VI.-Гидродинамика (1109684), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(52.15) Мы видим, что колебания температуры на граничной поверхности распространяются от нее в виде быстро затухающих в глубь среды тепловых волн. Друтой тип задач теории тсплопроводности представляют задачи о скорости выравнивания температуры неравномерно нагретых конечных тел., поверхность которых поддерживается при заданных уш1овиях.
Следуя общим методам, ищем решения уравнения теплопроводности вида Т = Ти(г)е с постоянными Ли. Для функций Т„получаем уравнение у ЛТ„= — Л„Т„. (52 1б) Это уравнение при заданных граничных условиях имеет отличные от нуля решения лишь при определенных ЛРО составляющих набор его собственных значений. Все эти значения вещественны и положительны, а соответствующие функции Т„1х, у, В) составляют полную систему взаимно ортогональных функций.
Пусть распределение теълпературы в начальный момент времени даЕтСя фуНКцИЕй Тв(Л, д1 В). РаЗЛасая ЕЕ ПО СИСТЕМЕ фуНКцИй Ти: Тс(г) = ~ О„Т„(г), 10 Л. Д. Ландау и Е.Ы. Лифшиц, тои У! от Для потока тепла д = — дг — граничную поверхность т = О поди лучаем гюсле короткого преобразования: 290 ткплоггговодность в жидкосгг'н гл. ч получим искомое решение поставленной задачи в виде Т(Г, 1) = Ч ~СаТп1Г)Е Х Г. п (52.17) Скорость выравнивания температуры определяется, очевидно, в основном тем членом этой суммы, который соответствует наименыпему из Л„; пусть это будет Л1. Время выравнивания температуры можно определить как т = 1ггЛ1.
Задачи 1. Определить распределение температуры вокруг сферической поверхности (радиуса Л), температура которой есть заданная функция времени То(1). Р е ш е н и е. Уравнение теплопроводности для центрально-симметрического распределения температуры в сферических координатах есть ат х а' 1.Т) аг г атз Подстановкой Т[т, 1) = Г(г, 1) /т оно приводится к уравнению аР а'г =Х аг атз типа одномерного уравнения теплопроводности, Поэтому искомое решение можно написать прямо на основании (52.13) в виде Л1т — Л) /' Те Гт) ) Гг — Л) 2г(хХ) гГз,l (1 — т) з1з ) 4Ц2 — т) ) 2.
То же, если температура сферической поверхности есть Тое ™'. Р е ш е и и е. Аналогично (52.15), подучим Л ю Т = Тое ' — ехр — (1 — г)гт — Л) г ах. ху. хх Тг = зш — з1п — кгпв а а а гначало координат — в одной из вершин куба), причем 1 а т = — = —. Лг ЗхзХ В случае же б) имеем Тг = соз — гнли такая же функция от у илн х), а причем т = а, гг1т Х). 3. Определить время выравнивания температуры для куба гс длиной ребра а), поверхность которого: а) поддерживается при заданной температуре Т = 0; б) теплоизпаирована. Р е ш е н и е.
В случае а) наименьшему значению Л соответствует шгедующее решение уравнения (52.16): 291 злкоп пОдОБия для твплопвгвдлчи причем в случае а) Й = я!!22, так что й г= Х" Хх В случае же б) л' определяется как наименьший корень уравнения !я лгг = йК, откуда лЛ = 4,493, так что г = 0,050 Лех. 9 53. Закон подобия для теплопередачи Процессы теплопередачи в жидкости осложняются по сравне- нию с тсплопереда !ей в твердых телах возможностью движения жидкости.
Погруженное в движущуюся жидкость нагретое тело охлаждается значительно быстрее,. чем в неподвижной жидко- сти! где теплопереда !а происходит только с помощью процессов теплопроводности. О движении неравномерно нагретой жидко- сти говорят как о конвекциа. Будем предполагать, что имеющиеся в жидкости разности температур достаточно малы для того, чтобы ее физические свой- ства можно было считать не зависящими от температуры. С другой стороны, эти разности будут предполагаться настолько большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь изменениями температуры, обусловленными выделениехл тепла, связанным с диссипацией энергии путем внутреннего трения (см. 9 55).
Тогда в уравнении (50.2) может быть опущен член, содер- жащий вязкость, так что остается д' + и тт = Х,2,Т, д! (53.1) где Х = зг/(рср) температуропроводность. Это уравнение вме- сте с уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности полностью описывает конвекцию в рассматриваемых условиях. Ниже мы будем рассматривать стационарное конвективное дви- жение ') . Тогда все производные по времени вьшадают, и мы получаем гщедуюшую систему основных уравнений: чгеТ = ХЬТ! )~Ж)ч = — ~ур + РЬ», Жч» = 0.
Р (53 2) (53.3) 1 ) Для того чтобы конвекция могла быть стационарной, необходимо, строго говоря, чтобы в соприкасающихся с жидкостью твердых телах находились источники тепла, поддерживающие их при постоянной температуре. 4. То же для шара радиуса й. Р о ш е н и с. Наименьшему значению Х соотвотствует цонтральпо-симметричное решение уравнения (52яб) Ь т! =Б1П вЂ”, 292 ткп.,юпговодность в жидкости гл ч В эту систему, н которой неизвестными функциями являются и, Т и р/р, входят всего два постоянных параметра: и и )г. Кроме того, решение этих уравнений зависит, через посредство граничных условий, еще от некоторого характерного параметра длины 1, скорости Г и характерной разности температур Тг — Те.
Первые два определягот, как всегда, размеры фигурирующих в задаче твердых тел и скорость основного потока жидкости, а третий разность температур между жидкостью и твердыми телами. При составлении безразмерных величин из имсюгцихся в нашем распоряжении параметров возникает вопрос о том, какую размерность следует приписать температуре.
Для этого замечаем, что температура определяется уравнением (53.2), являющимся линейным и однородным по Т. Поэтому температура может быть умножена без нарушения уравнений на произвольный постоянный множитель. Другими словами, единицы для измерения температуры могут быть выбраны произвольным образом. Возможность такого преобразования температуры может быть учтена формально посредством приписывания ей некоторой особой размерности, которая бы не входила в размерности остальных величин.
Таковой является как раз размерность градуса . единицы, в которой температура обычно и измеряется. Таким образом, конвекция характеризуется в рассматриваемых условиях пятью параметрами со следующими размерностями: [и] = [зг] = ем~,1с, .[У] = см/с, [1] = см, [Тг — То] = град. Из них можно составить две независимые безразмерные комбинации. В качестве таковых мы выберем чишю Рейнольдса И = = И7'и и число Прандгплл, опредсляемое.
как отнонгсние Р = и7')г. [53.4) Всякая другая безразмерная величина может быть выражена через В. и Р ') . Что касается числа Прапдтля, то оно представляет собой просто некоторую материальную константу вещества и нс зависит от свойств самого потока. У газов это число всегда г1орядка единицы.
Значения же Р для различных жидкостей лежат в более широком интервале. У очень вязких жидкостей Р может достигать очень больших значений. Приведем в качестве примера значения Р при 20 ьС для ряда веществ: 0.,733, 6,75, 16',6,' 7250, 0',044. воздух вода спирт глицерин . ртуть ') Иногда пользуются числом Пекле (Рес1ес), определяемым как Г1/Х. Оно сводится к произведению йР. ЗЛКОП ПОДОБИЯ ДЛЯ ТВПЛОПВРБДЛЧИ 293 Подобно тому как было сделано в 3 19, мы можем теперь заключить, что в стационарном конвекционном потоке (заданного типа) распределение температуры и скорости имеет вид '" = У(-', П, Р), — =1(-', П), 153.5) Безразмерная функция, определяющая распределение температуры, зависит как от параметров от обоих чисел В.
и Р; распределение же скоростей только от числа Й,поскольку оно определяется уравнениями (53.3), в которые теплопроводность не входит вовсе. Два конвекционных потока подобны, если их числа Рейнольдса и Прандтля одинаковы. Теплопередачу между твердыми телами и жидкостью характеризуют обычно так называемым коэффициентом теплопередачи а, определяемым как отношение о= (53.6) т,-т,' где д -- плотность потока тепла через поверхность тела, а Т>— — Тп характорная разность температур твердого тела и жидкости.
Если распределение температуры в жидкости известно, то коэффициент теплопередачи легко определить, вычисляя плотность потока тепла д = — эгдТ(дп на границе жидкости (производная берется по нормали к поверхности тела). Коэффициент теплопередачи является размерной величиной. В качестве безразмерной величины, характеризующей теплопередачу, пользуются числом Нуссельта 1ч = О1/>г. (53.7) Из соображений подобия следует, что для каждого данного типа конвекционного движения число Нуссельта является определенной функцией только от чисел Рейнольдса и Прандтля: Ы = 7"(Ре, Р).
(53 3) Эта функция приобретает тривиальный вид при копвекции с достаточно малыми числами Рейнольдса. Малым П соответствуют малые скорости движения. Поэтому в первом приближении в уравнении (53.2) можно пренебречь членом, содержащим скорость, так что распределение температуры определяется уравнением ЬТ = О, т.
е, обычным уравнением стационарной теплопроводности в неподвижной среде. Коэффициент теплопередачи не может, очевидно, зависеть теперь пи от скорости, ни от вязкости жидкости и потому должно бьггь 51 = сопвФ, (53.9) причем при вычислении этой постоянной можно рассматривать жидкость как неподвижную.
295 ткплОпкРкдлчл В КОГРлпкчпОм с'1Ок Нто касается распределения температуры в основном обьеме жидкости, то легко видеть, что при обтекании нагретого тела (при больших Н) нагревание жидкости будет происходить практически только в области следа, между тем как вне следа температура жидкости не изменится. Действительно, при очень больших Н процессы теплопроводности в основном потоке не играют практически никакой роли. Поэтому температура изменится только в тех местах пространства, в которые 1юпадает при своем движении нагретая в пограничном слое жидкость.
Но мы знаем (см. 5 35), что из пограничного слоя линии тока выходят в область основного потока только за линией отрыва, где опи попадают в область турбулентного следа. Из области же следа линии тока в окружающее пространство уже не выходят. Таким образом, текущая мимо поверхности нагретого тела в пограничном слое жидкость попадает целиком в область следа, в котором и остается. Мы видим, что тепло оказывается распределенным в тех же областях, в которых имеется отличная от нуля завихренность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
