VI.-Гидродинамика (1109684), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Семепов, 1923). Скорость (а с ней и интенсивность выделения тепла) взрывных реакций горения за- висит от температуры в основном пропорционально множителю ехр ( — Н(Т) с большой энергией активации Г. Для исследования условий возникновения теплового взрыва следует рассматривать ход реакции при сравнительно незначительном разогревании ве- щества и соответственно этому разложить т — т, т т. тл ткплопроводность в нксжимлвмой жидкости 279 где ТО внешняя температура. Таким образом, задача сводится к исследованию уравнения теплопроводности с обьемной интенсивностью источников тепла вида Г) = Яа ехр )сх(Т вЂ” То)) (50.11) (,г4.А.
Фраггк-Камемецкггй, 1939), см. задачу 1. Задачи 1. В слое вещества между двумя параллельными плоскостями распределены источники тепла с объемной интенсивностью 130.11). Граничные плоскости поддерживаются при постоянной температуре. Найти условие, определяющее возможность установления стационарного распределения температуры (Д.А. Франк-Каменецкий, 1939) ) .
Р е ш е н н е. Уравнение стационарной теплопроводностн в данном случае гласит: А'Т .. ~<т т31 о1ха с граничными условиями Т = 7о при х = 0 и х = 21 (21 - ширина слоя). Вводим безразмерные переменные т = си1Т вЂ” То) н ( = х11; тогда т +Ле'=О, Л= ег п1' Интегрируя это уравнение (умножив его на 2т') один раз, найдем г =2Л(ео — г ), где то — постоянная.
Последняя представляет собой, очевидно, максимальное значение г,которое ввиду силгметрии задачи должно достигаться посеродине слоя, т. е. при Е = 1. Поэтому нторичное интегрирование с учетом условия г = 0 при с = 0 дает о 1 уг2Л,/ х/Рдо е',/ Произведя интогрирование, получим — о!о Аг 1 ощ Ч 2 Определяемая этим равенством функция Л(то) имеет максимум Л = Л„р прн определенном значении то = то,,; если Л > Л р, то удовлетворяющего граничным условиям решения пе существует э) . х1исленные значения: Л„р —— = 0,88, го «р = 1,2 з) . ') Подробное изложение относящихся сюда вопросов см.
в кнх Франк-Каменеикий Д. А. Диффузия н теплопередача в химической кннетике. — М.: Наука, 1967. ~) Из двух корней уравнения (1) при Л < Л р устойчивому распределению температуры соответствует лишь меньший. ) Аналогичные значения для сферической области (с ее радиусом в качестве длины 1) равны Л р — — 3,32., то р — — 1,47, а для бесконечного цилиндра Л р — — 200то р=136. 280 гл.
" таплопРОВОдиость в 1кидкОс1ти 2. В неподвижную жидкость, в которой поддерживается постоянный градиент температуры, погружен шар. Определить возникающее стационарное распределение температуры в жидкости и шаре. Р е ш е н и е. Распределение температуры определяется во всем пространстве уравнением йТ = О с граничными условиями дТ1 дТ1 Т1 =Ты м1 дг дг при 1 = й Сй †ради шара; величины с индексами 1 и 2 относятся соответственно к шару и жидкости)и условием ЯТ = А иа бесконечности СА— заданный градиент температуры). В силу симметрии условий задачи А есть единственный вектор, которым должно определяться искомое решение.
Такими решениями уравнения Лапласа являются сопвс Аг и сонв1 АЧ1ЦР). Замечая, кроме того, что решение должно оставаться конечным в центре шара, ищем температуры Т1 и Т1 в виде г Т1 = с1Аг, Тг = сеА — + Аг; „а постоянные с1 и сз определяются из условий при г = Я, и в результате находим Т1 = Аг, Т1 = ~1-ь ( — ) ~Аг. 8 51. Теплопроводность в неограниченной среде Рассмотрим теплопроводность в неограниченной неподвижной среде. Наиболее общей постановкой задачи является следующая.
В начальный момент времени 1 = О задано распредс;ление температуры во всем пространстве: Т=Тв1г) при 2=0, где То1г) заданная функция координат. Требуется определить распределение температуры во все последующие моменты времени. Разложим искомую функцию Т(г., 1) в интеграл Фурье по координатам: Т(г, 2) = ~Т~,12)е™ И ~, Тк(2) = / Т(г, 1)е 1"гс1зх. 151.1) 12я)з Для каждой фурье-компоненты температуры, Тке™., уравнение 150.4) дает — +) уТ,=О, с1та 2 111 Откуда нахОдим ЗавиеимОСть Т1, От врЕмЕни: Т1, = Тоье ~ х~. Поскольку при 1 = О должно быть Т = То(г), то ясно, что Теь представляет собой коэффициенты фурье-разложения функции То: Ток = ~ Те(г')е ™ с1зт'. 281 1а! ТЬПГ!ОПРОВОДНОС'ГЬ В НЕС!'РЛНН !ГН!НОЙ СРЕДЕ Таким образом, находим Т(г, 1) = ) ТО(г')е х!е!Е( ")Мзх' (й -)з' Интеграл по а!з1Г разбивается на произведение трех одинаковых интегралов вида / е ~ сонЯдб=( — ) е ~ !( где С одна из компонент вектора !с (аналогичный интеграл с вш вместо соа исчезает в силу печетности функции аш).
В результате получаем окончательно следующее выражение: Т(г, 1) = / То(г') ехр ~ — ] Г(~х'. (51.2) Эта формула полностью решает поставленную задачу, определяя распределение температуры в любой момент времени по ее заданному распределению в начальный момент. Если начальное распределение температуры зависит только от одной координаты х, то, производя в (51.2) интегрирование по дд !!В, получим Т(х! 1) = / ТВЯехр~ — ~ г(тх.
(51.3) Пусть при 1 = О температура равна нулю во всем пространстве, за исключением одной точки (начала координат), в которой она принимает бесконечно большое значение, но так, что полное количество тепла, пропорциональное интегралу ~То(г) !г'л, остается конечным. Такое распределение можно представить д-функцией: (51.4) ТВ(г) = соГГЕФ д(г). Интегрирование в формуле (51.2) сводится тогда просто к замене г нулем, в результате чего получаем Т(г,) соп„. е-Г'Пах!~ (51. 5) 8(.гХ!)з!! С течением времени температура в точке Р = О падает как 1 з!~.
Одновременно повышается температура в окружающем пространстве, причем область заметно отличной от нуля температуры постепенно расширяется (рис. 39). Ход этого расГпирения ог!ределяется в основном экспоненциальным множителем в (51.5): порядок величины 1 размеров этой области дается 282 гл т ткплопговодность а жидкости выражением (51.6) ау~~, т. е. растет пропорционально корню из времени. Аналогично, если в па сальный момент времени конечное количество тепла сконцентрировано в плоскости т = О, то в по- с'1едующее время распределение температуры т определится формулой Т(л, 1) = сопв1 е * Длхй (51 7) 2(-Х1) ~е Формулу (51.6) можно истолковать с несколько иной точки зрения. Пусть 1 есть порядок величины размеров тела. Тогда можно утверждать, 1то осли это тело было неравно- 1/4 мерно нагрето, то порядок величины времени т, 1/2 в течение которого температуры в разных точ- ках тела заметно выравнятся, равен 1 т 1 /;с.
(51 8) Время т, которое можно назвать временем релаксации для процесса теплопроводности, пропорционально квадрату размеров тела и обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности. Процесс теплопроводности, описываемый полученными здесь формулами, обладает тем свойством, что влияние всякого теплового возмущения распространяется мгновенно па все пространство. Так, .из формулы (51.5) видно, что тепло из точечного источника распространяется так, что уже в следующий момент времени температура среды обращается в нуль лишь асимптотически на бесконечности. Это свойство сохраняется и для среды с зависящей от температуры температуропроводностью зб, если только эта зависимость не приводит к обращению ус в нуль в какой-либо области пространства.
Еш1и же зб есть функция температуры, убывающая и обра1цающаяся в нуль вместе с нею, то это приводит к такому замедлению процесса распространения тепла, в результате которого влияние любого теплового возмущения будет простираться в каждый момент времени лишь на некоторую конечную область пространства; речь идет о распространении тепла в среду, температуру которой (вне области влияния) можно считать равной нулю (Я.Б. Зельдович, А.
С. Коуипанеец, 1950; им же принадлежит ре1пение приведенных нижс; задач). Задачи 1. Теплоемкость и теплопроаодность среды--.степенные функции температуры, а ее плотность постоянна. Определить закон обращения темпера- ~ б1 тьпр!ОПРОВОднОсть в неО!'Рани !ю!нОЙ среде 283 туры в нуль вблизи гранины области, до которой в данный момент распространялось тепло изнекоторого произвольного источника; вне этой области температура равна нулю. Р е ш е н и е. Если рр и ср — степенные функции температуры, то то же самое относится к температуропроводности у и к тепловой функции ш = = ) ср г(Т (постоянный член в ш опускаем). Поэтому можно написать у = = аИ'", где через И' = рш мы обозначили тепловую функцию единицы объема среды. Тогда уравнение теплопроводпости дТ рср — — — РВ! (и !гТ) д! приобретет вид дг дИ = а Мр (И'Рсги').
(1) В течение небольшого интервала времени малый участок границы можно считать плоским, а скорость его перемещения в пространстве Р—. постоянной. Соответственно э рому ищем решение уравнения (Ц в виде Иг = И'(х — с!), где х — координата в перпендикулярном к границе направлении: дИ' !1 (",„!)Иг') ( ), откуда после двукратного интегрирования находим следующий закон обра- щения р1! в нуль: И' сс ЦЫ", (3) где ~х~ — расстояние от границы нагретой области. В то же время этим подтверждается вывод о наличии границы нагретой области (вне которой И', а с ней и Т равны нулю), если показатель п > О.
Если и < О, то уравнение (2) не имеет решений, обрав!аюпгихся в нуль на конечном расстоянии, т. е. тепло распределено в каждый момент по всему пространству. 2. В той же среде в начальный момент времени в плоскости х = О сконцентрировано количество тепла, равное (будучи отнесено к единице плошади) Я, а в остальном пространство Т = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
