительно превышающих критическое значение, при обтекании твердого тела потоком жидкости позади тела образуется длинная область турбулентного движения.
Эту область называют турбулентным следом. На больших (по сравнению с размерами тела) расстояниях простые соображения позволяют определить форму следа и закон убывания скорости жидкости в ием (Ь. Ргапг1г1, 1926). Как и при исшгедовавии ламииариого следа в 3 21, обозначим через 1Л скорость натекающего на тело потока и выберем ее направление в качестве оси х. Усредненную же по турбулентным пульсациям скорость жидкости в каждой точке будем писать в виде 11+ и.
Обозначив буквой а некоторую поперечную ширину следа, мы определим зависимость а от х. Если при обтекании тела подьемиая сила отсутствует, то иа больших расстояниях от тела след обладает аксиальпой симметрией и имеет круговое сечение: величиной а может являться в этом случае радиус следа. Наличие же подьемиой силы приводит к появлению некоторого избранного направления в плоскости уя, и след уже ие будет обладать аксиальиой симметрией ии иа каких расстояниях от тела.
Продольная компонента скорости жидкости в следе 17, а поперечная порядка некоторого среднего значения и турбулентной скорости. Поэтому угол между линиями тока и осью х-- порядка величины отношения и/77. С другой стороны, граница следа является, как мы знаем, границей, за которую ие выходят линии тока вихревого турбулентного движения. Отсюда г тедует, что угол наклона линии контура продольного сечения следа к оси х тоже порядка величины и/Г. Это значит, что мы можем написать: (37.1) ~1х сг Далее, восгюльзуемся формулами (21.1), (21.2), определяющими действующие па тело силы через интегралы от скорости жидкости в следе (причем гюд скоростью подразумевается теперь ее усредненное значение).
В этих интегралах область интегрироваиия а~. Поэтому оценка интеграла приводит к соотношению Г рсгиа, где Р— порядок величины силы сопротивления или подъемной силы. Таким образом, и (37.2) рГа' Подставляя это в (37.1), находим да Р у 1,м а г 218 гк ьклюпаость Гг! и! откуда путем интегрирования а (, ) . 137.3) Таким образом, ширина следа растет пропорционально кубическому корню из расстояния от тела.
Для скорости и имеем из (37.2) и (37.3): и ( —,), 1374) т. е. средняя скорость движения жидкости внутри следа падает обратно пропорционально хз7з. Движение жидкости в каждом участке длины следа характеризуется числом Рейнольдса К аиг!и. Подставляя (37.3) и 137.4), получаем р! г/э В ирГа и ' р!Ух) Мы видим, что это число не остается постоянным вдоль длины следа в противоположность тому, что мы имели в случае турбулентной струи.
На достаточно больших расстояниях от тела К делается настолько малым, что движение в следе перестает быть турбулентным. Дальше простирается область ламинарного следа, свойства которого были уже исследованы в 8 21. В 8 21 были получены формулы, описываюшие движение жидкости вне следа вдали от тела. Эти формулы применимы к движению вне турбулентного следа в той же мере, что и вне ламипарпого следа. Отметим здесь некоторые общие свойства распределения скоростей вокруг обтекаемого тела. Как внутри турбулентного следа, так и вне его, скорость 1речь идет везде о скорости и) падает с увеличением расстояния от тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
