VI.-Гидродинамика (1109684), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Выведем уравнения, описывающие конвскцикх Мы будем рассматривать жидкость как несжимаемую. Это значит, что давление предполагается достаточно мало меняющимся вдоль жидкости, так что изменонием плотности под влиянием изменения давления можно пренебречь. Например, в атмосфере, где давление меняется с высотой, это значит, что мы пе будем рассматривать слишком высоких ее столбов, в которых изменение плотности с высотой становится существенным.
Что же касается изменения плотности благодаря неравномерной пагретости жидкости, то этим изменением, конечно, нельзя пренебречь. Именно оно приводит к появлению сил, вызывающих конвекционное движение. Напишем переменную температуру в виде Т = ТО + Т~, где ТО есть некоторое постоянное среднее значение, от которого отсчитывается неравномерность температуры Т'. Будем предполагать, что Т' мало по сравнению с ТО.
Плотность жидкости тоже напишем в виде р = рв + р с постоянным ро. Ввиду малости изменения температуры Т' мало также и вызываемое им изменение плотности р, причем можно написать р = ( ~~) Т = — роФТ', (56.1) где координата г отсчитывается вертикально вверх. В столбе жидкости высотой 6 гидростатический перепад давления составляет рвд6. Этот перепад приводит к изменению плотности па рйй/сэ, где с "- скорость звука (см. ниже (64.4)). Согласно условию, это изменение должно быть пренебрежимо мало, причем не только по сравнению с самой плотностью, но и ) Будем полагать, что й ) О.
где. Д = — р ч,др/ОТ) -- температурный коэффициент раеитиренил жидкости ') . В давлении же р = рв + р' величина рв не будет постоянной. Это-- давление, соответствующее механическому равновесию при постоянных (равных ТО и рв) температуре и плотности. Оно меняется с высотой согласно гидростатическому уравнению рв = роиг + сопв1 = — роя'е + сопв1, (56.2) 306 'ГВПЛОНГОВОДНОСТЬ В ОКИДКОГГ!'И ГЛ. » С7р ~!ро + Tр' ~!ро ! Р Р Ро Ро Ро или, подставляя (56.1) и (56.2)! =8+ +дТд. ~тр ~тр' ! Р Ро Подставляя это выражение в уравнение Навье — Стокса и опуская индекс у рв, получаем окончательно: ! — + ~,»Ч)» = — '»Г — + и1д» вЂ” ба .
(56.4) дГ Р В уравнении теплопроводности (50.2) член, содержащий вязкость, при свободной конвекции, как можно показать, мал по сравнению с другими членами уравнения и потому может быть опущен. Таким обра;юм, получаем дт' +»'!7Т' = уи0,Т'. (56 5) дГ Уравнения (56.4) и (56.5) вместе с уравнением непрерывности !11»» = 0 представляют собой полную систему уравнений, описывающих свободную конвекцию (А.
Обегбеск, 1879;,1. Воиееот пеац, 1903). Для стационарного движения уравнения конвекции принимают вид ~,»»д)» = — !»!"— — дЗТ' + иь!»! Р »С7Т' = ХЬТ', (56.6) (56.7) !11»» = О. (56.8) В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные функции», р'/р, Т', входят три параметра: и, т и 8ф. Кроме по сравнению с ее тепловым изменением (56.1). Другими словами, должно удовлетворяться неравенство 8'!Г/с2 « 1!'О, (56.3) где О характерная разность температур. Начнем с преобразования уравнения Навье — Стокса, которое при наличии поля тяжести имеет вид — +~,»'»')» = — — + иГЛ»+ н, д» !!!Р дГ Р получа!ощийся добавлением к правой части (15.7) действующей на единицу массы силы и. Подставим сюда р = ро+р, р = ро+ р .
С точностью до малых первого порядка имеем 307 своводпля конвккция того, в их репзсние входят характерная длина й и характерная разность температур О. Характерная скорость теперь отсутствует, поскольку никакого вынужденного посторонними причинами движения нет, и все течение жидкости обусловливается ее неравномерной нагретостью. Из этих величин можно составить две независимые безразмерные комбинации (напомним, что температуре надо при этом приписывать особуго размерность — см. 8 53).
В качестве этих комбинаций обычно выбирают число Прандтля Р = ы/)Г и число Рэлея '): кдЕЬ' (56.9) оХ Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества жидкости; основной же характеристикой конвекции как таковой является число Рэлея. Закон подобия для свободной копвекции гласит ч = — Г (~, Я, Р), Т = 07'( —, Е, Р). (5б.10) Два течения подоГ>пы, если их числа Е и Р одинаковы. Тепло- передачу при конвекции в поле тяжести характеризуют числом Нуссельта, по-прежнему определенным согласно (53.7).
Опо является теперь функцией только от Е и Р. Конвективное движение может быть как ламинарным, так и турбулентным. Наступление турбулентности определяется числом Рэлся конвекция становится турбулентной при очень больших значениях Я. Задачи 1. Привести к решению обыкновенных диффсреппиальных уравнений задачу об определении числа Нуссельта при свободной конвекпии у плоской вертикальной стенки. Предполагается,что скорость и разности техаператур заметно огличны от нуля лишь в тонком пограничном слое у поверхности стенки (Е.
Роп1паиьтп, 1921). Р е ш е н и е, Выбираем начало координат на нижнем краю стенки, огь а — вертикально в ее плоскости, а ось у — перпендикулярно стенке. В пограничном етое давление не меняется вдоль оси у (ср. З 39) и потому везде равно гидростатичоскому давлению ро(а), так что р' = О.
С обычной для пограничного слоя точаостыо уравнения (66.6) — (66.8) принимают вид до, до, де пи +,„— *=; "+861т-т,), ду. " ду ду ат ат д'т а. а „ ь — +и„— =х ., '+ — "=0 "ат "ду дуе' дт ду ) В литературе используется также число трассеофа: с = кань 7 = кур. 308 гл. " ткплОпРОВОднОсть в лкидкОс!Ти с граничными условиями х =го=О, Т=Т1 при В=О; с =О, Т=То при у=оо Т! - температура стенки, То температура жидкости вдали от стенки).
ти уравнения могут быль преобразованы в обыкновенные дифференциальные уравнения вве41ениел! в качестве независимой переменной величины 04 В ВВ(Т! — То)Ь' Р) (4хйо)!14 12 1Ь вЂ” высота стенки). Полагаем: и =, С ллхлр'1(), Т вЂ” То = !Т1 — То)ВЯ. Тогда последнее из уравнений (1) дает П 114 (4 Ьз)114 1С22 а первые два дают уравнения для функций 42(б) и 9(Д! ра' 4- 342!ро — 2ол'~ + В = О, В" + ЗР!рВ' = О. (4) Из (3), (4) следует, что толщина пограничного слоя 6 (хЬ~1'С)'!'.
Условие прил!енимости решения, 6 «Ь, выполняется при достаточно больших значениях 6. Полный поток тепла 1отнесенный к единице площади стенки) ! 1 !1 ОТ 4м С 104 а = — — / и — г)х = — — 9'(О; РНТ! — То) ~ — ) Ь / Вр,=о 3 4Ь о т1игчо Пуссельта (3) рВТ Н-8 - рВТ 1-я- ! 2 2 !984л1 1 ср и У = Прап', где функция 1ЛР) определяется решением уравнений (4). 2. 1'орячая турбулентная затопленная струя газа изгибается под влия- нием поля тяжести; требуется определить се форму (ГН.
Абрамович, 1938). Р е ш с и и е. Пусть Т' — некоторое среднее 1по сечению струи) значение разности температур в струе и в окружающем газе, и--некоторое среднее значение скорости газа в струе, а 1 — расстояние вдоль струи от точки ее выхода (1 предполагается большим по сравнению с размерами выходного отверстия струи). Условие постоянства потока тепла С„л вдоль струи гласит: 4,1 рсрТ'иК = сопвщ а поскольку радиус турбулентной струи пропорционолон 1 (ср.
3 Зб),то Т и1 = сопел Я (1) рср 1зал!стим, что без учета поля тяжести и с! 12!1 — см. 136.3) — и из (1) следует, что Т' сс 11'1). Вектор потока импульса через поперечное сечение струи пропорциона- лен ри Н и ри 1 и (и -- единичный вектор вдоль направления струи). Его 2 2,22 горизонтальная составляющая постоянна вдоль струи: и 12 сов В = соввг (2) 19 — угол между и и горизонтгм!ью), а изменение вертикю!ьной компоненты определяется действующей на струю подъем!к!й силой. Последняя пропор- ционалы!а 309 с'воводнля конвенция Поэтому имеем — Пги э1пд) д гг. Фб) д1 ,Зсеи Ввиду (2) отсюда следует дгбд = сопзг 1ъ'совр, 41 (3) откуда окончательно дВ = сопзг 1 (сов о) щг оо (4) (оо определяет направление струи в точке ее выхода). В частности, если на всем протяжении струи изменение угла Р незначительно, то (4) дает а вместо (3) г1 г г со!жг — (г и ) =— дг и (г — высота нвд телом, предполага!ощаяся большой по сравнению с его размерами).
Интегрируя последнее уравнение, найдем -!!з иаг а для температуры соответственно Т! а г 4. То же для ламинарной свободной восходящей конвективной струи (Я.Б. Зельдович, 1937). Р е ш е н и е. Наряду с соотношением Т'ий = сопвг, выражающим постоянство потока тепла, имеем соотношение и !!г ии/Л ц(3Т', вытекающее из уравнения (56.6). Из этих соотношений находим слодующие законы изменения радиуса, скорости и температуры струи с высотой: 27 а ьЕ, и = солж, Т' а 1!!г. Заметим, что число Тс а Т'К' сс ьгг растет с высотой; поэтому на некоторой высоте струя становится турбулентной.
д — до = сопэг 1 . Это значит, что струя имеет форму кубической параболы, в которой отклонение о от прямоугольной траектории д = сонэ! 1 . 3. От неподвижного горячего тела поднимается вверх турбулентная (число Редея велико) струя нагретого газа. Определить закон изменения скорости и температуры струи с высотой !Я.Б. Зельдович, 1937). Р е ш е н и е. Как и в предыдущем случае, радиус струи пропорционален расстоянию от источника, и аналогично (1) имеем Т иг = сопвс, г 810 ткплопеоводность в жидкости гл (ос7 2) (57.3) (57.4) — иоч = — ~уш + Ьч + Тстп, — ивтР = Ьт+ ч„ п)чч = 0 ) Не смешивать вту неустойчивость с конвективной неустойчивостью, о которой шла речь в 8 28! 8 57. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости Если в заданной конфигурации жидкости и твердых стенок постепенно увеличивать число Рэлея, то наступит момент, когда состояние покоя жидкости становится неустойчивым по отношению к сколь угодно малым возмущениям ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
