VI.-Гидродинамика (1109684), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Но мы уже опустили соответствую1гнлй (равный нулю при интегрировании по бесконечному объему) член и1ор' в плотности энергии. Поэтому, чтобы получить поток энергии, плотность которой определена согласно (65.1), надо опустить этот член, и поток энергии будет просто 1Р Ч Г1Г:. Мы видим, что роль плотности потока звуковой энергии играет вектор с1 = рч. (65.4) Легко проверить, что1 как и должно было быть, имеет место соотношение — +д1»Р» = О, (65.5) дС выражающее закон сохранения энергии, причем роль плотности потока энергии играет именно вектор (65.4).
В бегущей (слева направо) плоской волне изменение давления связано со скоростью посредством р' = сроп, где скорость н = ВВ 358 эв»к гл»ш 3 = рвтуР + Ч/с . Полный импульс волны равен интегралу ) ) дГ по всему занимаемому ею обьему.
Но интеграл от ~ур может быть преобразован в интеграл по поверхности; и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым пакетом объема у = О. Таким образом, полный импульс пакета равен /3Л~' = —,, ~ч '»'. (65.8) Эта величина, вообще говоря, отнюдь не обращается в нуль. Но отличный от нуля полный импульс означает, что имеет место перенос вещества.
Мы приходим к результату, что распространение звукового пакета сопровождается переносом вещества жидкости. Это эффект второго порядка, поскольку с1 есть величина второго порядка. Наконец, рассмотрим звуковое поле в области пространства, неограниченной по своей длине и ограниченной по поперечному сечению (волновой цуг конечной апертуры); вычислим среднее понимается вместе со своим знаком.
Введя единичный вектор п в направлении распространения волны, получим с~ = срвв~п = сЕп. (65.6) Таким образом, в плоской звуковой волне плотность потока энергии равна плотности энергии, умноженной на скорость звука, результат, который естественно было ожидать. Рассмотрим теперь звуковую волну, занимающую в каждый данный момент времени некоторую конечную область пространства (нигде не ограниченную твердыми стенками) — - волновой пикет; определим полный импульс жидкости в такой волне.
Импульс единицы объема жидкости совпадает с плотностью потока массы ) = р». Подставив р = рв + р', имеем ) = рв»+ р'». Изменение плотности связано с изменением давления посредством р' = р'/с~. С помощью (65.4) получаем поэтому ,) = рв» + с~/с . (65.7) Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несущественна, то движение в звуковой волне можно считать потенциальным и написать» = ~7~р (подчеркнем, что это утверждение не связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны в 8 64 при выводе линейных уравнений движения, решение с гоФ» = О является точным решением уравнений Эйлера).
Поэтому имеем 359 эпю гия и импкльс звяковых волн значение переменной части давления р' в нем. В первом приближении, соответствующем обычным линейным уравнениям движения, р' является периодической знакоперемепной функцией и среднее значение р' обращается в нуль. Этот результат, однако, может не иметь места, если обратиться к более высоким приближениям. Если ограничиться величинами второго порядка малости, то оказывается возможным выразить р через величины, вычисляемые с помощью линейных уравнений звука, так что не приходится прибегать к непосредственному решению нелинейных уравнений движения, получающихся при учете величин высших порядков.
Характерным свойством рассматриваемого звукового поля является то, что разности значений потенциала скорости ~р в различных его точках остаются конечными при неограниченном увеличении расстояния между ними (и то же самое относится к разности значений сз в заданной точке пространства в различные моменты времени). Действительно, это изменение дается интегралом 2 'Р2 — Ф ~ = ~ тг ГП который может быть взят по любому пути между точками 1 и 2; указанное свойство потенциала становится очевидным, если заметить, что в данном случае можно выбрать путь, проходящий вдоль длины цуга вне его ') .
Имея в виду это свойство, будем исходить из уравнения Бернусьли и+ — + — = сопв1. с дф 2 де Усредним это равенство по времени. Среднее значение производной д~р/дй обращается в нуль е) . Написав также ш = шо + ш' и включив постоянную гпе в сопв1, находим ю'+ п2/2 = сопв$. Поскольку сопв1 одинакова во всем пространстве, а вне волново| о цуга вдали от него и' и и обращаются в нуль, то ясно, что эта ') Подобные соображения, по существу, использованы и при выводе (65.8), основанном па утверждении, что о = 0 везде вокруг волнового пакета вдали от него. ') По общему определению средних, для среднего значения производной от некоторой функции ) )г) имеем — тес Если функция Д1) остается конечной при всех й то при увеличении интервала усреднения Т зта величина стремится к нулю.
отгхжвнив и лгвломлвлив зву ковых волн 361 точностью до знака с направлением ч~). Воспользовавшись соотношением (65.2), будем иметь для плотности потока импульса; Пт =Ел,пы (65.12) Коли волна распространяется вдоль оси в, то отлична от нуля только компонента П,.
= Е. Таким образом, в рассматриваемом приближении имеется средний поток только в-компоненты импульса, причем он переносится в направлении оси х. По поводу всего сказанного в последнем абзаце лишний раз подчеркнем, что речь идет о волновом цуге, ограниченном по своему сечению. Для волны, плоской в строгом смысле этого слова, эти результаты были бы несправедливы (в частности р' могло бы быть отличным от нуля уже в квадратичном приближении -.
см. задачу 4 в ~ 101). Формально это связано с тем, что для строго плоской волны (которую нельзя обойти ксбокук) несправедливо, вообще говоря, утверждение о конечности потенциала ~о во всем пространстве 1или в течение всего времени). Физическое различие связано с возможностью (в случае ограниченного по сечению волнового дуга) возникновения поперечного движения, приводящего к выравниванию среднего давления. й 66. Отражение и преломление звуковых волн Когда звуковая волна падает на границу раздела между двумя различными средами, опа отражается и преломляется. Движение в первой среде является тогда наложением двух волн (падающей и отраженной), а во второй среде имеется одна (преломленная) волна. Связь между всеми тремя волнами определяется граничными условиями на поверхности раздела.
Рассмотрим отражение и преломление монохроматической продольной волны в случае плоской границы раздела. Плоскость дл выберем в качестве граничной. Легко видеть, что все три волны падающая, отраженная и преломленная будут иметь одинаковые частоты м и одинаковые компоненты Йю Й, волнового вектора (но не компоненту Й по направлению, перпендикулярному к плоскости раздела). Действительно, в неограниченной однородной среде монохроматическая волна с постоянными 1с и ы является решением уравнений движения. При наличии границы раздела добавляются лишь |раничные ушювия, которые в нашем случае относятся к в = О, т. е. не зависят ни от времени, ни от координат у и г. Поэтому зависимость решения от 1 и от у, в остается неизменной во всем пространстве и времени, т.
е. ы, йю Й, остаются теми же, какими они были в падающей волне. Из этого результата могут быть непосредственно выведены соотношения, определяющие направления распространения от- 362 звук гл мш раженной и преломленной волн. Пусть ху плоскость падения волны. Тогда в падающей волне кг = 0: то же самое должно иметь место и для отраженной и преломленной волн. Таким образом, направления распространения падающей, отраженной и преломленной волн лежат в одной плоскости. Пусть О -- угол между направлением волны и осью я.
Тогда из равенства величин йу — — (о>,«с) эш0 для падающей и отраженной волн следуе1; что 0 =0'„ (66А) т. е. угол падения 01 равен углу отражения 01. Из аналогичного >ке равенства для падаю>цей и преломленной волн следует соотношение в«в Вг сг (66.2) вгв Вг:, сов В> ~ гг ~г1 согВг 1 — 1) = 2 сг сг р1(А1 + А',) = р2А2, Коэффициент отражения ««определяется как отношение сред- них (по времени) плотностей потока энергии в отраженной и па- дающей волнах. Поскольку плотность потока энергии в плоской волне равна сру, то имеем с>Р>ос> ~А, ~ с,ргс,' ~.4>~' Простое вычисление приводит к результату рг «я Вг — р, «я В, ~ =(' ) ~2 рг1яВг -с р>1яВ> « (66.3) между углом падения 01 и углом преломления 02 (с1 и с2 ско- рости звука в обеих средах). Для того чтобы получить количественное соотношение меж- ду интенсивностями пада>ощей, отраженной и преломленной волн, пишем потенциалы скорости в этих волнах соответственно в виде о>1 = А1 ехр~«о>~ — * сов 01 + — вш01 — «)), У сг сг У>1 — — А1 ехр ~го> ~ — — сов 01 + — эш 01 — «) 1, У сг сг 1р2 = А2 ехр|го>~ — соэ02+ — эш02 — «)~.
У сг сг На поверхности раздела (х = 0) должны быть равными давления (р = — ру>) и нормальные скорости (у, = ду>,«дх) в обеих средах; эти условия приводят к равенствам 363 гвомкт Ричкс'кля лкхотикл Углы 01 и 02 связаны друг с другом соотношением 166.'2): выразив 02 через 01, можно представить коэффициент отражения в виде 166.4) Для нормального падения 101 = 0) эта формула имеет вид (02С2 — Р2С2 ) 166.5) Р2С2 + Р|С1 При угле падения, определяющемся из 2 2 2 2 16 01 166.6) р221с2, — с2) коэффициент отражения обращается в нуль, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
