VI.-Гидродинамика (1109684), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Поэтому если плотность потока одного из них есть рмс-)-1, то другого — ртΠ— с) — й кости из этого объема. Следует подчеркнуть, что, строго говоря, для жидкой смеси само понятие скорости должно быть опре- делено заново. Написав уравнение непрерывности в виде (58.1), мы тем самым определили скорость в соответствии с прежним определением как полный импульс единицы массы жидкости. Не меняется также и уравнение Навье-.Стокса (15.5). Выве- дем теперь остальные гидродинамические уравнения для смесей. При отсутствии диффузии состав каждого данного элемента жидкости оставался бы неизменным при его передвижении. Это дс значит, .что полная производная — была бы равна нулю, т, с. Ж имело бы место уравнение — = — + тес = О.
Ж дс Это уравнение можно написать, используя (58.1), как ~л') + йу(прс) = О, де т. е. в виде уравяения непрерывности для одного из веществ в смеси (рс есть масса одного из веществ смеси в единице объема). Написанное в интегральном виде — 1 рсп"г' = — ~рсъ.гК д г де l оно означает, что изменение количества данного вещества в неко- тором обьеме равно количеству этого вещества, переносимому движущейся жидкостью через поверхность объема.
При наличии диффузии наряду с потоком тгрс данного ве- щества вместе со всей жидкостью имеется еще и другой поток, который приводит к переносу веществ в смеси даже при отсут- ствии движения жидкости в целом. Пусты есть плотность этого диффузионного потока, т. е. количество рассматриваемого веще- ства, переносимого путем диффузии в единицу времени через единицу поверхности ') . Тогда для изменения количества этого вещества в некотором объеме имеем — / рсЙЪ = — ~ рстгпг — ~ 1пг, д г дс,/ или в дифференциальном виде = йу (рстг) — йу 1. (58.2) дс С помощью (58.1) это уравнение непрерывности для одного из веществ в смеси можно написать в виде 829 гл у1 ДИФФУЗИЯ Для вывода еще одного уравнения повторим произведенный в 8 49 вывод, учитывая, что термодинамические величины жидкости являются теперь функциями также и от концентрации.
При вычислении 1в 8 49) производной дс(2 ) с помощью уравнений движения нам приходилось, в частности, де преобразовывать члены р — ' и — мур. Это преобразование теперь дс изменяется в связи с тем, что термодинамические соотношения для энергии и тепловой функции содержат дополнительный член с дифференциалом концентрации: Йе = Т Йл + Р Йр + р Йс, 22 п717 = ТЙз + — Йр + р Йс, 1 Р где р,. — соответствующим образом определенный химический по- 1 де тепциал смеси ) . Соответственно этому в производную р — войдг дс дет теперь дополнительный член рр — '.
Написав второе из терд1 модинамических соотношений в виде Йр = р Йш — рТ Йз — рр Йс7 мы видим, что в член — 27 71р войдет догюлнительный член рртгКс. Поэтому к выражению 149.3) надо добавить Р12 — '+ 2227 С )= — Р,йиг. 7' дс 'У дг ') Из термодинамики известно 7см. 17, 8 85), что для смеси двух веществ: Йе = ТЙЗ вЂ” РЙ1' т р1 Й711 т р2 Йп2, где п1, пз — числа частиц обоих веществ в 1 г смеси, а р1, р2 — химиче- ские потенциалы этих веществ. Числа п1 и п2 удовлетворяют соотношению п1т1 -~- п27П2 = 1, где п11, т7 — массы частиц обоего рода.
Если ввести в качестве переменной концентрацию с = п1т1, то мы получим Йс = Т Йз — р Йу' Ф 1 — — — ) Йс, /Р1 Р2 7 7П1 П12 Сравнивая с приведенным в тексте соотношением, мы видим, что химиче- ский потенциал р, которым мы пользуемся, связан с обычными потенциа- лами р1 и р2 соотношением Р1 Рз 11 = т1 т2 8 88 УРЛНИЕИИЯ ГИДРОДИИЛМИКИ ДЛЯ 1КИДКОЙ СМЕСИ 321 В результате получим — ( — + Ре)— = — тт1у ч р (— ' + и1) — ~,ча"~ + с1] + рТ ( — ' + у'ГУа')~ — и,'е — ' + с11у Ч вЂ” р Жу1. 158.4) дХ1 Вместо — Р11УТ мы пишем теперь некоторый поток тепла 96 который может зависеть не только от градиента температуры, но и от градиента кслщентрации 1се1.
следующий параграф). Сумму двух последних членов в правой части равенства напишем в виде 111УС1 — р 111У1 = г11У(с1 — р1) + Р7р. Выражение рч ( — + и) — '1 тггт ) + с1, стоящее под знаком 111у в 158.4), есть, по определению с1, полный поток энергии в жидкости. Первый член есть обратимый поток энергии, связанный просто с перем1'щенисм жидкости как целого, а сумма — (тггг) + с1 есть необратимый поток.
При отсутствии макроскопического движения вязкий поток 1л1сг') исчезает и тепловой поток есть просто с1. Уравнение закона сохранения энергии гласит: — (Р— + рс) = — 111у ру( —" + ео) — ~,угу') + с1~. (58.5) Вычитая 1усо почленно из 158.4), получим искомое уравнение рТ( ' + уЧу11 = и,'ь ' — с11у(с1 — р1) — 1~Уй, (58.6) (а~ ~ ''о обобщающее выведенное ранее уравнение 149.4). Мы получили, таким образом, полную систему гидродипамических уравнений для жидких смесей.
Число уравнений в этой системе па единицу больше, чем в случае чистой жидкости, соответственно тому, что имеется еще одна неизвестная функция концентрация. Этими уравнениями являются: уравнения непрерывности 158.1), уравнения Навье — Стокса, уравнение непрерывности для одной из коешонент смеси 158.2) и уравнение 158.6), определяющее изменение энтропии.
Надо, впрочем, отметить, что уравнения 158.2) и 158.6) определяют пока по существу только вид соответствующих гидродинамических уравнений, поскольку в них входят неопределенные величины:потоки 1и с1. Эти уравнения делаются определенными лишь при подстановке 1 и с1, выраженных через градиенты температуры и концентрации; соответствующие выражения будут получены в 8 59. 11 Л. Д.
Ландау и Е.М. Лифшиц, тиу1 Л1! 322 гл ул ДИФФУЗИЯ Для изменения полной энтропии жидкости вычисление, .полностью аналогичное произведенному в ~ 49 (с использованием (58.6) вместо (49.4)), приводит к резулыату (члены, обусловленные вязкостью, для краткости не выписы- ваем). 9 59. Коэффициенты диффузии и термодиффузии Диффузионный поток вещества 1 и тепловой поток с1 возникают в результате наличия в жидкости градиентов концентрации и температуры.
Не следует при этом думать, что 1 зависит только от градиента концентрации, а с1 только от градиента температуры. Напротив, каждый из этих потоков зависит, вообще говоря, от обоих указанных градиентов. Если градиенты температуры и концентрации невелики, то можно считать, что 1 и с1 являются линейными функциями от ур, и ЧТ (от градиента давления при заданных '71з и ЧТ потоки с1 и 1 нс зависят по той же причине, которая была уже указана для с1 в з 49).
Соответственно этому напишем 1 и с1 в виде, линейных функций от градиентов р, и Т: дд Ха— дв, (59.1) Предположим, что система находится в состоянии, близком к равновесному. Это значит, что все х лишь мало отличаются от своих равновесных значений, а величины Хя малы.
В системе будут происходить процессы, стремящиеся привести ее в состояние равновесия. Величины Х, являются при этом функциями времени, а скорость их изменения определяется производными по времени хя: представим последние в виде функции от Х, и 1 = — аур — р уТ. с1 = — б"7д — уЧТ+ 1и'. Между коэффициентами 18 и б существует простое соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов. Содержание этого общего принципа заключается в следующем (см.
У, 2 120). Рассмотрим какую-нибудь замкнутую систему и пусть т1, хш ... некоторые величины, характеризующие состояние системы. Их равновесные значения определяются тем, что в статистическом равновесии энтропия о' всей системы должна иметь максимум, т. е. должно быть ХФ = О, где Х, обозначают производные: 323 КОЭФФИЦИИИ'ГЫ ДИФФУЗИИ ИТЯРМОДИФФУЗИИ разложим эти функции в ряд. С точностью до членов первого порядка имеем ла = ~~' 7аЬХЬ. (59.2) Ь Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера утВЕРжласт, ЧтО ВЕЛИЧИНЫ УФЬ (НаЗЫВИЕМЫЕ КИНЕтиЧЕСКНУИИ КОвффициентимгг) симметричны по индексам а, 5: (59.3) 7аа = 7Ьа.
Скорость изменения энтропии Я равна Я = — ~ Хат,. а Пусть теперь сами величины л, различны в разных точках тела, т. е, каждый элемент объема тела должен характеризоваться своими значениями величин гва. Другими словами, будем рассматривать т как функции от координат. Тогда в выражении для Я, кроме суммирования по и, надо произвести также и интегрирование по всему объему системы, т. е.
(59.4) Что касается зависимости между Х, и т,, то обычно можно утверждать, что значения х в каждой данной точке системы зависят только от значений величин Ха в этой же точке. Если это условие выполняется, то можно писать связь между х и Х, для каждой точки в системе, и мы возвращаемся к прежним соотношениям. В данном случае выберем в качестве величин лг компоненты векторов ! и !4 — дй Тогда из сравнения (58.7) с (59 4) видно, что роль вели пгн Ха будут играть соответственно компоненты векторов Т ~ ур. и Т ~ уТ. Кинетическими же коэффициентами 7аь будут являться коэффициенты при этих векторах в равенствах ( ) ! (Тг)' 1 ~ ( ) 7 (тг)' В силу симметрии кинетических коэффициентов должно быть рТг =бТ,т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
