VI.-Гидродинамика (1109684), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Изменение энтропии в единицу времени определяется производной — ) ра Л' = ) — ' Л'. д г г д(РВ) дГ ) ' ) дГ С помощью уравнения непрерывности и уравнения (49.5) имеем — = р — '+ а — = — айи рч — рмтк+ — йт~хЧТ) + д(РВ) дх дР 1 д1 дГ д1 т Н /дх, дГВ 2 дв11 1', . 2 + — ' + — — -6;ь — + — (йт м) . 2Т ~,дх1 дх, 3 дх1) Х 274 твплопговодиость в жидкости должны быть уточнены. Подразумевавшиеся нами здесь определения заключаются прежде всего в том, что р, с и м определяются по-прежнему: р и ре есть масса и внутренняя энергия, заклк1ченные в единице объема, а ч есть импульс единицы массы жидкости.
Остальные же термодинамические величины определяются затем как те функции от р и е, которыми они являются в состоянии теплового равновесия. При этом, однако, энтропия в = = в(е, р) уже не будет истинной терыодинамической энтропией: интеграл ) рвйГ не будет, строго говоря, той величиной, которая должна возрастать со временем. Тем не монсе, легко видеть, что при малых градиентах скорости и температуры в принятом нами здесь приближении и совпадает с истинной энтропией. Действительно,при наличии градиентов в энтропии появляются, вообще говоря, связанные с ними дополнительные (по отношению к в(р, е)) члены. На изложенных выше результатах, однако, могли бы сказаться лишь линейные по градиентам члены (например, член, пропорциональный скаляру п1гм).
Такие члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так и отрицательные значения. Между тем они должны быть существенно отрицательными, так как равновесное значение э а(р, е) является максимально возможным. Поэтому разложение энтропии по степеням малых градиентов может содержать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго порядка. Аналогичные замечания должны были быть по существу сделаны уже в ~ 15 (ср. примеч. на с. 72), так как уже наличие градиен га скорости является термодинамической неравновесностью.
Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тепзора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р = р(е., р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обы шом смысле слова,т. е.не будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше об энтропии, здесь различие проявляется уже в величинах первого порядка по малому градиенту: мы видели, что в нормальной компоненте силы наряду с р появляется еще и член, пропорциональный г11г м (в несжимаемой жидкости этот член отсутствует и там разница имеет место лишь в членах более высокого порядка). Таким образом, три коэффициента й, ~, х., фигурирующие в системе уравнений движения вязкой теплопроводящей жидкости, полностью определяют гидродинамические свойства жидкости в рассматриваемом, всегда применяемом приближении (т.
е. при пренебрежении производными высших порядков по координатам от скорости, температуры и т. п.). Введение в уравнения каких-либо дополнительных членов (например, введение в плот- 276 гл р твпггоггроводггооть и жидкости Уравнение (49.4) принимает вид рср( — + ухггТ) = г4гуг,рсггрТ) + сг,'„и* . (50.1) гвдхр Для того чтобы в уравнениях движения неравномерно нагре- той жидкости можно было считать плотность постоянной, необ- ходимо (помимо малости отношения скорости жидкости к скоро- сти звука), чтобы имеющиеся в жидкости разности температур были достато шо малы; подчеркнем, что здесь речь идет именно об абсолютных значениях разностей температур, а не о градиен- те температуры.
Тогда жидкость можно считать несжимаемой в том же смысле, как это подразумевалось раньше; в частности, уравнение непрерывности будет выглядеть просто как г4гу у = 0. Считая разности температур малыми, мы будем пренебрегать также и температурным изменением величин и, рс, ср, т. е, будем дх, считать их постоянными. Написав член сггь ' в том виде, как г~ дхр это сделано в (49.5), мы получим в результате уравнение пере- носа тепла в несжимаемой жидкости в следующем сравнительно простом виде: ,2 — + чу = ХЬТ+ — ( — * + — ') ., (50.2) дг 2ср г дхр д:с, где Р = Пггр кинематическая вязкость, а вместо гс введена гем- пергггг уропров одноегпь (50.3) Х = !(рс ) В особенности просто выглядит уравнение переноса тепла в неподвижной жидкости, где перенос энергии обязан целиком теплопроводности.
Опуская в г'50.2) члены, содержащие скорость, получаем — = ХглТ. (50.4) дг Это уравнение называется в математической физике урпвпенглем теплопроводпосгпи или ууавгсепггем Фурье. Оно может быть выведено, разумеется, и гораздо более простым образом, без помощи общего уравнения переноса тепла в движущейся жидкости. Согласно закону сохранения энергии количество тепла, поглощающееся в некотором объеме в единицу времени, должно быть равно полному потоку тепла, втекающего в этот объем через ограничивающую его поверхность.
Как мы знаем, такой закон сохранения может быть выражен в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Это уравнение получается приравниванием количества тепла, поглощающсгося в единице объема жидкости в единицу времени, дивергенция плотности пото- дТ ка тепла, взятой с обратным знаком. Первое из них равно рс —. 'дг' 1 во ткилош оводность в нксжимлкмой жидкости 277 здесь должна быть взята теплоемкость ср, так как вдоль неподвижной жидкости давление должно быть, разумеется, постоянным. Приравняв это выражение Жкс1 = х'иТ, получим как раз уравнение (50.4) . Необходимо отметить, что применимость уравнения теплопроводности (50.4) к жидкостям практически сильно ограничена. Дело в том, что в жидкостях, реально находящихся в поле тяжести, уже малый градиент те апературы приводит в большинстве случаев к возникновению заметного движения (так называемая конвекция; см.
~ 56). Поэтому реально можно иметь дело с неравномерным распределением температуры в неподвижной жидкости, разве только, если градиент температуры направлен противоположно силе тяжести или же если жидкость очень вязкая. Тем не менее, изучение уравнения теплопроводности в форме (50.4) весьма существенно, так как уравнением такого вида описываются процессы теплопроводности в твердых телах. Имея это в виду, мы займемся здесь и в )) 51, 52 более подробным его исследованием. Если распределение температуры в неравномерно нагретой неподвижной среде поддерживается (посредством некоторых внешних источников тепла) постоянным во времени, то уравнение теплопроводности принимает вид ЬТ=О. (50.5) Таким образом, стационарное распределение температуры в неподвижной среде описывается уравнением Лапласа.
В более обьцем случае, когда коэффициент х нельзя считать постоянным, вместо (50.5) имеем уравнение с11к(рЛ7Т) = О. (50.6) Если в жидкости имеются посторонние источники тепла, то к уравнению теплопроводности должен быть добавлен соответствующий дополнительный член (таким источником тепла может, .например, являться нагревание электрическим током). Пусть Я есть количество тепла, выделяемое этими источниками в единице объема жидкости в единицу времени; Я является, вообще говоря, функцией от координат и от времени.
Тогда условие баланса тепла, т. е. уравнение теплопроводности, напишется в виде рс„— = АЛЬТ+ Я. (50.7) Напишем граничные условия для уравнения теплопроводности, которые должны иметь место на границе двух сред. Прежде всего., на границе должны быть равными температуры обеих сред; (50.8) Т1 = Т1. 278 гл л типиоиговодиость и жидкости Кроме того, поток тепла, выходящего из одной среды, должен быть равен потоку, входящему во вторую среду. Выбирая си- стему координат, в которой данный участок границы покоится, можно написать это условие в виде лг~ЧТл лпп = хггУТз Ю для каждого элемента лй поверхности раздела.
Написав ЧТИ = — ф, дп где дТ(дп производная от Т по направлению нормали к по- верхности, получим граничное условие в виде (50.9) ди дп Если на поверхности раздела имеются посторонние источни- ки тепла, выделяющие количество тепла ~л1~'~ на единице площа- ди в единицу времени, то вместо условия (50.9) надо написать; лг дт' — лс дт = а< ) (50 10) дп дп В физических задачах о распределении температуры при на- личии источников тепла интенсивность последних обычно сама задается в виде функции температуры. Если функция Я(Т) до- статочно быстро возрастает с увеличением Т, то установление стационарного распределения температуры в теле, границы ко- торого гюддерживаются при заданных условиях (например, при заданной температуре), может оказаться невозможным.
Тепло- отвод через внешшою поверхность тела пропорционален неко- торому среднему значению разности температур Т вЂ” То тела и внешней среды вне зависимости от закона тепловыделения вну- три тела. Ясно, что если последнее достаточно быстро возрастает с температурой, то теплоотвод может оказаться недостаточным для осуществления равновесного состояния. В этих условиях может возникнуть тепловой взрыв: если скорости экзотермической реакции горения достаточно быстро возрастают с температурой, то при невозможности стационар- ного распределения возникают быстрое разогревание вещества и ускорение реакции (Н.Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
