VI.-Гидродинамика (1109684), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Таким образом, условие равновесия приобретает вид — + — + — е = сопэ1. 1 1 (61.6) й! й! П Надо, впрочем, отметить,что для определения равновесной формы поверхности жидкости в конкретных случаях обычно бы- вает удобным пользоваться условием равновесия не в виде (61.6), а непосредственно решая вариационную задачу о минимуме пол- ной свооодной энергии.
Внутренняя свободная энергия жидкости зависит только от объема., но не от формы поверхности. От фор- мы зависит, во-первых! поверхностная свободная энергия / !х!з1' и, во-вторых, энергия во внешнем поле 1поле тяжести), равная яр ~е!Лг. Таким образом, условие равновесия можно написать в виде (61.7) 335 ФОРЛ1У '1Л ЛЛОЛЛСЛ Определение минимума должно производиться при дополнительном условии й'у' = согувц (61.8) выражающем неизменность полного обьема жидкости.
Постоянные а, р, и входят в условия равновесия (61.6), (61.7) только в виде отношения —. Это отношение имеет размерность КР квадрата длины. Длину (61.9) называют капилляриой постоянной ') . Форма поверхности жидкости определяется только этой величиной. Если капиллярная постоянная велика (по сравнению с размерами тела), то при определении формы поверхности можно пренебречь полем тяжести. Для того чтобы определить из условия (61.4) или (61.6) форму поверхности, надо иметь формулы, определяющие радиусы кривизны по форме поверхности. Эти формулы известны из дифференциальной геометрии, но имеют в общем случае довольно сложный вид.
Они значительно упрощалотся в том случае, когда форма поверхности лишь слабо отклоняется от плоской. Мы выведем здесь соответствующую приближенную формулу непосредственно, не пользуясь общей формулой дифференциальной геометрии. Пусть г = С(х, д) --уравнение поверхности; мы предполагаем,что 1, везде мало, т. е.что поверхность слабо отклоняется от плоскости к = О. Как известно, площадь 1 поверхности определяется интегралом или приближенно при малых 1, =~~"-'(-')' -'('-')') *" Определим вариацию б 7'1 (61.10) Интегрируя по частям, находим 11 = — 1 ( —, + —,)11У,Уу. ') Таку для воды а = Оу39 сы (при 20 'С).
336 гл хп ПОВКРХ1ЮСТНЫЕ ЯВЛЕП1НЯ Сравнив зто выражение с (61.2), получаем (61.11) Это и есть искомая формула, определяющая сумму обратных радиусов кривизны слабо изогнутой поверхности. При равновесии трех соприкасающихся друг с другом фэз их поверхности раздела устанавливаются таким образом, чтобы была равна нулю равнодействующая трех сил поверхностного натяжения, действующих на общую линию соприкосновения трех сред.
Это условие приводит к тому, что поверхности раздела должны пересекаться друг с другом под углами (так называемые краевые углы), определяющимися значениями поверхностного натяжения. Наконец, остановимся на вопросе о граничных условиях, которые должны соблюдаться на границе двух движущихся жидкостей при учете сил поверхностного натяжения. Если поверхностное натяжение пе учитывается, то па границе двух жидкостей имеем пЬ(п,„— о, ) = Ог гзг М что выражает равенство сил трения, действующих на поверхности обеих жидкостей.
Прн учете поверхностного натяжения надо написать в правой части этого условия дополнительную силу, определяомукг по величине формулой Лапласа и направленную по нормали к поверхности: пыл. — пвп = о~ — + — )и,. (21 (1) г' 1 1 (61.12) ев ' гь 1 гл ~.„) Иначе можно написать это уравнение в виде (рл — рз)п; = (о;.„П вЂ” а,. 1)пи+ гт( — + — )тг,. (61.13) 1 Если обе жидкости можно считать идеальными, то вязкис напряжения о,'.ь исчезают, и мы получаем вновь простое уравнение (61.3). Условие (61.13), однако, еще не является наиболее общим.
Дело в том, что коэффициент поверхностного натяжения гг может оказаться не постоянным вдоль поверхности (например, в результате непостоянства техшературы). Тогда наряду с нормальной силой (исчезающей в случае плоской поверхности) появляется некоторая дополнительная сила, направленная тангснциально к поверхности. Аналогично тому как при неравномерном давлении появляется объемная сила, равная (на единицу объема) — ~7рг здесь тангенциальная сила., действующая на единицу площади поверхности раздела, Гг = йгаг1сг. Мы пишем здесь градиент со знаком плюс перед ним, а пе со знаком минус, как в Фоеыхлл ллпллсл 337 силе — Гр, в связи с темг что силы поверхностного натяжения стремятся уменьшить площадь поверхности, между тем как силы давления стремятся увеличить объем тела. Прибавляя эту с илу к правой части равенства (61.13), получим граничное условие ~--(, л= р1 — рз — гт~ — + — р~ = 1гт „— о..
)ггь+ — (61.14) / 1 1 11 г(1) г(2) до дя, (единичный вектор нормали п направлен внутрь первой >кидкости). Отметим, что это условие может быть выполнено только у вязкой жидкости. Действительно, у идеальной жидкости а,'.ь — — 0; тогда левая часть равенства (61.14) будет представлять собой вектор, направленный по нормали, а правая вектор, направленный по касательной к поверхности.
Но такое равенство невозможно (за исключением, разумеется, тривиального случая, когда эти величины равны нулю каждая в отдельности). Задачи 1. Определить форму жидкой пленки, края которой закреплены на двух рамках, имеющих форму окружностей, центры которых лежат на общей прямой, перпендикулярной к их плоскостям (разрез пленки изображен на рис. 41). — — — — — ~- — — — — — А Р е ш е н и е. Задача сводится к отысканию поверхности минимальной гпгощади, образованной вращени- г ем вокруг прямой г = О кривой в = з1г), имеющей концы в двух заданных точках,4 и В. Площадь поверхности вращения есть г 1 = 2я / г (г, г') ШИ Е = г(1 -~- г' ) — -+ — -в где г = ггг)ггж Первый интеграл уравнения Эйлера за- г Рис.
41 дачи о минимуме такого интеграла (с выражением Е, не содержащим я) есть ,дà Š— г — = сопза дг' В данном случае это дает г = сг (1 -~- г ) ~ откуда находим после интегрирования сг г=сгсЬ сг таким образом, искомая поверхность является поверхностью, образованной вращением цепной линии (так называемый катеноид). Постоянные сг и сг должны быть определены так, чтобы кривая г(з) проходила через заданные точки А и В.
При этом сг зависит просто от выбора начала координат па оси г. Для постоянной же сг получаются два значения, из которых должно быть выбрано большее (ггеньшее не соответствует минимуму интеграла). При увеличении расстояния )г между рамками при некотором определенном его значении наступает момент, когда уравпениег определяющее по- 338 гл уп повкгхноотные явления Рис. 42 Яг со, Л так что уравнение (61.6) приобретает вид 2о = соней 2 (1+ гг)зга (а- капиллярная постоянная).
При х = со должно быть х = О, 1ггЛг = 0; поэтому сопзо = О. Первый интеграл получающегося уравнения есть Я+7~ ' аа' (2) Из условия на бесконечности (х = О, х' = 0 при х = оо) имеем А = 1. Второе интегрирование дает а а за х = — — АгсЬ -~-ао(2 — — +хо. Я ')( аг Постоянная хо должна быть определена так, чтобы на поверхности стенки (х = 0) было о' = — с18В или согласно (2) о = б, где 11 = а,Я вЂ” огпВ есть высота поднятия жидкости у самой стенки. 3. Определить форму поверхности жидкости, полнявшейся между двумя вертикальными параллельными плоскими пластинками (рис.
43). Р е ш е н и е. Выбираем плоскость уо посередине мегкду обеими пластинкаъги, а плоскость ху — совпадающей с поверхностью жидкости вне пространства между пластинками, вдали от них. В уравнении (Ц зада— чи 2, выражающем условие равновесия и потому справедливом вдоль всей поверхносги жидкости (как меж~г ду, так и вне пластинок), условия при х = сю дают опять сопвО = О. В интеграле же (2) уравнения (Ц поРис. 43 стояпная А ржолична для (х) ) 14гг2 и (х) ( 11гг2 (при )х! = 11,г2 функция г(х) имеет разрыв). Для пространства между пластинками имеем гаге„13 ющие условия: при х = 0 должно быть о' = О, а при т = 11гг2 х' = ссбВ, где  — краевой угол. Согласно (2) имеем для высот хо = о(0) и ог = х(11гг2): о1 — аьгА — зп1 В. о= А — 1, стоянную сг, перестает иметь вещественные корни. Прн больших расстояниях устойчивой является только форма, соответствующая двум пленкам, натянутым на каждую из двух рамок.
Так, для двух рамок одинакового радиуса гс катеноидная форма становится невозможной при расстоянии л между рамками, равном й = 1,33 г1. 2. Определить форму поверхности жидкости, находящейся в поле тяжести и соприкасающейся с одной стороны с вертикальной плоской стенкой. Краевой угол, образуемый жидкостью при соприкосновении с веществом стенки, равен В (рис.
42). Р е ш е н и е. Выбираем оси координат указанным на рис. 42 образом. Плоскость х = 0 есть плоскость стенки, а х = 0 есть плоскость поверхности жидкости вдали от стенки. Радиусы кривизны поверхности х = х(х): г ) 3 дг ог 339 Фогмхлл лапласа Интегрируя (2), получаем ( э, э1 „аъ'Л вЂ” соэб где б новая переменная, связанная с х соотношением в = а~/Л вЂ” сов 6. Этот интеграл — эллиптический и но может быть выражен в элементарных функциях. Постоянная А определяется из условия с = щ при х = 4,12, откуда —. -в э соэдсК хг'А соя~С о Полученные формулы определяют форму поверхности жидкости в пространстве между пластинками.
При 4 -э 0 А стремится к бесконечности, Поэтому при 4 « а имеем — — в 2 4 — ~ совдеп( = совр, а Р а .Аl ч'А Ае Ао Аг -.=с Ах Интегрируя уравнение (1) с этими условиями, получим г1 о1Рь) РЯ э э пР пп г1о = бя(б — — ) — — (Зб — я ) — — х —. 2 Ая 6 дт дя (2) о откуда А = 1а1о)э соээ д. Высота поднятия жидкое гн э хо эг — сов 0; 4 эта формула может быть получена, разумеется, и элементарным путем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
