VI.-Гидродинамика (1109684), страница 64
Текст из файла (страница 64)
315 конвекгнвнля неустойчивость (где Лз = дэ!!дхв + д2г!дд2 двумерный лапласиан). Граничные условия на обеих плоскостях: т=О, п,=О! — '=0 прил=О, 1 д, д(последнее эквивалентно, ввиду у.равнения непрерывности, условиям в. = пр — — 0 при всех х, д). Ввиду второго из уравнений (57.12) условия для р, можно заменить условиями для высших производных от т: дя дез дв Ищем т в виде йдй" >1708 х (57.15) ') Детали вычислений можно найти в кнз Гдй Гсршрви, Е М. Ждхоеицкий Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — Мз Наука, 1972, а также в указанных на с.
145 книгах С. Чандрасекхара и Дразнил и Гейда. ) При заданном значении Л это условие во всяком с!!учае выполняется при достаточно большом 1!. Во избежание недоразумений следует напомнить, что речь идет здесь лишь о таких вь!сотах 1!, при которых песугнествепно изменение плотности жидкости под влиянием! поля тяжести. Поэтому к высоким столбам жидкости этот критерий неприменим. В таком случае следует применять критерий, полученный в 1 4, из которого видно, что конвекция может отсутствовать при любой высоте столба, если градиент температуры не слишком велик. т = 1(я)!р(х, д), !р = е! ' (57.14) (где 1с вектор в плоскости хд) и получаем для 1(я) уравнение ( — ",, — Ю') У+7И'У=О. Общее решен!ле этого уравнения представляет собой зплнейную комбинацию функций сугргя и ау! дх, где э сз 77 Нзй2!з тзу1 с тремя различными значениями корня.
Коэффициенты этой комбинации определял!тся граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности которых дает трансцендентное уравнение, корни которого и определяют зависимости тг = кп(Я), и = 1! 2, ... Обратные функции К = '!сп(к) имеют минимум при определенных значениях Й; наименьший из этих минимумов и дает значение 1с р ') . Оно оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волнового числа й,р — — 3,12 в единицах 1/6 (Н.,Гедтедв, 1908). Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины 6 с направленныь! вниз градиентом температуры А становится неустойчивым при в) 316 теплопговодность в жидкости При )с > Е,р в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскости юу.
Все пространство между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение к р определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения движения допускают в (57.14) любую функцию ~р(т, у), удовлетво- ряЮщуЮ уравпЕниЮ (га2 — й~)~р = О.
УетранЕпиЕ ЭтОй нЕОднО- значности в рамках линейной теории невозможно. По-видимому, должна осуществляться «двумернаяь структура движения, в которой па плоскости щу имеется лишь одномерная периодичность система параллельных полос ') . Задачи 1. Найти критическое число Рэлея для возникновения конвекции в жидкости в вертикааьной цилиндрической трубе, вдоль которой поддерживается постоянный градиент теьшературы; стенки трубы а) идеально теплопроводны, или б) теплоизолирующие (Г.А. Остроумов, 1946).
Р е ш е н и е. Ищем решение уравнений (67.2) — (07.4)., в котором конвективная скорость ч направлена везде по оси трубы (ось х), а вся картина движения постоянна вдоль этой оси, т. е. величины о, = о, т, дш/дх зависят только от координат в плоскости сечения трубы ) . Уравнения принимают вид дш дш дш — = — = О, .Ьзв = — Ит+ —, Ьзг = о д* др дх (число Е = КДАН" 7'(Хи), Я вЂ” радиус трубы).
Из первых двух уравнений следует, что дшдх = сопв$, а исключив из остальных уравнений т, получим ьъ е='К е На стенках трубы (г = 1) должны удовлетворяться условие г = 0 и у.словие г = 0 (в случае а) или дт!дт = 0 (в случае б). Кроме того, должен быль равен нулю полный поток жидкости через поперечное сечение трубы. ') Теоретические указания состоят в том, что в надкритической области вблизи Е р лишь зта структура оказывается устойчивой по отношению к малым возмущениям; чтрехмерныек же призматические структуры оказываются неустойчивыми.
Эксперименташьныс результаты существенно зависят от условий опыта (в том числе от формы и размеров боковых стенок сосуда) и не однозначны. Наблюдавшаяся в ряде случаев трехмерная гексагональная структура связана, по-видимому, с влиянием поверхностного натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимостью вязкости жидкости (в изложенной теории вязкость и рассматривалась, конечно,как постоянная).
) Уравнения имеют также решения, периодические вдоль оси -, содержащие множитель ехр (гкв). Все они, однако, приводят к более высоким значениям 77 „. Обратим внимание на то, что рассматриваемое решение с к = 0 удовлетворяет также и точным (нсливеаризованным) уравнениям (57.10) ввиду тождественного обращения в нуль нелинейных членов ~,» х)я и хат. 317 конвкктивнля нвчотойчивоать Уравнение имеет решения вида сов пэр д„(йг), соэ п~р 1, (йг), где,1„, 1„— функции Бесселя вещественного и мнимого аргумента, а й~ = Я; г, лл - полярные координаты в плоскости сечения трубы. Моменту возникно- вения конвекции отвечает то решение, которому соответствует наименьшее значение Я. Оказывается, что таковым является решение с и = 1; с = чвсоезр(Л(йт)1л(й) — Й(йг)Л(й)), т = сов~р(1л(йг)1~(й) -р 1л(йг)ул(й)) (причем градиент дщ/дл = О).
Описываемое этими формулами движение антисимметрично относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось трубы и делящей полость на две части; в одной из них жидкость опускается, а в друтой поднимается. Написанное решение удовлетворяет условию ч = 0 при г = 1. В случае а условие т = 0 приводит к уравнению Л(й) = 0; его наименьший корень дает критическое число лс„р — — й = 216. В случае б 4 условие дт)дг = 0 приводит к уравненило 1о(й) 1а(й) 2 + 1~(й) 1~(й) й Наименьший кореш этого уравнения дает Я р —— 68. 2.
Сформулировать вариационный принцип для задачи о собственных значениях И, определяемых уравнениями (37.12). Р е ш е н и е. Придадим уравнениям (57.12) более симметричный вид, введя вместо т новую функцию г = 4Ят, т. е. снова изменив единицу измерения температуры. Тогда: Гати = ~ю — Ь», »%п, = — Ьт, с11чч = О. Поступая, как при выводе (57.7), получим»лЕ = Х/Х, где ,1 = — 1 ((гол») -Е (~т) )Л', Х = / щтлПг 2,/ (интеграл Х положителен, в чем легко убедиться, приведя его к виду Я'~э ~(ллт)лг(Ц.
Вариационный принцип формулируется, как требование экстрегнальносги 1 при дополнительных условиях сйч ч = 0 и йл = 1. Минимальное значение,1 определяет наименьшее собственное значение»глс. ГЛАВА Ч1 ДИФФУЗИЯ й 58. Уравнения гидродинамики для жидкой смеси Во всем предыдущем изложении предполагалось, что жидкость полностью однородна по своему составу. Если же мы имеем дело со смесью жидкостей нли газов, состав которой меняется вдоль ее объема, то уравнения гидродипамики существенно изменяются. Мы ограничимся рассмотрением смесей с двумя только компонентами.
Состав смеси мы будем описывать концентрацией с, определяемой как отношение массы одного из входящих в состав смеси веществ к полной массе жидкости в данном элементе объема. С течением времени распределение концентрации в жидкости, вообще говоря, меняется.
Изменение концентрации происходит двумя путями. Во-первых, при макроскопическом движении жидкости каждый данный ее участок передвигается как целое с неизменным составом. Этим путем осуществляется чисто механическое перемешивание жидкости; хотя состав каждого передвигающегося участка жидкости не меняется, но в каждой данной неподвижной точке пространства концентрация находящейся в этом месте жидкости будет со временем меняться. Если отвлечься от могущих одновременно иметь место процессов теплопроводности и внутреннего трения, то такое изменение концентрации является термодинамически обратимым процессом и не ведет к диссипации энергии.
Во-вторых, изменение состава может происходить путем молекулярного переноса веществ смеси из одного участка жидкости в друтой. Выравнивание концентрации путем такого непосредственного изменения состава каждого из участков жидкости называют диффузией. Диффузия является процессом необратимым и представляет собой наряду с теплопроводностью и вязкостью один из источников диссипации энергии в жидкой смеси. Будем обозначать буквой р полную плотность жидкости. Уравнение непрерывности для полной массы жидкости сохраняет прежний вид др — Р + с1Ы и = О. (58.1) дФ Оно означает, что полная масса жидкости в некотором обьеме может измениться только путем втекапия или вытекания жид- 1 88 мгавпкния гидгодипьыики для жидкой смеси 319 р ~ — ' + ъ 17с) = — йу и /дс де (58.3) ') Сумма плотностей потоков обоих аелтеста должна быть равна рт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
