VI.-Гидродинамика (1109684), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Точность этих формул можно повысить, вводя эмпирический численный множитель в аргумент логарифма, или, что то >ке самое, прибавляя к логарифму эмпирическую постоянную. Так, более точная формула для профиля скоростей имеет вид и = о. (2,51п — "'' +5!11 = 2,5о„1п У * . 142.8) Р / 0,13Р Отметим, что обе формулы 142.6) и 142.8) имеют вид и = г>„~(б), с = уо„,1м, 142.0) где д 1С) — универсальная функция.
Это — прямое следствие того, что с единственная безразмерная комбинация, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении параметров р, а, м и переменной у. По этой причине такого рода зависимость должна иметь место на всех вообще рас- 248 ПО1ЧМИИ'1!1ЫЙ СЛОЙ ГЛ 1" Далее, плотность потока энергиг! в напраРлении Оси у равна (р+ роз/2)п, (здесь тоже опущен вязкий член). Написав пв = = (и+ и. ) + и + 11', и усредпив все выражение, получилл (Р ПЦ) + -(П' ПР+ 11Д + Г', + и', 11,') + Р11(11',П,'). 2 Здесь достаточно сохранить только последний член.
Дело в том, что пульсационная скорость порядка величины п„и потому (с логарифмической точностью) мала но сравнению с и. Что касается давления, то его турбулентные пульсации р рв„, и потому 1 2 с той же точностью первый член в написанном выражении тоже может быть опущен. Таким образом, находим для средней плотности потока энергии: (17) = ри(п пл) = и1т. (42.11) По мере приближения к поверхности стенки этот поток уменьшается, что связано как раз с диссипацией энергии. Производная д(д)/412 дает диссипацию в единице объема жидкости, а разделив ее на р1 получим диссипацию в единице массы: е = — = — ( — ) .
(42.12) До сих пор мы предполагали, что поверхность стенки достаточно гладкая. Если же поверхность шероховата, то выведенные формулы могут несколько измениться. В качестве меры шероховатости стенки можно выбрать порядок величины выступов шероховатости, которые мы обозначим бу.квой 11.
Существенна сравнительная величина д и тол1пнна подслоя уо. Если толщина рв велика по сравнению с 11, то шероховатость вообще не существенна; это и подразумевается под достаточной гладкостью стенки. Если уо и 11 одного порядка величины, то никаких общих формул написать нельзя. В обратном же предельном случае сильной шероховатости (д» уе) снова можно установить некоторые общие соотношения. Говорить о вязком подслое в этом случае, очевидно, нельзя. Вокруг выступов шероховатости будет происходить турбулентное движение, характеризующееся величинами р, 1т, и': вязкость и, как обычно, не должна входить явно. Скорость этого движения порядка величины и„-единственной1 имеющейся в нашем распоряжении величины с размерностью скорости. Таким образом, мы видим, что в потоке, теку1цем вдоль шероховатой поверхности, скорость делается малой ( и,) на расстояниях у д вместо у уо, как это было при течении вдоль гладкой поверхности.
Отсюда ясно, что распределение скоростей будет определяться формулой, получающейся из (42.7) заменой и/п„на д, и = — 1п —. (42.13) И 249 ТУРВУЛЬНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В Т'РУВКХ 8 43. Турбулентное течение в трубах Применим теперь полученные результаты к турбулентному течению жидкости по трубе. Вблизи стенок трубы (на расстояниях, малых по сравнению с ее радиусом а) ее поверхность можно приближенно рассматривать как плоскую и распределение скоростей должно описываться формулой (42.7) или (42.8). Однако ввиду медленного изменения функции 1пу можно с логарифмической точностью применить формулу (42.7) и к средней скорости Г течения жидкости в трубе., написав в этой формуле вместо у радиус а трубы: Г = — "1п —.
(43.1) х Под скоростью Г мы будем подразумевать количество (объем) жидкости, протекающей в 1 с через сечение трубы, деленное на площадь этого сечения: 17 = 6~~!(рка ). Для того чтобы связать скорость Г с поддерживающим течение перепадом давления Ьр/1 (гар разность давлений на концах трубы длиной 1), замечаем следующее. Действующая на все сечение потока жидкости в трубе движущая сила есть Наг!ар. Эта сила идет на преодоление трения о стенки. Поскольку отнь сенная к единице площади стенки сила трения есть !т = ру„, то г полная сила трения равна 2ка1ре~. Приравнивая оба выражения, находим — = ри! (43.2) а Уравнения (43.1) и (43.2) определяют в параметрическом виде 1параметром является е„) связь скорости течения жидкости по трубе с перепадом давления в ней. Об этой связи говорят обычно как о законе соп1готпиеленил трубы.
Выражая е„через 7Лр(1 из (43.2) и подставляя в (43.1), получаем закон сопротивления в виде уравнения 1и —" — р . 143.3) Обычно в этой формуле вводят так называемый коэффициент сопротивления трубы, являющийся безразмерной величиной и определяющийся как отношение 2а Ьр!Ц (43.4) рС!-'/2 Зависимость Л от безразмерного числа Рейнольдса В = 2аГ!!р определяется неявным образом уравнением — = 0,88 1п (Къ' Л) — 0,85.
~л (43.5) 2бой ПО1ЛРЛНИ'П1ЫЙ СЛОЙ ГЛ 1М Мы поставили здесь для зс значение (42.3) и прибавили к логарифму эмпирическую численную постоянную ') . Определяемый этой формулой коэффициент сопротивления является медленно убывающей функцией числа Рейнольдса. Для сравнения приведем закон сопротивления при ламинарном течении в трубе. Вводя в формулу (17.10) коэффициент сопротивления, получаем Л = 6477Н.
(43.6) При ламинарном течении коэффициент сопротивления падает с ростом числа Рейнольдса быстрее, чем при турбулентном течении. На рис. 32 изображен (в логарифмичсском масштабе) график зависимости Л от Н. Круто спадающая прямая соответствует пашол минарному режиму (формула (43.6)) 7 15 а более пологая кривая (практически тоже близкая к прямой) турбулентному течению. Переход с первой на вторую происходит по мере увеличения числа Рейнольдса в момент турбулизации течения, который мо- 7 жет наступить при различных значе- 2,5 1,2 07 з 1 в ей ниях П в зависимости от конкретных условий течения (от степени «возмуРис.
32 щенностиа потока); в момент перехода коэффициент сопротивления резко возрастает. Написанные выше формулы относятся к трубам с гладкими стенками. Аналогичные формулы для труб с сильно шероховатыми стенками получаются просто заменой 7777п, на 57 (ср. (42.13)). Для закона сопротивления получим теперь вместо (43.3) фор- мулу аЬр 1 а 11 2, зр1 пп (43.7) Под знаком логарифма стоит теперь постоянная величина, не содержащая перепада давления, как это было в (43.3).
Мы видим, что средняя скорость течения теперь просто пропорциональна квадратному корню из градиента давления в тру.бе. Если ввести ) Коэффициент перед логарифмом в этой формуле взят в соответствии с коэффициентом в формуле (42.8) логарифмического профиля скоростей. Только при таком условии эта формула имеет теоретический смысл предельной формулы для турбулентного течения при достаточно больших значениях числа Рейнольдса. Если же выбирать в формуле (43,5) произвольным образом значение обеих входящих в нее постоянных, то опа сможет играть роль лишь чисто эмпирической формулы для зависимости Л от Ри В таком случае, однако, нет никаких оснований предпочитать ее любой другой, более простой, эьширической формуле, достаточно хорошо описывающей экспериментальные данные.
251 1 44 'ГуРнулентный ноГРлнн н1Е1Й о11ОЙ коэффициент сопротивления., то формула (43.7) примет вид эх~ 1,3 1н (а/И) 1н (Н,Ч) (43.8) т. е. Л постоянная величина, не зависящая от числа Рейнольдса. й 44. Турбулентный пограничный слой Тот факт, что мы получили для плоско-параллельного турбулентного потока логарифмический закон распределения скоростей формально во всем пространстве, связан с тем, что рассматривалось течение вдоль стенки, площадь которой бесконечна.
При течении же вдоль поверхности реальных конечных тел логарифмическим профилем обладает лишь движение на неболыпих расстояниях от поверхности в пограничном слое. Толщина пограничного слоя растет вниз по течению вдоль обтекаемой поверхности (закон этого возрастания будет найден ниже). Это объясняет, почему при течении по трубе логарифмический профиль имеет место вдоль всего сечения трубы. Толщина пограничного слоя у.
стенки трубы растет, начиная от входа в трубу. Уже на некотором конечном расстоянии от входа пограничный слой как бы заполняет собой все сечение трубы. Поэтому если рассматривать тру.бу как достаточно длинную и не интересоваться ее начальным участком, то течение во всем ее обьеме будет того же типа, как и в турбулентном пограничном слое.
Напомним, что аналогичное положение имеет место и для ламинарного течения по трубе. Оно всегда описывается формулой (17.9): роль вязкости в нем проявляется иа всех расстояниях от стенки и никогда не бывает ограничена тонким присгеночным слоем жидкости. Падение средней скорости как в турбулентном, так и в ламинарном пограничном слое, обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости. Однако влияние вязкости проявляется в турбулентном пограничном слое очень своеобразно. Самый ход изменения средней скорости в слое не зависит непосредственно от вязкости; вязкость входит в выражение для градиента скорости только в вязком подслое. Общая же толщина пограничного слоя определяется вязкостью и обращается в нуль вместе с ней (см. ниже), Если бы вязкость была в точности равна нулю, то никакого пограничного слоя вовсе пе было бы.
Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к турбулентному пограничному слою, образующемуся при обтекании тонкой плоской пластинки, . - таком же, какое было рассмотрено н 8 39 для ламинарного течения. На границе турбулентного слоя скорость жидкости почти равна скорости П основного потока. С другой стороны, для определения этой скорости па 252 ПО1'РАНИ'Н1ЫЙ СЛОЙ ГЛ 1" границе мы можем (с логарифмической точностью) воспользоваться формулой (42.7), подставив в нее вместо д толщину пограничного слоя б ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
