VI.-Гидродинамика (1109684), страница 73
Текст из файла (страница 73)
звуковая волна целиком преломляется, не отражаясь вовсе; такой случай возможен, если с1 > с2, но ртст > р1с1 (или наоборот). Задача Определить давление, оказываемое звуковой волной на границу раздела между двумя жидкостями. 12 е ш е н и е. Сумма полных потоков энергии в отраженной и преломленной волнах должна быть равна падающему потоку энергии. Относя поток энергии к единице площади поверхности раздела, напишем это условие в виде с2Е2 сов В2 = с2Е, сов В2 -Р сзЕ2 сов В2, где еп е), е2 .-плотности энергии в падающей, отраженной и преломленной волнах. Вводя коэффициент отражения 22 = е2,~еы имеем отсюда с совВ2 Искомое давлоние р определяется как х-компонента импульса, теряемого в единицу времени звуковой волной 1отнесенная к единипе площади границы раздела).
С помощью выражения 165.12) для тензора плотности потока импульса в звуковой волне найдем ,2 ~ 2 2 р = Е, гоэ В2 ж Е, соэ В2 — Е2 соэ В2. Подставляя выражение для Е2, вводя В и используя 166.2), получим р = Е2 эшВ1 совВ1)11+ В) ссяВ2 — 11 — В)сСКВ2). Для нормального падения 1В2 = О) найдем с помощью 166.6) — ~ р)с, Ч- рзс2 — 2р1 рзс) 2 2 2 2 22 р = 2Ег 1р2с2 + рэс2)2 3 67. Геометрическая акустика Плоская волна отличается тем свойством, что направление ее распространения и ее амплитуда одинаковы во всем пространстве.
Произвольные звуковые волны этим свойством, конечно, пе 364 гл»ш эв»к обладают. Однако возможны случаи, когда звуковую волну, нс являющуюся плоской, в каждом небольшом участке пространства можно рассматривать как плоскую. Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти нс менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Если выполнено это условие, то можно ввести понятие о лучахв как о линиях, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением распространения волны, и можно говорить о распространении звука вдоль лучей, отвлекаясь при этом от его волновой природы.
Изучение законов распространения звука в таких случаях составляет предмет геометрической акустики. Можно сказать, что геометрическая акустика соответствует предельному случаю малых длин воли, Л вЂ” » О. Выведем основное уравнение геометрической акустики уравнение, определяющее направление лучей. Напишем потенциал скорости волны в виде (67.1) ~р=ае В случае, когда волна не плоская, но геометрическая акустика применима, амплитуда а является медленно меняющейся функцией координат и времени, а фаза волны ф есть «почти липейная» функция (напомним, что в плоской волне у = 1«г — ы1 + с« с постоянными 1с и ы). В малых участках пространства и малых интервалах времени фазу. ф можно разложить в ряд; с то шостью до членов первого порядка имеем Ф = 40+ гк абу~+ —" д~ д~ " Соответственно тому., что в каждом небольшом участке пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассматривать как плоскую, определяем волновой вектор и частоту волны в каждой точке как 1« = — = 6гас1«д, и = — —.
дй д~~ (67.2) дг ' д« Величина ф называется эйконилом. В звуковой волне имеем ы /с = Й = Й +Й„+Й,. Подставляя сюда (67.2), получим следующее основное уравнение геометрической акустики: Если жидкость неоднородна, то коэффициент св является функцией координат. Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, 365 геомк'1ти 1ескля лкус'1'икл являющегося, как и уравнение (67.3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной у1 величиной является при этом действие о' частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) частицы согласно формулам р = до',1дг, Н = — до',7д1., аналогично формулам (67.2).
Известно, далее, что уравнение Гамильтона— Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = = — дН7'дг, т=г = дН7'др. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы и геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей: ~п — — п(лог) = — 7'17с, с с1 откуда — = — 17с+ п(п~1с). 1Й Вводя элемент проходимой лучом длины п1 = СЮ, перепишем это уравнение в виде дп 17 с и — = — — + — (и~ус). Ю с с (67. 6) (67.4) дг' дй В однородной изотроппой среде ы = сй с постоянным с, так что 1с = О, г = сп (п единичный вектор в направлении 1с), т. е.
как и должно было быть, лучи распространяются по прямым линиям, сохраняя при этом постоянную частоту ш. Частота остается, разумеется, постоянной вдоль лучей вообще всегда, когда распространение звука происходит в стационарных условиях, т. е. свойства среды в каждой точке пространства пе меня1отся со временем. Действительно, полная производная от частоты по времени., определяющая се изменение вдоль распространяющегося луча, равна лк1 дм дм . дм — = — + — г+ — Е 1й д1 дг д11 При подстановке (67.4) два пос;1едних члена взаимно сокращаются; в стационарном же случае ды71д~ = О,.
а потому и 14 ~,/1й = О. При стационарном распространении звука в неподвижной неоднородной среде ы = ск, где с есть заданная функция координат. Уравнения (67.4) дают г = сп1 1с = — к "17с. (67.5) Абсолютная величина вектора к меняется вдоль луча просто по закону Й = ы/с (с ы = сопв1). Для определения же изменения направления п полагаем во втором из уравнений (67.5) 1с = — п с и пишем: 366 звяк гл ош Ь)у(сЕ ) = О, (67.7) которое и определяет распределение Е в пространстве.
Вторая из формул (67.4) определяет скорость распространения волн по известной зависимости частоты от компонент волнового вектора. Это важная формула, относящаяся не только к звуковым, но и ко всяким волнам вообще (мы уже пользовались, например, этой формулой в 6 12 в применении к гравитационным волнам). Приведем здесь еще один вывод этой формулы, полезный для уяснения смысла определяемой ею скорости. Рассмотрим волну (или, как говорят, волновой пакет), занимающую некоторую конечную область пространства.
Предположим, что волна такова, что в ее спектральное разложение входят моно- хроматические компоненты с частотами, лежащими в некотором малом интервале; то же самое относится и к компонентам их волновых векторов. Пусть ш есть некоторая средняя частота волны и )с средний волновой вектор. Тогда в некоторый начальный момент времени волна описывается функцией вида сэ = е™у (г). Функция 1 (г) заметно отлична от нуля только в некоторой малой (но болыпой по сравнению с длиной волны 1/й) области пространства. Ее разложение в интеграл Фурье содержит согласно сделанным предположениям компоненты вида егг ", где Ь1с-- малые величины.
') Как известно из дифференциальпой геометрии, производная 4п/г)1 вдоль луча равна Х/)С, где )Ч -- единичный вектор главной нормали, а )г-- радиус кривизны луча. Выражение же в правой части уравнения (67.6) есть, с точностью до множителя 1/с, производная от скорости звука по направлению главной нормали; поэтоь1у можно написать это уравнение в виде 1 1 — = — — (Ы~7с) и с Луч изгибается в сторону уменьшения скорости звука. Этим уравнением определяется форма лучей; и есть единичный вектор касательной к лучу ').
Если уравнение (67.3) решено и эйконал ф как функция координат и времени известен, то можно найти также и распределение интенсивности звука в пространстве. В стационарных условиях оно определяется уравнением г))ус) = О (с) плотность потока звуковой энергии), которое должно выполняться во всем пространстве вне источника звука. Написав с1 = сЕп, где Е плотность звуковой энергии (см. (65.6)), и имея в виду, что и есть единичный вектор в направлении )с = ~ф, получим следующее уравнение: 367 гвомв'1тичвскля лкус'1'икл Таким образом, каждая из монохроматических компонент волны пропорциональна в начальный момент времени множителю вида 1ри = сопв1. е 1~ ч ~~ ) (67.
9) Соответствующая ей частота есть щ(1с+ лл1с) (напоминаем, что частота является функцией волнового вектора). Поэтому в момент времени 1 та же компонента будет иметь внд д, = сопвФ ехр (1(1с+ Ь1с)г — 1ы(1с+ Ь1с)1). Воспользовавпп1сь малостью Ь1с. напишем и(1с + ~Ж) — м(1с) + — Ыс. дк Тогда 1рк принимает вид 1р1 сопв1 Р11 Р— ~ 1) ехр [11',л)с(г г)] (67.10) Если теперь произвести обратное суммирование всех моно- хроматических компонент волны со всеми имеющимися в ней лл)с, то, как видно из сравнения (67.9) и (67.10), мы получим г(иг — м1)у( дм1) дй /' (67.11) где 7" — та же функция, что и в (67.8). Сравнение с (67.8) показывает, что за время 1 вся картина распределения амплитуды в дм волне передвинулась в пространстве иа расстояние — 1 (экспод1с нснциальный множитель перед 7' в (67.11) влияет только на фазу волны). Следовательно, скорость ее равна П = —.
дк (67.12) Эта формула и определяет скорость распространения волны с произвольной зависимостью ы от 1с. В случае о1 = сл; с постоянным с она приводит, конечно, к обычному результату 77 = = ы/л' = с. В общем же счугае произвольной зависимости К1(1с) скорость распространения волны является функцией ее частоты и ее направление может не совпадать с направлением волнового вектора. Скорость (67.12) называют также групповой скоростью волны, а отношение ыф фазооой скоросгпью. Подчеркнем, однако, что фазовая скорость пе соответствует реальному физическому распространению чего бы то ни было. По поводу изложенного вывода отметим, что выражаемое формулой (67.11) передвижение волнового пакета без изменения 368 гл тш звяк его формы является приближенным и связано с предположенной малостью интервала Ь)с.
Вообще же говоря, при зависящей от пл скорости сл волновой пакет по мере своего распространения «размазываетсяэ занимаемая им в пространстве область расширяется. Можно показать, что это размазывание пропорционально квадрату. величины интервала Ь)с волновых векторов, входящих в разложение волнового пакета. Задача Определить изменение с высолой амплитуды звука, расллространллюпЛегося в поле тяжести в изотермической атмосфере. Р е ю е н и е. Вдоль изотермической атмосферы (рассматриваеьлой как идеальный газ) скорость звука постоянна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
