VI.-Гидродинамика (1109684), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В таком виде, однако, задача о плоском обтекании не однозначна., так как допускает решение при произвольном, заранее заданном скачке потенциала. Для получения однозначного ответа необходимо потребовать выполнения дополнительного условия (С.А. Чаплыгин, 1909). Это условие заключается в требовании, чтобы скорость жидкости нс обращалась в бесконечность на острой задней кромке крыла; напомним в этой связи, что при огибании утла идеальной жидкостью скорость в вершине угла обращается, вообще говоря, в бесконечность по степенному закону (задача 6 2 10).
Можно сказать, что поставленное условие означает, что струи, стекающие с обеих сторон крыла, должны плавно смыкаться бе:1 того, чтобы поворачивать вокруг острого угла. Естественно, что при выполнении этого условия решение задачи о потенциальном обтекании приведет к картине, наиболее близкой к истинной, при которой скорость везде конечна и отрыв происходит лишь у самой задней кромки. Решение становится после этого в1юлне однозначным и, в частности, определяется и нужная для вычисления подьемной силы циркулг1ция Г.
й 47.Индуктивное сопротивление Сущес'твенную часть силы сопротивления, испытываемой хорошо обтекаемым крылом (конечного размаха), составляет сопротивление, связанное с диссипацией энергии в топком турбулентном следе. Это сопротивление называют индуктивным. В 2 21 было показано, каким образом можно вычистить связанную со следом силу сопротивления, рассматривая движение жидкости вдали от тела.
Полученная там формула (21.1), однако, в данном случае неприменима. Согласно этой формуле сопротивление определяется интегралом от и, по площади сечения следа, т. е. расходом жидкости через сечение следа. Но ввиду тонкости ш1еда за хорошо обтекаемым крылом этот расход в данном случае мал, и в рассматриваемом ниже приближении им можно вовсе пренебречь. Подобно тому как мы поступали в ~ 21, запишем силу Г в виде разности полных потоков аэкомпопенты импульса через плоскости х = х1 и х = хз, проходящие соответственно значительно позади и значительно впереди тела. Написав три компоненты СКОРОСТИ В ВИДЕ СГ+ П,, Пю П,, бУДЕМ ИМЕТЬ ДЛЯ КОМПОНЕНТЫ П . плотности потока импульса выражение П = р+ р(П+ и,), так 261 индуктивллов сол!Рочивлвния что сила сопротивления есть Гх = ( Π— О )[р+рЯ+п )2)г1улй.
(47.1) л х=хе х=хл л Ввиду тонкости следа можно пренебречь (в интеграле по плоскостлл х = хз) ллнтегралом гю площади его сечения и, таким образом, интегрировать везде только по области впе следа. Но вне следа движение потенциально и имеет место формула Бернулли р+-%+к) =ро+ —, Р 2 Рлг' 2 2 откуда Р ро Рсл" -(" +и +и ) (47.2) Пренебречь здесь квадратичными членами (как это было сделано в 3 21) нельзя, так как именно ими определяется в данном случае искомая сила сопротивления. Подставляя (47.2) в (47.1), получим Г = Π— Ц ~, о+ Р11 + а)упх+ Р(пз — еу — п~)~ г)ус1 . Лл х=хз х=.хл лЛ Разность интегралов от постоянной величины ро + рс72 обращается в нуль; исчезает также разность интегралов от РПпх, по- сколькУ потоки жиДкости О Рпх с))7 олг чеРез пеРеДнюю и заДнюю плоскости должны быть одинаковыми (расходокл жидкости через сечение следа в рассматриваемом приближении пренебрегаем).
Далее, отодвигая плоскость х = хз достаточно далеко вперед от тела, будем иметь на ней очень малые значения скорости и, так что интегралом от р(е„— п„— п,) по этой плоскости можно пренебречь. Наконец, при обтекании хорошо обтекаемого крыла скорость и вне следа мала по сравнению с пр и и,. Поэтому в интегрвэле по плоскости х = хл можно пренебречь о~2 по сравнению с е2+ о2.
Таким образом, получаем г" = ~— О(ллув+их)езус, (47.3) где интегрирование производится по лмлоскости х = соглз$, расллоложенной па большом расстоянии позади тела, причем сечение следа исключается из области интегрирования ') . ) Формула (47.3) может создать впечатление, что порядок величины скоростей о„.
о. вообще не убывает с расстоянием х. Это действительно так до тех пор, пока толщина следа мала по сравнению с его шириной, что и предполагалось при выводе формулы (47.3). На очень больших расстояниях позади крыла след в конце концов расширится настолько, что его сечение станет примерно круговым. Формула (47.3) здесь уже неприменима, а скорости о„, о, будут быстро убывать с увевллчеллием расстояния. 264 погелни'1ныв слоЙ растет примерно пропорционально размаху крыла, а отнесенная к единице длины остается постоянной. Для фактического вычисления интегралов (47.4) и (47.5) удобен следующий метод. Вместо координаты л вводим новую переменную 0 согласно выражению л = — (1 — соэ О), О < 0 < ог.
(47.6) 2 Распределение же циркуляции задается в виде тригонометрического ряда Г = — 2И ~ А„вшпд. (47.7) и=! Здесь выполнено условие Г = О на. концах крыла, т. е. при л = О, 1 или 0=0, ог. Подставив это выражение в формулу (47.5) и производя интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональпость функций згп 0 и эгп п0 с п у'= 1), получим 2 Таким образом, подъемная сила зависит только от первого коэффициента в разложении (47.7).
Для коэффициента подьемной силы (46.2) имеем Ср — — огЛА!, (47.8) где введено отношение Л = 1/1 размаха крыла к его ширине. Для вычисления сопротивления перепишем формулу (47.4), произведя в ней однократное интегрирование по частям: (47.9) 41гуу Ви ао Стоящий здесь интеграл по дг' должен быть взят, как легко видеть, в смысле ого главного значения. Элементарное вычисление с подстановкой (47.7) ') приводит к следующей форззуле для ) При интегрировании по галл' приходится брать интеграл (главное значение) созпВ', яегвпВ сое В' — соз В яп В о При интегрировании же по 11л пользуемся тем, что я/2 при 11 = нп яп ИВяп гпВ11В = 1 ПРИ и ~ П1.
о 265 под'ьвм77ая 77Н77а тОнкОГО кгылк коэффициента индуктивного сопротивления: С.= л~-Ггл'„. (47.10) 77 = ! Коэффициент сопротивления крыла мы определяем как С 7/,р17е1.1. ' относя его, как и коэффициент под ьемной силы, к площади крыла в плане. (47.11) 8 48. Подъемная сила тонкого крыла Задача о вычислении подъемной силы крыла сводится по теореме 2Куковского к задаче о вычис пении циркуляции Г. Эта задача может быть решена в общем виде для хорошо обтекаемого тонкого крыла бесконечного размаха, с постони- р~ ным вдоль размаха профилем сечения (излагаемый ниже метод решения ьг принадлежит М.В.
Кслдае гиу и Л,И. Седову, 1939). пусть ц = 7,1(т) и у = = 1,2(х) уравнения нижРис. 37 ней и верхней частей контура сечения (рис. 37). Мы предполагаем, что этот профиль тонкий, слабо изогнутый и наклонен к направлению обтекания (оси щ) под малым углом атаки; другими словами, малы как Задача Определить минимальное значение индуктивного сопротивления, которое может быть достигнуто при заданных подъемной силе 77 размахо крыла 1.
=1. Р о щ е н и е. Из форь7ул (47.8) и (47.10) ясно, что мипималыюе значение С при заданном СР (в е. заданном А7) достигается, если равны нулю все .4„с п ф 1. При этом С,„,= — С. Ж хЛ ' Распределение же циркуляции по размаху крыла дается формулой Г = — — 171„СР~ГД вЂ” х) . 4 (2) 771 Коли длина размаха достаточно велика, то движение жидкости вокруг каждого сечения крыла приближенно соответствует плоскому обтеканию бесконечно длинного крыла с таким профилем сечения.
В этом случае можно утверждать, что распределение (2) циркуляции осуществляется при эллиптической в плане (в плоскости вг) форме крыла с полуосями 1„/2 и 1772. 266 ПО!тани'н!ыЙ слОЙ сами !',!, 1„2, так и производные !',!, ~2, т. е. нормаль к контуру направлена везде почти параллельно оси у. При этих условиях можно считать возмущение и скорости жидкости, вызываемое присутствием крыла, везде (кроме лип1ь малой области вблизи передней закрутлснной кромки крыла) малым по сравнению со скоростью натекания Г!. Граничное условие на поверхности крыла гласит 11у/Г = !',' при у = !',.
В силу сделапнык предположений можно потребовать его выполнения не при у = 1,! а при у = О. Тогда на отрезке оси абсцисс от х = О до х = 1 =и должно быть: пл — — Г!~~(х) при и -э +О, пк — — Г!!',! (х) при у — ! — О. (48.1) Имея в виду применить методы теории функций комплексного переменного, вводим комплексную скорость 11!и/11л = п~ — 1НР (ср. 2 10), представляющую собой аналитическую функцию переменной л = х+1у.
В данном случае на отрезке (О! а) оси абсцисс эта функция должна удовлетворять условию ( — Г!~~2(х) при у — ! +О, 1ш — = ~ (48.2) — Г!с!'(х) при у -э — О. Для решения поставленной задачи прежде всего представим искомое поле скоростей п(х! у) в виде суммы м = !! Р + и двух распределений, обладающих следующими свойствами симметрии: и (х, -р) =п„(х, р), п„(х, — и) = - „(х, у), (48.3) Н~Р(х, — р) = — и (х, р), Н„Р(х, — у) = п„~(х, у). Эти свойства (для каждого из распределений м и т1э в отдель- нопги) не противоречат уравнениям непрерывности и потенци- альности, и ввиду линейности задачи эти распределения можно искать независимо друг от друга. Соответственно представится в виде суммы ш' = ю~, + и1~ также и комплексная скорость, причем граничные условия на отрезке (О, а) для обоих членов суммы гласят; ',~ „, = — — '(~'!+Г,'), (48.4) 1П1 Ю ) = — 11п 'Н1 ! = — (! ! — ~2) Функция ю' может быть определена с помощью формулы Коши; и' (г) = — !Е ~ ® 11с, 2Л! ./ 267 под'ьямггая Оила тОнкОГО кгыла Где интегрирование производится В плОскОсти комплексного переменного С гго окружности Ь малого радиуса с центром в точке б = г (рис.
38). Контур б можно заменить окружностью С' бесконечно большого радиуса и обходимым по часовой стрелке контуром С: последний может быть стянут к дважды пробегаемому отрезку (О, О,). Интеграл по С' обращается в нуль, так как и'(з) исчезает на бесконечности. а Интеграл же по С дает следующее выражение: ь а с ш' = — — г' ~а(') ~'(') сгС. (48.5) а 2гг У о При этом мы воспользовались предельными с" значениями (48.4) мнимой части ш на отрезке г-ис. 28 (О, а) и тем, что согласно условиям симметрии (48.3) вещественная часть и' на этом отрезке не испытывает скачка.
Для нахождения же функции ю' надо применить формулу Коши не к самой этой функции, а к произведению сот~(з)8(в), где 8(з) = ~ у с — а причем при в = т ) а корень берется со знаком плюс. На отрезке (О, а) вещественной оси функция 8(з) чисто мнимая и имеет разрыв: 8(л + гО) = — 8(т — гО) = — г Ввиду этих свойств функции 8(в) ясно, что мнимая часть произведения ию' будет иметь на отрезке (О, О) разрыв, а вещественная часть бтдет непрерывна, подобно тому как это имеет место у функции пг . Поэтому в точности аналогично выводу формулы (48.5) получим го.е(з)8(в) = — — ' ' д'(б+ г0) гтс. 2а 2 о Собирая полученные выражения, найдем окончательно следующую формулу, определяющую распределение скоростей вокруг тонкого крыла: — — а а и ь — ~ С((а+С~а 6,4б ь ( С'(с) -с'Ю дь гЬг 2аг с ~ 8 — с ~го †2я/ о о (48.6) 268 НО!'Рлни'н!ыЙ слОЙ 1'Л 1" Вблизи закругленной передней кромки (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
