VI.-Гидродинамика (1109684), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В результате возникает конвекция, причем переход от режима чистой теплопроводности в неподвижной жидкости к конвективному режиму совершается непрерывным образом. Поэтому зависимость числа Нуссельта от )с при этом переходе не испытывает скачка, а лишь излом. Теоретическое определение критического значения Я. р должно производиться по схеме, уже. объясненной в 8 26.
Повторим ее здесь применительно к данному случаю. Представим Т' и р' в виде Т =То+т, р =ро+рт, (57А) где То и р~о относятся к неподвижной жидкости, а т и ш возмущение. То и р~о удовлетворяют уравнениям Из первого имеем То — — — Ая, где А постоянная; в интересующем нас случае подогрева жидкости снизу эта постоянная А ) 0.
В уравнениях (56.4), (56.5) малыми величинами являются ч (невозмуще|шая скорость отсутствует), т и ш Опустив квадратичные члены и рассматривая возмущения, зависящие от времени как е ' ', получим уравнения: — иич = — 'уш+ иЬч — ~тд, — иит — Ач, = хйт, 6)ч ч = О. Целесообразно записать эти уравнения в безразмерном виде, введя следующие единицы измерения всех фигурирующих в них величин; для длины, частоты, скорости, давления и температуры это будут соответственно Ь, и(Ь2, и(Ь, ри2(5Р и АЬи/)~. Ниже в этом параграфе (а также в задачах к нему) все буквы обозначают соответствующие безразмерные величины.
Уравнения принимают вид коивекгивиля нвустойчивость (и единичный вектор в направлении оси я! вертикально вверх). Здесь ясно выступают безразмерные параметры >с и Р. Коли граничащие с жидкостью твердые поверхности поддерживаются при постоянных температурах, то на них должны выполняться условия ') ч=О, т=О. 157.5) Уравнения (57.2) — (57.4) с граничными условиял>и (57.5) опреДелЯют спектР собственных частот со.
ПРи гс ( >ск их мнимые части У = 1п>ос ( О и возлСУЩениЯ затУхают. Значение 77. р опРеделяется моментом, когда Спо мере увеличения >с) впервые появляется собственное вил!ение частоты с у > 0; при гс = Е,р значение у проходит через нуль. Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жидкости обладает той спецификой, что все собственныс значения Со> вещественны, так что возллущенгля затухают или усиливаются монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняющей замкнутую полость, с граничными условиями (57.5) на ее стенках -) . Умножим уравнения (57.2) и (57.3) соответственно на и' и т" и проинтегрируем их по обьему полости. Проинтегрировав члены ч*Ьч и т*1лт по частям ') и заметив, что интегралы по поверхности полости обращаются в нуль в силу граничных условий, получ>лл! — сы / )ч)~ Л' = / ( — ) гоС ч~й+ Ятс>*) сЛ'; (57.6) — со>Р / ~т~ с!с' = / ( — ~тут~~ + тап,) СЛт.
Вычитая из этих равенств их комплексно-сопряженные, ) Мы рассматриваем простейшие граничные условия, отвечающие идеально теплопроводящим стенкам. При конечной теплопроводности стенок к системе уравнений должно было бы быть добавлено еще и уравнение распространения тепла в стенке. Л1ы не рассматриваем также случаев, когда жидкость имеет свободную поверхность. В таких случаях, строго говоря, должна была бы учитываться деформация поверхности в результате возмущения, и появляющиеся при этом силы поверхностного натяжения.
е -) В этом выводе и дальнейшей формулировке вариациоппого принципа мы следуем В.С. Сорокину П953). ) С использованием равенств ч сзч = — ч го!го! ! = гй>част го! ч', — Сгосч~ т'Гхт = с1И (т ! т) — ) чт~, чсзю = СС>ч Сизч). 312 гл ткплопговодность в жидкости находим — г(аз+ ьз') / ~п~ с(»' = Я~(тп,"' — т«п,) Л; — г(со+ «о*)Р /~т~~ гД1 = — ~(тп, *— т*и,) сйг Наконец, умножив второе равенство на 7с и сложив с первым, получим Ввоз / ((ъ )з + ЯР)т)з) «Дг = О В виду существенной положительности интеграла, отсюда следует искомый результат Несо = О ') . Отметим, что при А < < О (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает Е < О, интеграл мог бы обращаться в нуль и тоз могло бы быть комплексным. Вернемся к равенствам (57.6).
Умножив теперь второе на гс и сложив с первым, получим для инкремента 7 = — мн следующее выражение: (57 7) где 7 и «У обозначают интегралы ,7 = ~~(го(тг)з + тс((77) — 2Ятп,) с(1', зУ = ~(»гт + ЯРт~) «ЛЯ (57.8) (функции хг и т предполагаются вещественными). Как известно, задача о собственных значениях самосопряженных линейных дифференциальных операторов допускает вариационную формулировку, основанную именно на выражении вида (57.7), (57.8). Рассматривая 7 и Х как функционалы по отношению к функциям и и т, потребуем экстремальности 7 при дополнительных условиях с)(утг = О и Х = 1: последнее играет роль «условия 1 ) С матоматической точки зрения, изложенный вывод сводится к доказательству самосопряженности системы уравнений (57.2) — (57.4).
С физической точки зрения, происхождение этого результата можно пояснить следующими соображениями. Пусть при возмущении элемент жидкости смещается, например, наверх. Попав в окружение менее нагретой жидкости, он будет охлаждаться за счет теплопроводпости, оставаясь все же болев нагретым, чем окружающая среда. Поэтому действующая на него сила плавучести будет направлена вверх и элемент будет продолжать движение в том же направлении - затухающее или ускоряющееся в зависимости от соотношения между градиентом температуры и диссипативными коэффициентами.
В обоих случаях ввиду отсутствия «возвращаюшей силы» колебания не возникают. Отметим, что при наличии свободной поверхности возвращающая сила возникает за счет поверхностного натяжения, стремящегося сгладить деформированную поверхностен при учете этой силы сделанные утверждения уже не справедлины. 313 конвккгивнля нкустойчивость 1 57 нормировки». По общим правилам вариационного исчисления, составляем вариационное уравнение 7+ уй% — 1 2и~б(с)1ч ч) сй' — О, (57.9) где константа 7 и функция ю(г) играют роль лагранжевых неопределенных множителей. Вычислив входящие сюда вариации (произведя при этом интегрирования по частям с учетом граничных условий (57.5)) и приравнивая нулю выражения при независимых вариациях бч и дт, действительно получим уравнения (57.2), (57.3).
Значение 7, вычисленное по поставлснной таким образом вариационной задаче, определяет согласно (57.7) наименьшее значение — 7 = — зч, т, е, инкремент наиболее быстро усиливающихся (или декреме т наименее быстро убывающих- в зависимости от знака у) возмущений. По смыслу его вывода, критическое значение Акр определяет границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Но для задачи о конвективной устойчивости неподвижной жидкости оказывается, что это число является в то же время границей устойчивости по отношению к любым конечным возмущениям ') .
Другими словами, при )ь' ( Е,р не существует никаких незатухающих со временем решений уравнений движения, за исключением состояния покоя. Покажем это (В.С. Сорокин, 1954) . Для конечных возмущений уравнения движения должны быть написаны в виде — = — "7то + ьхч + Етп — ( Л)ч, Р— = Ьт + и, — Рч чт, дг д8 (57.10) отличающемся от (57.2), (57.3) нелинейными членами. Проделаем с этими уравнениями в точности те же операции, которые были произведены выше с уравнениями (57.2), (57.3) при выводе соотношений (57.6) и (57.7). Ввиду равенства с)1чч = О, нелинейные члены сводятся к полным дивергенциям: ч(чЧ)ч = с))ч(~ ч), т(К)т = Жч(~ ч) и при интегрировании выпадают.
Поэтому мы получим в результате соотношение 1 6Ч вЂ” = —,7 2 Ж ') Говоря о возмущениях конечной интенсивности, мы имеем здесь в виду возмущения, для которых в уравнениях (56.4), (56.5) нельзя пренебрегать нелинейными членами, но в то же время по-прежнему удовлетворяются условия, поставленные при выводе этих уравнений. 314 'г'Бпло!1РОВОдиость в жидкости гл. " отличающееся от равенства 7Х = —,7 (57.7) лишь тем, что вмес- то произведения ЗЮ теперь стоит производная по времени.
В си- лу сформулированного выше вариациоппого принципа, для лю- бых функций я и т будет — 7 < 71%. Поэтому ~ ) < 2 Х(т)г /1 откуда Х(г) < Х(О)е " (57.11) Но в надкритической (гс < 7с р) области все полученные гю линейной теории инкременты, в том числе наиболыпий из них т1, отрицательны. Поэтому из (57.11) следует, что Х(~) — > О при 1 — ~ — ~ оо, а ввиду существенной положительности подынтегрального выражения в Х стремятся к нулю также и сами функции я и т. Вернемся к вопросу о вычислении )с р. Поскольку все собственные значения гпг вещественны, то равенство 7 = О при гс = = 76 р означает, что и аг = О.
Значение 7скр опРеДелЯотсЯ тогДа как наименьшее из собственных значений параметра гс в системе уравнений Ьгг — гг7гл + 7стп = О, ьгт = — п,г Жу тг = О (57.12) (эта задача тоже допускает вариационную формулировку см. задачу 2). Обратим внимание на то, что ни сами уравнения (57.12), ни граничные условия к ним не содержат числа Р.
Поэтому и определяемое ими критическое число Рэлея для заданной конфигурации жидкости и твердых стенок пе зависит от вещества жидкости. Наиболее простой и в то же время теоретически важной является задача ') об устойчивости слоя жидкости между двумя неограниченными горизонтальными плоскостями, из которых верхняя поддерживается при более низкой температуре, чем нижняя. Для этой задачи удобно привести систему (57.12) к одному уравнению -) . Применив к первому уравнению операцию го$ го$ = гус)1у — Ь, взяв затем его я-компоненту и воспользовавшись двумя другими уравнениями, получим гл т = ЕЬзтг (57.13) ') Впервые поставлеииая зксперимеитальио Бенпром (Н. Велас, 1900) и рассматривавшаяся теоретически Рвлеем (Лау1егдй, 1916). г) Вегдествеипость и г для втой задачи была доказана Пелг ю и Саутееллозг (А. Рейею, Л. Г НоиУгюе11 1940).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
