VI.-Гидродинамика (1109684), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определить распределоние температуры в последующие моменты времени. Р е ш е н и е. В одномерном случае уравнение (1) гласит: дИ д (,„дИ~') (4) д1 дх( дх ) Из имеющихся в нашем распоряжении параметров 1„! и а и переменных х, ! можно составить лишь одну безразмерную комбинацию: (ц н!)гг[г-~- (б) (!.) и а имеют размерность соответственно эрг/сы~ и ем~/с (смз/эрг)~). Поэтому искомая функция Иг(х, 1) должна иметь вид И' = ( — ) Д(б), (б) где безразмерная функция Д(б) умножена па величину, имеющую размерность эрг!сргг. После атой подстановки уравнение (4) дает (2 + и) — ~ !"" — ) + б — + 1 = О. !1 !' „!((1 !(у' дб~, дб) дб 284 'гкплопговодность в жидкос!ти гл.
ч Это уравнение в полных производных имеет простое решение, удовлетво- ря|ощео условиям задачи: И) = [„,",~,(бг-бг)] (7) хо = сопв| 1 Постоянная бо определяется условием постоянства полного количества тепла: а= ~И:4х=~/(б)«, (8) — а откуда получается „(1 г+ (2+ п) ' "2 |,2 и/ Г-( т Г.(1/и) При и = — и < 0 напишем решение в виде /(О = ~„,',(б:+б')~ Здесь тепло распределено по всему пространству, причем на больших расстояниях 1г' убывает по степенному:закону; И' т гг'. Это решение применимо лишь при и < 2; ори и > 2 интеграл (8) (который берется теперь в пределах хоо) расходится, что, физически означает мгновенный уход тепла на бесконечное расстояние.
При и < 2 постоянная бо в (10) равна .(1 1~ .уг Г 2(2 — и)т'уг 1, и 2 / со (11) Г'(1/и) Наконец,при и -э 0 имеом ба — л 2/,/и и решение, определяемое формулами (о)-.(7), дает (10) в согласии с форл|улой (81.7). 8 52. Теплопроводность в ограниченной среде В задачах о теплопроводпости в ограниченной среде задание начального распределения температуры недостаточно для однозначности решения, и необходимо е|це задание краевых условий на ограничива|о|цей среду поверхности. где бо — постоянная интегрирования.
При и > 0 эта формула дает распределение температуры в области между границами х = ххо, определяющимися равенством Е = хео; вне этих границ 1Р = О. Отсюда следует, что границы нагретой области расширяются со временем по закону тяплОНРОВОднОс'1'ь В О1'РаничяннОЙ сРяде 285 Рассмотрим теплопроводность в полупространстве 1х > 0) и начнем со случая, когда на граничной поверхности х = 0 поддерживается заданная постоянная температура. Эту температуру мы примем условно за нуль, т, е, будем отсчитывать от нее температуру в других точках среды.
В начальный момент времени по-прежнему задано распределение температуры во всей среде. Таким образом, граничные и начальные условия гласят: Т=О при х=О; Т=ТП(х,д,в) при1=0, я>0. (521) Решение уравнения теплопроводности с этими условиями можно свести к решению того жс уравнения для среды, не ограниченной в обоих направлениях оси я, при помощи следующего искусственного приема. Представим себе, что среда распространяется и по левую сторону от плоскости х = О, причем в начальный момент времени распределение температуры в этой части среды описывается той же функцией Тд, по только взятой с обратным знаком.
Другими словами, в начальный момент времени распределение температуры во всем пространстве описывается некоторой функцией, нечетной по переменной и, т. е. такой, что (52 2) Тп( -х, у, я) = -То(х, у, я). Из равенства (52.2) следует, что Тв(0, у, В) = — Те(0, у, я) = О, т. е, требуемое граничное условие (52.1) автоматически выполнено в начальный момент времени, и из симметрии уш1овий задачи очевидно, что оно будет выполнено и во всякий другой момент времени.
Таким образом, задача свелась к решению уравнения (50.4) в неограниченной среде с начальной функцией То(х, у, я), удовлетворяю1цей (52.2), и без какого бы то пи было граничного условия. Поэтому мы можем воспользоваться общей формулой (51 2) Разобьем в (51.2) область интегрирования по дх' на две части: от — ОО до 0 и от 0 до ОО, и воспользуемся соотношением (52.2).
Мы получим тогда: Т(г, 1) = О / То(г') ехр ~ — 1" ") +1 ' ] х — о х ) ехр[ — * ' ] — ехр~ — * ] ) сЬ'11у'сЬ'. (52.3) Эта формула полностью решает поставленную задачу, определяя температуру во всей среде. 286 гл ТБПЛОИРОВОДИОСТЬ В 1КИДКООТИ ЕТ1 0,8 Если начальное распределение температуры зависит только от х, то формула (52.3) принимает вид Т1',х, 2) = / Т01хз)(ехр~— 0 — ехр [ — ] ~ дх'. (52.4) В качестве примера рассмотрим случай, когда в начальный момент везде, кроме х = О, температура равна заданной 1юстоянной величине, которую, не ограничивая общности, 1иожно положить равной — 1; температура жс на плоскости х = О все время равна нулю.
Соответствующее решение получается непосредственно подстановкой Т01х) = — 1 в (52.4). Разобьем интеграл в (52.4) на два интеграла и в каждом из них произведем замену переменных типа = С. Тогда мы получим для Т1х, 1) 2 ТУХ~ 1леду1ощее выражение: Т''1х, 1) = — ~ег1( — ' ) — ег1( )~, где функция егг х определяется как ег1 х = — 1 е ~ 11С (52 5) ~/л,/ 0 и называется интегралом ошибок (заыетилл, что ег1'(оо) = 1). Поскольку ег11 — х) = — его(х), Клы $ получаем окончательно: Т(х, 1) = — сг1( ' ). (52.6) На рис.
40 изображен график функции ег1 с. С течением времени рас- 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 пределение температуры по про странству все более сглаживается. Рис. 40 Это сглаживание происходит таким образом, что каждое заданное значение темпоратуры перемеп1ается вправо пропорционально у7. Последний результат, впрочем, заранее очевиден.
Действительно, рассматриваемая задача определяется всего одним параметром начальной разностью температур То граничной плоскости и остального пространства (положенной выше условно равной единице). Из имеющихся в нашем распоряжении параметров Те и т и переменных х и 1 можно составить всего одну безразмерную комбинацию х/ТЩ поэтому ясно, что искомое распределение температуры должно определяться функцией вида Т = = Т011х! lХС).
тВНЛОВРОВОДНОС'1'Ь В О1'РАНИЧЯННОЙ СРВДЕ 287 Рассмотрим теперь случай, когда граничная поверхность среды теплоизолирована. Другил1и словами, на плоскости х = 0 тепловой поток должен отсутствовать, т. е. должно быть дТ/дх = О. Таким образом, имеем теперь следую1цие граничные и начальные условия; — =0 при х=О; Т=Тэ(х,у, В) прн 1=0., х)0. (527) Для нахождения решения поступим аналогично тому, как мы делали в предыдущем случае. Именно, опять представим себе среду неограниченной в обе стороны от плоскости х = О. Распределение же температуры в начальный момент времени представим себе теперь симметричным относительно плоскости х = О.
Другими словами, функцию То(х, у, В) предположим теперь четной по переменной х: То( — х, у, В) = То(х, у В). (52.8) Тогда дт.(*, у, ) дт,(-*, у, ) дх дх и при х = 0 будет ДТН(дх = О. Из симметрии очевидно, что это условие автоматически будет выполнено и во все последующие моменты времени. Повторив произведенные выше вычисления, но используя при этом (52.8) вместо (52.2), найдем, что общее решение поставленной задачи дается формулами, отличающимися от (52.3) или (52.4) лишь тем, что вместо разности двух членов в квадратных скобках стоит их сумма.
Перейдем к задачам с другого рода граничными условиями, тоже допускающими решение уравнения теплопроводности в общем виде. Рассмотрим среду, ограниченную плоскостью х = О, через которую извне подводится поток тепла, являющийся заданной функцией времени. Другими словами, имеем граничные и начальные условия: вт — рг — =17(1) при х=О; Т=О при 1= — оо, х)0, (529) дх где у(1) - — заданная функция. Предварительно решим вспомогательную задачу, в которой 17(~) = д(8).
Легко сообразить, что эта, задача физически эквивалентна задаче о распространении тепла в неограниченной среде от точечного источника, содержащего заданное полное количе- дТ ство тепла. Действительно, граничное условие — рг — = 51(1) при дх х = 0 физически означает, что через каждую единицу площади плоскости х = 0 мгновенно подводится количество тепла, рав- 2 ное единице. В задаче же с условием Т = — О(х) при ~ = 0 на рср 288 ТВПЛОНРОВОДНОСТЬ В 1КИДКОСТИ ГЛ. " Р1Т(0, 1) = /, т дт Р1т.
У '11 х(1 — т) (52.11) С помощью этих результатов можно непосредственно получить решение другой зада 1и, в которой заданной функцией времени является сама температура Т на плоскости х = 0: Т=ТВ(1) при х=О; Т=О при1= — оо, х)0. (52.12) Для этого замечаем, 1то если некоторая функция Т(х, 1) удовлетворяет уравнению теплопроводности, то этому же уравнению удовлетворяет и производная дТ/дх. С другой стороны, дифференцируя по х выражение (52.10), получим дх / 2(хц) П10 — тЯ' ~ 4РΠ— т) ! Это есть функция, удовлетворяю1цая уравнен1лю теплопроводности, причем д(1) есть (согласно (52.9)) ее же значение при х = = 0; очевидно, что она и дает искомое рсп1ение задачи с условиями (52.12).
Написав Т(х, 1) вместо — Рт — и Те(т) вместо д(1), дТ дх получаем таким образом: той же площади в начальный момент времени сконцентрировано количество тепла ) рсрТТ1х = 2, из которого половина распространяется затем в направлении положительных х (а другая половина к отрицательным х). Поэтому ясно, что решения обеих задач тождественны и согласно (51.7) находим хТ(х, 1) = 1 — ехр ( — — ). 4Х~ Поскольку в силу линейности уравнений эффекты от тепла, подводимого в различныс моменты времени, просто складываются, то искомое общее решение уравнения теплопроводности с условиями (52.9) есть -' " = 1 ГХ,;-"~-.„',,) ". В частности, на самой плоскости х = 0 температура меняется по закону тВПЛОПРОВОДНОО1Ь В О1'РАНИЧВННОЙ ОРВДЕ 289 т тт Вточь 4т Е4) = ,и,~ Йт, т (52.14) Эта формула представляет собой обращение интегрального соотношен ия (52. 11) .
Очень просто решается важная задача, в которой на граничной поверхности т = О температура задается в течение всего времени в виде периодической функции: Т=Тое '~~ при х=О. Ясно, что распределение температуры во всем пространстве будет зависеть от времени посредством того же множителя е' ' '. Поскольку одномерное уравнение теплопроводности формально совпадает с уравнением (24.3), определяющим движение вязкой жидкости над колеблющейся плоскостью, то по аналогии с формулой (24.5) мы можем сразу написать искомое распределение температуры в виде Т = То ехр — т, ~ ехр гх, ш — 1он1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
