VI.-Гидродинамика (1109684), страница 69
Текст из файла (страница 69)
4. На плоскости горизонтальной твердой поверхности находится (в поло тяжести) тонкий неравномерно нагретый слой жидкости; ее темпоратура является заданной функцией координаты х вдоль слоя, причем (благодаря тонкости пленки) ее можно считать не зависящей от координаты я вдоль толщины слоя. Неравномерная пагретость приводит к возникновению стационарного движения жидкости в пленке, в результате чего ее толщина б будет меняться вдоль слоя; требуется определить функцию э = б(я). Р е ш е н и е. Вместе с температурой заданными функциями я являются также плотность Р жидкости и поверхностное натяжение о.
Давление в жидкости р = Ре -1- Рб(б — в), где ро — атмосферное давление 1давление на свободной поверхности слоя);изменением давления благодаря искривлению поверхности можно пренебречь. Скорость жидкости в тонком сзюе можно считать ггаправле|шой везде вдоль оси х. Уравггепие движения гласит: 41РС) (1) дхэ дв дх дх На твердой поверхности (я = 0) имеем о = О, а па свободной поверхности (э = б) должно выполняться граничное условие (61.14), которое в данном случае дает 340 Гл уп повьтхнОстныв явльния Ввиду стациоиарности движения полный поток жидкости через попе( речное сечение слоя должен быть равен нулю: ) е ~Ь = О. Подставляя сюда а (2), получим следующее уравнение; Рд~е 43Р ., — — + — — ~ 3 ссх 4 с)х к с)х определяющее функцию Дх).
Интегрируя его, получим яб = ЗР '~ ( / р ссо -~- сопке). (3) Если температура (а с ией и р и о) лишь мало меняется вдоль слоя жидкости, то можно написать (3) в виде Зм е Г'ре'У 3 г' 'у ( ) Р Рн где Се — значение Ь в точке, где р = Ро, а сс = ссе. 3 62. Капиллярные волны Поверхность жидкости стремится припять свою равновесную форму как под влиянием действующего на жидкость поля тяжести, так и под влиянием сил поверхностного натяжения. Между. тем при изучении в 3 12 волн на поверхности жидкости мы не учитывали этого последнего фактора. Мы увидим ниже, что влияние капиллярности на гравитационные волны существенно при малых длинах волн.
Как и в 3 12, будем предполагать амплитуду колебаний малой по сравнению с длиной волны. Для потенциала скорости имеем по-прежнему уравнение Ь~р = О. Условие же на поверхности жидкости будет теперь иным: ран ность давлений с обеих сгорон этой поверхности должна быть равной не нулю, как это предполагалось в 3 12, а должна определяться формулой Лапласа (61.3). Обозначим х-координату точек поверхности жидкости через с,. Поскольку ~ мало, то можно воспользоваться выражением (61.11) и написать формулу Лапласа в виде Р Ро о + / д'С д'~ 'г (,дхе д„ )' Здесь р есть давление в жидкости вблизи поверхности, ре постоянное внешнее давление.
Для Р подставляем согласно (12.2) дсг Р = — Ра~ — Рд", и находим рй'~ + р — — о( + — ) = 0 дз У д'б д'Р дг дх др' 341 клниллягныи волны (по тем же причинам, как и в 8 12, можно, определяя соответствующим образом у., опустить постоянную ро). Продифференцировав это соотношение по 1 и заменив в нем д~/д1 на сйР/дз., получим граничное условие для потенциала р в виде Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Как и в З 12, получаем решение в виде ~Р = Ае~' соз (кх — оЛ). Связь между й и со определяется теперь из предельного условия (62.1) и имеет вид 2 аь + с~~з Р (62.2) (И'.
ТЬотзоп, 1871). Мы видим, что при больших длинах волн, удовлетворяющих условию Й « (8р/сг) 7 или Й « 1/а (а капиллярная постоянная), влиянием капиллярности можно пренебречь, и волна является чисто гравитационной. В обратном случае коротких волн можно пренебречь влиянием поля тяжести. Тогда = — к'. (62.3) Р Такие волны называготся капилллрны,чи, в промежуточном случае говорят о капилллрно-граоитациопньсх волнах. Определим еще собственные колебания сферической капли несжимаемой жидкости, совершаемые ею под влиянием капиллярных сил.
При колебаниях происходит отклонение формы поверхности капли от сферической. Амплитуду колебаний будем, как обычно, предполагать малой. Начнем с определения суммы 1/Л1+ 1/В2 для поверхности, слабо отклоняющейся от сферической. Поступим для этого аналогично тому, что мы делали при выводе формулы (61.11) Площадь поверхности, описываемой в сферических координатах ') г, д, ~Р функцией г = г(д, еэ), равна, как известно, интегралу 2т т г в1пдс1дсйр.
(62.4) о о ') Ниже в этом параграфе Р обозначает азимут сферических координат, а потенциал скорости мы будем обозначать буквой тч 342 Гл ун покккхпоогнык яклкння Шаровая поверхность описывается уравнением г = сопв$, = Л (Л радиус шара), а близкая к ней поверхность уравнением г = Л+с с малым в,.
Подставляя это в (62.4), имеем приближенно 2вв вв =О(" "-',~(й)' ..'.Сй)г))--- о о Определим изменение д~ поверхности при варьировании ~: вХ= ц1в(квсв(в —,— в .,в — — ) ' ввввв о о Интегрируя второй член по частям по углу О, а третий член по у,получаем 2я к ву = 11)Юн вс — ',„— — в(в в,"—',) — ввв в) в(' ввввв. оо Если разделить выражение в фигурных скобках на Л(Л+ 2в,), то выражение, которое будет стоять под знаком интеграла в ка гестве множителя при ов, в))' — ов, К(Я+ 2в,') кшВввдвввр, будет согласно формуле (61.2) представлять собой как раз искомую сумму обратных радиусов кривизны, вычисленную с точностью до членов первого порядка по ~.
Таким образом, получим Первый член соответствует чисто сферической поверхности, для которой Л1 = Лз = Л. Потенциал скорости в)в удовлетворяет уравнению Лапласа Щ = 0 с граничным условием при г = К, имеющим вид (аналогично тому, что мы имели для плоской поверхности) Постоянную 2скввЛ + ро в этом условии снова можно опустить; дифференцируя по времени и подставляя ос „М З~ ' йг' 343 клггнллягнык волны находим окончательно граничное условие для ггу в виде дгг' а )' д4 д ~ 1 д ~. д~') 1 дг~)) дг' ..=л Л' '1 дг д '1г1 ВОВ' да( вггРВдлг~/.=л (62.6) Будем искать решение в виде стоячей волны ггУ = е ™У(г., О., р), где функция 1 удовлетворяет уравиеникг Лапласа гуг1 = О. Как известно, всякое решение уравнения Лапласа может быль представлено в виде линейной комбинации так называемых объемных шаровых функций вида г'1'1 (О, р), где у'г (О, гр) шаровые функции Лапласа, равные 1г (О., гд) = Рг (сов О)е""".
Здесь Р'"(сон О) = э1п'и О~ ' ггсо'~) гг(сов В) присоединенная функция Лежандра (Рг г,соа О) полипом Лежандра 1-го порядка). Как известно, 1 пробегает все целые положительные значения, включая нуль, а гп пробегает при заданном 1 значения гп = О, ~1, ~2, ...., И1. Соответственно этому ищем частное решение поставленной задачи в виде откуда ьг~,1(1 — 1) (1+ 2) (62.8) (Лад1ег8Ь, 1879). Эта формула определяет гастоты собственных капиллярных колебаний сферической капли. Мы видим, что оии зависят только от числа 1, но пе от т.
Между тем данному 1 соответствует ггУ = Ае ™г~Рг (соаО)е'"'". (62.7) Частота ы определяется так, чтобы удовлетворить предельному условию (62.6). Подставляя в это уравнение выражение (62.7) и воспользовавшись тем, что шаровые функции Уг удовлетворяют уравнению г1 еда, дВ ~ н1гг2В дг" находим (сокращая общий множитель ф: р Я+ — ',(2 — 111+1)) =О, 344 гл улс понкгхноотные явлкния 21+ 1 различных функций (62.7). Таким образом, каждая из частот (62.8) соответствует 21 + 1 различным собственным колебаниям.
О независимых собственных колебаниях, имеющих одинаковые частоты, говорят как о вырожденных; в данном случае имеет место 21 + 1-кратное вырождение. Выражение (62.8)обращаетслл в нуль при 1 = О и при 1 = 1. Зллачение! = О соответствовало бы радиальным колебаниям, т. е. сферическлл симметричным пульсациям каллли; в несжимаемой жидкости такие колебания, очевидно, невозможны. При 1 = 1 движение представляло бы собой поступательное перемещение капли как целого. Наименьшая возможная частота колебаний капли соответствует 1 = 2 и равна С ~шсп (62.9) Задачи 1. Определить зависимость частоты от волнового вектора для капилляр- но-гравитационных волн на поверхности жидкости, глубина которой ранна сс. Р е ш е н и е. Подставляя в условие 152.Ц х = Асов(Лсх — ьзе) саксе+ 6) лсьс. задачу 1 5 12), получаем ' = (бй+ ' ) 15 И. Р При кл»1 мы возвращаемся к формуле (б2.2), а для длинных волн ()сЬ«Ц имеем оМ~ шз = 8Ьк ЛР 2.
Определить коэффициент затухания капиллярных волн. Р е ш е и и е. Подставляя (б2.3) в (25.5), получим 2чйз 2чк Пз ч= ,лсзозлз ' 3. Найти условие устойчивости тангопциального разрыва в поле тяжести с учетом поверхностного натяжения;жидкости по обе стороны поверхности разрыва предполагаготся различными (КеЬзп, 187Ц. Р е ш е н и е. Пусть à — скорость верхнего слоя жидкости относительно нижнего. Накладываем на основное движение периодическое вдоль горизонтальной оси возмущение и ищем потенциал скорости в виде: в нижней жидкости сз = Ае"' соз (Лсх — ьЛ) и в верхней ,Р' = А'е в* сов Слсх — шс) + стх. Для нижней жидкости имеем на поверхности разрыва дР дС дз дл влияние адсогьиеов киных плевок нл движвнив 345 (С вЂ” вертикальная координата поверхности раздела), а в верхней ь,' = — = П вЂ” -Ь вЂ”.
дх дх дг Условие равенства давлений в обеих жидкостях на поверхности разрыва имсет вид Р— + тс. — и е = Р— -Ь Р аС -Ь вЂ” ( — П ) д~р Р и 2 дл дх'-' дл 2 (при раскрытии выражения ен — Пв должны быть сохранены только члоны первого порядка по А'). Смещение ( ищем в виде ( = аып (хх — ыг). Подставляя Р, Р, С в написанные три условия при х = О, получаем три уравнения, исключая из которых о, А, А', находим оз = й Ьз,~рз ьз 1 Не Р + Р' ( Р + Р (Р + Р')' Для того чтобы зто выражение было вещественным при всех к, необходимо выполнение услОвия 4оя(Р— р')(р -Ь р')з Р' Р' В противном случае существуют комплексные ш с положительной мнимой частью и движение неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
