VI.-Гидродинамика (1109684), страница 70
Текст из файла (страница 70)
й 63.Влияние адсорбированных пленок на движение жидкости Наличие на поверхности жидкости пленки адсорбированного ею вещества может существенно изменить гидродинамические свойства свободной поверхности жидкости. Дело в том, что при изменении формы поверхности, сопровождающем движение жидкости, происходит растяжение или сжатие пленки, т. е.
изменение поверхностной концентрации адсорбированного вещества,. Эти изменения приводят к появлению дополнительных сил, которые и должны быть учтены в граничных условиях, имеющих место па свободной поверхности жидкости. Мы ограничимся здесь )зассмотрением адсорбированных пленок веществ, которые можно считать нерастворимыми в самой жидкости. Это значит, что вещество находится только у поверхности и пе проникает в глубь жидкости. Егти же поверхпостноактивное вегцество обладает также и некоторой заметной растворимостью, то необходимо было бы принять во внимание процессы диффузии этого вещества между поверхностной пленкой и объемом жидкости, возникающие при изменении концентрации пленки.
При наличии адсорбированного вещества коэффициент поверхностного натяжения сг является функцией поверхностной концентрации этого вещества (количество вещества па единице площади поверхности), которую мы обозначим буквой у. Если у 346 гл еп ПОВЕРХ!ЮСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ меняется вдоль поверхности, то вместе с ней функцией координат точки поверхности является также и коэффициент а.
В связи с этим в граничном условии па поверхности жидкости добавляется тангенциальная сила, о которой уже шла речь в конце 3 61 (условие (61.14)). В данном ш1учае градиент ЕР выражается через градиент поверхностной концентрации,так что действующая па поверхность тангенциальная сила равна 11 = — ь'7. (63.1) дч В 3 61 уже было указано, что граничное ушювие (61.14) с учетом этой силы может быть выполнено только у вязкой жидкости. Отсюда следует, что в тех случаях, когда вязкость жидкости мала и несу1цественна для рассматриваемого явления, нет необходимости также и в учете наличия пленки.
Для определения движения жидкости, покрытой пленкой, надо добавить к уравнениям движения жидкости с граничным условием (61.14) еще одно уравнение соответственно тому, что мы имсем теперь на одну неизвестную величину (поверхностная концентрация 7) болыпе. Этим дополнительным уравнением является уравнение непрерывности, выражающее собой неизменность общего количества адсорбированного вещества в пленке. Конкретный вид этого уравнения зависит от формы поверхности. Если поверхность плоская, то уравнение имеет, очевидно, вид д + ~( 7)+ Е(к7)=0, (63.2) д~ де дк где все величины берутся на поверхности жидкости (плоскость ху выбрана в плоскости этой поверхности).
Решение задач о движении жидкости, покрытой адсорбционной пленкой, существенно упрощается в тех случаях, когда пленку можно считать несжимаемой., т. о. можно считать, что площадь каждого элемента поверхности плевки остается при дви1кении постоянной. Примером того, насколько существенным в гидродинамическом отношении может оказаться наличие адсорбцион~ой пленки, является движение пузырыса газа в вязкой жидкости. Если на поверхности пузырька никакой пленки нет, то наполняющий его газ тоже приходит в движение, и сила сопротивления, испытываемая пузырьком со стороны жидкости, оказывается отличной от той, которую испытывал бы твердый шарик того же радиуса (см, задачу 2 3 20). Если же пузырек покрыт пленкой адсорбированного вещества, то прежде всего непосредственно из соображений симметрии ясно, что пленка остается при движении пузырька неподвижной.
Действительно, движение в ней могло бы совершаться только по поверхности пузырька вдоль л вз влиянии лдсогьигоь киных пленок нл движвнив 347 Задачи 1. Два сосуда соединены глубоким длинным каналом с плоско-параллельными стенками (ширина канала а, длина 1). Поверхность жидкости в сосудах и в канале покрыта адсорбированной пленкой, причем поверхностные концентрации уг и те пленки в обоих сосудах различны, в результате чего вблизи поверхности жидкости в канале возникает движение. Определить количество переносимого при этом движении вещества пленки.
Р е гп е н и е. Выбираем плоскость одной из стенок канала в качестве плоскости хщ а поверхность жидкости — в качестве плоскости ху, так,что ось х направлена вдоль длины кшгала; области жидкости соответствуют < О. Градиент давления отсутствует, так что уравнение стационарного движения жидкости Сс1ь '3 17) есть П) где и есть скорость жидкости, направленная, очевидно, по оси х. Вдоль длигг С ны канала имеется градиент концентрации —.
На поверхности жидкости в с)х канале имеет место граничное условие дю гго г1 — = — при л = О. дх г)х На стенках канала жидкость должна быть неподвижна, т. е. п=о при у=о,а. (3) Глубину каяала считаем бесконечной,и потому и=О при х — э — со. (4) г1астпыми решениями уравнения СЦ, удовлетворяющими условиям СЗ) и (4), являготся с2) ху (2п -~- Цяз сопел .
вш 12гг -ь Ц вЂ” ехр а, а с целыми п. Условию (2) удовлетворяет сумма ху 12п+ Цхх Мп 12п Ч- Ц вЂ” ехр 4а, с)о ~ а а вяз дх ~0 (2гг 4- Ц' Количество переносимого (в единицу времени) вещества пленки равно =/....= — ";(~„,'„,)'— „, о г)яз (2п + Цз г1х меридианов; в результате происходлгло бы непрерывное накапливание вещества пленки у одного из полюсов пузырька (внутрь газа или жидкости адсорбированное вещество не проникает), что невозможно. Вместе со скоростью пленки должна быть равной нулю и скорость газа на поверхности пузырька, а при таких граничных условиях останется неподвижным вообще весь газ внутри пузырька. Таким образом, покрытый пленкой пузырек будет двигаться как твердый шарик и, в частности, испытываемая им сила сопротивления (при малых числах Рейнольдса) будет определяться формулой Стокса.
348 гл уп пОВЯРХНООтныь яш!кния (движение происходит в направлении увеличения а). Величина сг' должна быть, очевидно, постоянной вдоль канала. Поэтому можно написать 1 1 да 1 /'а7О 1 /' у — = сопьа— : — ~ — у дх = — ~ 7 да, )х ' 1,/ 4* где 111 = О( 71), а1 = О112), н предполагается, что О1 ) О2. Таким образом, имееъ1 окончательно 2 /ч Ч1 й1яз „1271 + Цз 2 2 2. Определять коэффициент затухания капиллярных волн на поверхности жидкости, покрытой адсорбированной пленкой. Р е ш е н и е. Если вязкость жидкости пе слишком велика, то растягивающие 1тангенциальные) силы, действующие на пленку со стороны жидкости, малы, и поэтому пленку можно рассматривать как несжимаемую.
Соответственно этому можно вычислять диссипацию энергии как диссипацию вблизи твердой стенки, т. е. па формуле (24.14). Написав потенциал скорости ввиде 117 = 42ес "1е получим для дигсипацни, отнесенной к единице площади поверхности: /р~~и — ~йМ 'У' 8 Полная же энергия (тоже отнесенная к единице площади) есть Е = р / е2 412 = — ~йу72~~. 2А Коэффициент затухания равен 1используем соотношение (62.3))1 71'е 172 й7/4 772 124 'у 2ЯО17ър17е 2ь72рз/4 Отношение этой величины к коэффициенту затухания капиллярных волн на чистой поверхности жидкости (задача 2 З 62) равно и велико по сравнению с единицей, если только длина волны не чрезмерно мала.
Таким образом, наличие адсорбированной пленки на поверхности жидкости приводит к значительному увеличению коэффишзента затухания волн. ГЛАВА ИП ЗВУК й 64. Звуковые волны Переходя к изучению движения сжимаемой жидкости (или газа), мы начнем с исследования малых колебаний в ней; колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные сжатия и разрежения. В силу малости колебаний в звуковой волне скорость ч в ней мала, так что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом 1чгУ~Рг. По этой же причине относительные изменения плотности и давления в жидкости тоже малы. Мы будем писать переменные р и р в виде Р =Ре+Р; Р = Ре+Р (64.1) где Ре, Ре - постоЯнные Равновесные плотность и давление жидкости, а Р, р их изменения в звуковой волне (р' « ре, р « ре).
Уравнение непрерывности — ~ + с11грч = О др д8 при подстановке в него (64.1) и пренебрежении малыми величинами второго порядка (р', р', ч надо при этом считать малыми величинами первого порядка) принимает вид + Ре с1Ю ч = О. (64. 2) дс Уравнение Эйлера дт — + (ч~7)ч = —— ~'р дС в том же приближении сводится к уравнению — + Р =О. (64. 3) дй ро Условие применимости линеаризованных уравнений движения (64.2) и (64.3) для распространения звуковых волн заключается в малости скорости движения частиц жидкости в волне по сравнению со скоростью звука: о « с. Это условие можно получить, например, из требования р' « ре (см.
ниже формулу (64.12)). 350 гл мш звхк Уравнения (64.2) и (64.3) содержат неизвестные функции м, р', р. Для исключения одной из них замечаем, что звуковая волна в идеальной жидкости является, как и всякое другое движение в такой жидкости, адиабатическим. Поэтому малое изменение р давления связано с малым изменением р' плотности уравнением (64.4) Заменив с его помощью р' на р' в уравнении (64.2), получим — + ро ~ — 1 п1х т = О. дг' 7 др '~ (64.5) а ~оА Два уравнения (64.3) и (64.5) с неизвестными м и р' полностью описывают звуковую волну. Для того чтобы выразить все неизвестные величины через одну из них, удобно ввести потенциал скорости согласно т = = игам ~р. Из уравнения (64.3) получим равенство р = 0— (64.6) связывающее р' с у (индекс у ро и ро здесь и ниже мы будем для краткости опускать).
После этого найдем из (64.5) уравнение ~ — с~Ь~р = О, (64.7) которому должен удовлетворять потенциал ~р; здесь введено обозначение (64.8) Уравнение вида (64.7) называется волновым. Применив к (64.7) операцию 8габ, найдем, что такому же уравнению удовлетворяет каждая из трех компонент скорости ч, а взяв производную по времени от (64.7), найдем., что волновому уравнению удовлетворяет и давление р' (а потому и р ). Рассмотрим звуковую волну, в которой все величины зависят только от одной из координат, скажем, от л. Другими словами, все движение однородно в плоскости ух:, такая волна называется плоской.
Волновое уравнение (64.7) принимает вид — О. (64.9) Для решения этого уравнения вводим вместо х, 1 новые переменные с = х — сР, О = л + с1. 351 ЗВУКОВЫВ ВОЛНЫ Легко убедиться в том, что в этих переменных уравнение (64.9) принимает вид — = О. Интегрируя это уравнение по б находим дф — = Р(й), дп где Г(ц) — произвольная функция. Интегрируя еще раз, получим Ф~ = 11(~) + (э(д), где (1 и )э — произвольные функции. Таким образом, ф =,(1(х — с1) + ~2(х + с1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
