VI.-Гидродинамика (1109684), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Качественные же ргзультаты (такие как (39.11), (39.12)) справедливы и для обтекания тела произвольной формы: при этом под 1 надо понимать размеры тела в направлении обтекания. Угюмянем особо еще о двух случаях пограничного шюя. Ксли плоский диск (большого радиуса) вращается вокруг оси, перпендикулярной ого плоскости, то для оценки толщины пограничного слоя надо подставить в (39.17) Нх вместо Г (й угловая скорость вращения). Тогда находим д - 1м/П)'~з. (39.29) Мы видим, что толщину пограничного слоя можно считать постоянной вдоль поверхности диска (в согласии с полученным в 3 23 точным решением этой задачи).
Что касается действующего па диск момента сил трения, то расчет с помощью уравнений пограничного слоя приводит, конечно, к формуле (23.4), поскольку эта формула является вообще точной и потому относится к ламинарному движению при любых Н. Наконец, остановимся на вопросе о ламинарном пограничном слое, возникающем па степках трубы вблизи места входа жидкости в нее.
Жидкость вступает в трубу обычно с распределением скоростей, почти постоянным по всему поперечному сечению, и падение скорости происходит только в пограничном слое. По мере удаления от входа начинают тормозиться слои жидкости все ближе к оси трубы. Поскольку количество протекающей жидкости должно оставаться постоянным, то наряду с уменьшонием диаметра внутренней части течения (с почти постоянным профилем скоростей) происходит одновременное его ускорение.
Так продолжается до тех пор, пока асимптотически не устанавливается пуазейлевское распределение скоростей, которое, таким образом, имеет место только на достаточно болыпом расстоянии от входа трубы. Легко определить порядок величины длины 1 этого так называемого начального участка течения. Он определяется тем, что на расстоянии 1 от входа толщина пограничного слоя делается порядка величины радиуса а трубы, так что пограничный слой как бы заполняет собой всв ее сечение.
Полагая 230 погглничный слой гл ш в (3937) ж 1 и б а, получим 1 а (1/и аВ.. (39.30) Таким образом, длина начального участка пропорциональна числу Рвйнольдса '). Задачи 1. Определить толщину пограничного слоя вблизи критической точки (см. 3 10) на обтекаемом жидкостью теле. Р е ш е н и е. Вблизи точки остановки скорость жидкости (вне пограничного слоя) является линейной функцией расстояния т от этой точки, так что 51 = сопэ1. я. Оценка членов уравнений (39.5), (39.6) приводит к выражению 5 (и/сопэс)Ы~. "Гаьим образом, вблизи критической точки толщина пограничного слоя остается конечной.
2. Определить движение в пограничном слое при конфузорном (см. 3 23) течении между двумя пересекающимися плоскостями (1?. Рой(бпиэеп, 1921). Р е ш е н и е. Рассматривая пограничный слой на одной из сторон угла, отсчитываем координату я вдоль этой стороны от вершины угла О (см, рис. 8). При течении идеальной жидкости мы шмели бы для скорости формулу П = ЯДарт), выражающую собой просто сохранение расхода жидкости О в потоке (о — угол между пересекающимися плоскостями).
Таким образом, в правой части уравнения (39.5) будет стоять ПЛУ13т = — Я~/(о~р~яз). Легко видеть, что после этого уравнения (39.5), (39.6) станут инвариантными по отношению к преобразованию т -э ох, р -э ор, с, — э в,/о, с„-э в„/о, с произвольной постоянной о. Это значит,что можно искать е,, и е„ в виде с, = У(6), вэ — — У1(6), р арх о ах я тоже инвариантном относительно указанного преобразования.
Из уравнения непрерывности (39.6) находим, что й = ГУ, после чего из (39.5) получаем для функции 1(с) уравнение: 1" =1 — У'. (1) Граничные условия (39.8) означают, что лолжно быть 1(0) = О, Убю) = 1. Первый интеграл уравнения (1) есть ув У = 1 — — -Ь сонэк 2Я 3 Поскольку при 6 -э оо функция 1 стремится к единице, то мы видим, что и 1" стремится к определенному пределу, и ясно, что этот предел может быть ') В этой книге пе излагается значительно более сложная и менее наглядная теория пограничного слоя в сжимаемой жидкости.
Сжимвемость должна учитываться при скоростях, сравнимых со скоростью звука (или превышшощих ео). Ввиду возникающего при этом сильного разогрева газа и обтекаемого тела оказывается необходимым рассматривать уравнения движения в пограничном слое совместно с уравнением теплопередачи в нем. Может оказаться также необходимым учет температурной зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности газа. 231 движвиик вели зи линии отгывл только нулем. Определяя отсюда сопэц находим = — — 11 — Ц 11-ь 2). 2Я 3 12) Так как правая часть отрицательна в интервале О < у < 1,то непременно должно быть Я < О: пограничный слой рассматриваемого типа образуется только при конфузорном течении 1с болыпими числами Рейнольдса В = ~Я~/1раи)), и не получается при диффузорном течении — в согласии с результатами 3 23.
Интегрируя еще раз, получаем окончательно У' = 3СЬе ~1п(ъ'2-Ь ъ'3) + ( — ) б1 — 2. (3) Толщина пограничного слоя 6 я/Ргп~. Значение производной З"'10) = = 21Рь/3)П', как это видно из 12). Поэтому сила трения, действующая на единипу плоьцади стенки: о.„=ч — У'(О) = ( "~) = — ("~~' ) 'й 40. Движение вблизи линии отрыва При описании явления отрыва Я 35) уже было указано, что реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемого тела определяется свойствами движения в пограни шом слое. .'у1ы увидим ниже, что в математическом отношении линия отрыва есть линия, точки которой являются особыми точками решений уравнений движения в пограничном слое (уравнений Прандтля).
Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих решений вблизи такой особой линии ') . От линии отрыва отходит, как мы знаем, уходящая в глубь жидкости поверхностен ограничивающая область турбулентного движения. Движение по всей турбулентной области является вихревым, между тем как при отсутствии отрыва опо было бы вихревым лишь в пограничном слое, где существенна вязкость жидкости, а в основном потоке ротор скорости отсутствовал бы. Поэтому можно сказать, что при отрыве происходит проникновение ротора скорости из пограничного слоя в глубь жидкости. Но в силу закона сохранения циркуляции скорости такое проникновение может произойти только путем непосредственного перемещения движущейся вблизи поверхности тела 1в пограничном слое) жидкости в глубь основного потока. Другими словами, должен произойти как бы «отрыва течения в пограничном слое от поверхности тела, в результате чего линии тока выходят из пристеночного слоя в глубь жидкости.
(Поэтому и называют это явление отрывом или отрывом пограничного слоя.) Уравнения движения в пограничном слое приводят, как мы видели, к результату, что в пограничном слое тангенциальная ') Излагаемая здесь, несколько отличная от обычной трактовка вопроса принадлежит Л.Д. Ландау 11944). 232 НО1тлни'Н1ый слОЙ ГЛ 1К СОСтаВЛЯЮЩаЯ СКОРОСТИ (11в) ВЕЛИКа ПО СРаВНЕНИЮ С НОРМаЛЬНОй к поверхности тела компонентой (пр). Такое соотношение между и и пв органически связано с основными предположениями о характере движения в пограничном слое и должно необходимым образом соблюдаться везде, где уравнения Прандтля имеют физически осмысленные решения.
Х1атематически оно во всяком случае имеет место во всех точках., не лежащих в непосредственной близости от особых точек. Но если пц «пт, то это значит, что жидкость двилсется вдоль поверхности тела, практически пе отклоняясь от нее, так что никакого отрыва течения прои;юйти не может. Таким образом, мы приходим к выводу, что отрыв может произойти лишь на той линии, точки которой являются особыми для решения уравнений Прандтля. Характер этих особенностей тоже непосредственно следует из сказанного. Действительно, дойдя до линии отрыва, течение отклоняется, переходя из области пограничного слоя в глубь жидкости. Другими словами, нормальная составляющая скорости перестает быть малой по сравнению с тангенциальной и делается по крайней мере одного с нею порядка величины. Мы видели (сы.
(39.11)), что отношение и, 11п В. Н', так что возрастание нв до пв пв означает увеличение в Я раз. Поэтому при достаточно больших числах Рейнольдса (о которых, разумеется, только и идет речь) можно считать, что пц возрастает в бесконечное число раз. Если перейти в уравнениях Прандтля к безразмерным величинам (сы. (39.10)), то описанное положение формально означает, что безразмерная скорость и„' в решении уравнений становится на линии отрыва бесконечной. Будем рассматривать для некоторого упрощения дальнейшего исследования двумерную задачу о поперечном обтекании бесконечно длинного тела. Как обычно, х будет координатой вдоль поверхности тела в направлении течения, а координата 9 будет расстоянием от поверхности тела. Вместо линии отрыва здесь можно говорить о точке отрыва, подразумевая пересечение линии отрыва с плоскостью тд; в выбранных координатах это есть точка х = сопв1 = хе, у = О. Область до точки отрыва пусть соответствует х < хо.
Согласно полученным результатам при х = хо имеем при всех у ') (40.1) нв(хо, 9) = ОО. Но в уравнениях Прандтля скорость и, является своего рода вспомогательной величиной, которой при исследовании движения в пограничном слое обычно не интересуются (в связи с ее ') Кроме только точки д = О, в которой всегда должно быть ьв — — О согласно граничным условиям на поверхности тела. движение Вгугизи липин Отеывл 233 малостью). Поэтому желательно выяснить, какими свойствами обладает вблизи линии отрыва функция у .. Из (40.1) ясно, что при х = хо обращается в бесконечность также и производная деу/дд. Из уравнения непрерывности (40.2) дх ду следует тогда, что и производная дуг;/дх делается бесконечной при х = хо, или хо — х = /(у)(ех — гго) или ух = уо(у) + Му)ъ'хь — х (40.4) где гт = / г . -. некоторая функция только от д. Написав теперь дв дп, о(у) ду д* 2~/хо — х и интегрируя, получаем уу —— (40.5) где ~3(д) --снова функция от д.
Далее, воспользуемся уравнением (39.5): ду дг д гг, 1 г1р у,— '+ еу — ' — — и дх " ду дул р г1х Производная сгзу /ддз не обращается, как это видно из (40.2), при х = хо в бесконечность. То же самое относится и к величине глр/г1х, определяющейся движением вне пограничного слоя. Оба же члена в левой части уравнения (40.6) обращаются, каждый в отдельности, в бесконечность. В первом приближении можно, следовательно, написать для области вблизи точки отрыва дгг,, де, е~ — '" + уу ' — — О. дх ду С учетотл уравнения непрерывности (40.2)! переписываем это уравнение в виде (40.б) д.„д..
2 д .„ ух — — еу = ех — — = '1 ду ду ду г* — =О, (40.3) ~.=г О где х рассматривается как функция от у„и у, а уе(у) = е„.(хо, у). Вблизи точки отрыва разности у — ео и хе — х малы, и можно разложить хе — х в ряд по степеням е — ео (при заданном д). В силу условия (40.3) член первого порядка в этом разложении тождественно выпадает, и с точностью до члена второго порядка имеем 234 НО1'РАНИ'Н1ЫЙ СЛОЙ Поскольку при х = хо скорость о, вообще говоря., не обращается в нуль, то отсюда следует, что отношение оуГ!о, не зависит от у. С другой стороны, из (40.4) и (40.5) имеем с точностью до членов высшего порядка ОЬ) о. Ро(у)~/хо:х Для того чтобы это выражение было функцией только от х, необходимо: д(у) = ГГ!2Аоо(у), где А численная постоянная. Таким образом, оо (40.7) 2 ~/хо — х Наконец, замечая, что функции Гх и ~д в (40.4) и (40.5) связаны друг с другом уравнением о = 2д', получаем !т = А Г)ов/Г1у, так что о* = оо(у) + А — ъ'хо — х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
