VI.-Гидродинамика (1109684), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Решение этого уравнения есть, как мы знаем, 7 = 7~(с1 — г) + )з(с1+ г), где )ы ~з -- произвольные функции. Таким образом,. общее решение уравнения (70.1) имеет вид Л(сг — г) „~з(се+ г) 'тс = (70.2) Первый член представляет собой расходящуюся волну, распространяющуюся во все стороны из начала координат. Второй же член есть волна, сходящаяся к центру. В отличие от плоской волны, амплитуда которой остается постоянной, в сферической волне амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию до центра. Интенсивность же волны, определяющаяся квадратом амплитуды, обратно пропорциональна квадрату расстояния, как 378 звук гл вш Ф ~ Р ~~~~ и их распределение определяется формулами того жс вида, что и (70.2).
Распределение же скорости (радиальной), определяющейся градиентом потенциала, имеет вид д ( асс — г) + уг(сс + г) ~ (70 8) дг ~ Если в начале координат нет источника звука, то потенциал (70.2) должен оставаться при г = 0 конечным. Для этого необходимо, чтобы было ~~(с1) = — (э(с1), т. е. Ф= 1(с1 — г) — 1(с1 -~- г) (70.4) (стоячая сферическая волна). Если же в начале координат находится источник, .то потенциал излучаемой им расходящейся волны есть у = 7(с1 — г)/г и не должен оставаться конечным при г = О, поскольку это решение вообще относится только к области вне тела.
Монохроматическая стоячая сферическая волна имеет вид А,-ил м.1- (70.5) т где й = ьэ/с. Расходящаяся же монохроматическая сферическая волна дается выражением и — о д=А' г (70.6) Полезно заметить, что это выражение удовлетворяет дифференциальному уравнению + 12 4 1 — г~лб( ) (70.7) в правой части которого стоит о-функция координат: В(г) = б(т)6(у)б(я). Действительно, везде, кроме начала координат, б(г) = О, и мы возвращаемся к однородному уравнению (70А).
Интегрируя же по об"ьему малой сферы вокруг начала координат ( в этой области выражение (70.6) сводится к — е ™), получим с обеих сторон — 4яАе ' '. Рассмотрим сферическую расходящуюся волну, занимающую в пространстве область в виде шарового слоя, позади которого и должно было быть, поскольку полный поток энергии в волне распределяется по поверхности, площадь которой растет пропорционально г .
Переменные части давления и плотности связаны с потенциалом через 379 секти юскив волны (70.8) Это значит, что по мере прохождения сферической волны через заданную точку пространства в этой точке будут паблюдаться как сгущения (р ) 0), так и разрежения (р' ( 0).
В этом отношении сферическая волна существенным образом отличается от плоской, которая может состоять и из одних только сгущений или разрежений. Такая же картина будет наблюдаться также и при рассмотрении хода изменения р' с расстоянием в заданный момент времени; при этом вместо интеграла (70.8) равен нулю будет интеграл гр~й = О. о (70.9) Задачи 1. В начальный момент времони газ внутри сферического объема (радиуса а) сжат так, что р' = сог1эе = Л; вне этого обьема р' = О. Начальная скорость равна нулю во всем пространстве.
Определить последующее движение газа. Р е щ е н и е. Начальные условия для потенциала рСг, С) гласят: '.р(г, О) = О, Р(г, О) = ГЯ, ) В противоположность плоской волне, после прохождения которой может быть р = соиес ~ О. движение либо отсутствует вовсе, либо быстро затухает, такая волна может возникнуть от источника, действовавшего в течение конечного интервала времени, или от некоторой начальной области звукового возмущения (ср. конец З 72 и задачу 4 З 74). Перед приходом волны в некоторую заданную точку пространства потенциал в ней у = О.
После же ее прохождения движение снова должно затухнуть; это значит, что во всяком случае должно стать со = сопв1. Но в сферической расходящейся волне потенциал есть функция вида ~р = ~(с1 — г)/г; такая функция может обратиться в постоянную, только если функция 7' обращается в нуль. Таким образом, потенциал должен обращаться в нуль как до, так и после прохождения волны ') . Из этого обстоятельства можно вывести важное следствие, касающееся распределения стущений и разрежений в сферической волне.
Изменение давления в волне связано с потенциалом соотношением р = — р —. Ввиду сказанного выше ясно, что осли проиндр д1 ' тегрировать р' по всему времени при заданном г, то мы получим в результате нуль: -~-оо 380 гл чш звь к где Е(г) = 0 при г > а, Е(г) = — Ьс~(р при г < а. Ищем сэ в виде (70.4) и из начальных условий находим 7( — г) — 7(г) = О, 7 ( — г) — 7 (г) = — г'(г). с Отсюда З'(г) = — 7"'( — г) = — — Е(г). 2с Наконец, подставив значение г (г), получаем для производной у~я н для самой функции У(б) следующий результат: при ф>а: У(Д)=О, Д(б)=0; при ф < о: у (с) = — с, 7(с) = — (с — о ), 2р 4р чем и определяется решение задачи. Рассмотрим точку с г > а, т.
е. вне области начального сжатия; гщя плотности р' имеем здесь: при Г < (г — а)/с р' = О; Л г — сс при (г — а)/с < Г < (г+ а)/с р =— 2 г при Г > (г -'г и),1с р' = О. Волна проходит через данную точку в течение промежутка времени, равно- го 2а/с; другими словами, волна имеет форму шарового слоя толщины 2а, заключенного в момент Ф между сферами радиусов сс — а и с1 + а. Внутри этого слоя плотность меняется по линейному закону-, причем в наружной его части (г > с1) газ сжат (р' > О), а во внутренней (г < сГ) — разрежен (р' < 0). 2. Определить собственные частоты центрально-симметрических звуко- вых колебаний в сферическом сосуде.
дсэ Р е ш е н и е. Из граничного условия — = О при г = а (а,— радиус а. сосуда, у — из (70.0)) получим уравнение Гйко = Аа, определяющее собственные частоты. Первая (наименьшая) частота равна и1 = 4,49с/о. 8 71. Цилиндрические волны Рассмотрим теперь волну, в которой распределение всех величин однородно вдоль некоторого одного направления (которое мы выберем в качестве оси я) и обладает полной аксиальной симметрией вокруг этой оси.
В такой, как говорят, цилиндрической волне имеем 9э = ~р(г, 1), где буквой Л обозначается расстояние до оси ж Определим общий вид такого осесимметрического решения волнового уравнения. Это можно сделать, исходя из общего вида сферически симметричного решения (70.2). Расстояние Л 381 цилиндеичьскив волны связано с г соотношением г = Л + я, так что ~р, определяемое формулой (70.2), зависит при заданных 1 и Л также и от я. Функцию, зависящую только от Л и 1 и в то же время удовлетворяющую волновому уравнению, можно получить интегрированием выражения (70.2) по всем значениям я от — со до +ос, или, что то же, от 0 до со. Перейдем от интегрирования по я к интегрированию по г; *= Я:гг, и.
= при изменении г от 0 до со г меняется в пределах между Л и оо. Поэтому находим окончательно общий вид осесимметричного решения: (71.1) и л где |ы |з--- произвольные функции. Первый член представляет собой расходящуюся, а второй сходящуюся цилиндрическую волну. Производя в этих интегралах замену переменных с1 х т = С, перепишем формулу (71.1) в виде я — л СΠР— Лаю + | ым (71 2) ,( -а'-т' |,ы:.) — 00 сН- Й Мы видим, что значение потенциала в момент времени 1 (в точке Л) в расходящейся цилиндрической волне определяется значениями функции |~ф в течение всего времени от — оо до 1 — Л/с; аналогично в сходящейся волне существенны значения функции |г(1) в течение всего времени от 1+ Л|с до оо.
Как и в сферическом случае, стоячие цилиндрические волны получаются при й(с) = — |з(с). Можно показать, что стоячая цилиндрическая волна может быть представлена также и в следующем виде: сььл Г® 1~ (71. 3) Л'- — (~ — с8)~ м — и где Г® снова произвольная функция. Выведем выражение для потенциала монохроматической цилиндрической волны. Волновое уравнение для потенциала д(Л, г) в цилиндрических координатах имеет вид 382 звук гл мш В монохроматической волне у = е '~~1 (Л) и для функции ДЛ) получаем уравнение 1"" + — 7"' + Й 1" = О.
Это "- уравнение функций Бесселя нулевого порядка. В стоячей цилиндрической волне р должно оставаться конечным при Л = О; соответствующим решением является .7а(кЛ), где,Ув функция Бесселя первого рода. Таким образом, в стоячей цилиндрической волне — 1 2 сов(вй — к/4) — гич Лл (71.5) Решение же, соответствующее монохроматической бегущей расходящейся волне, есть Ло (кЛ) (71.6) где Но функция Ганкеля. При Л -э О это выражение имеет ОО логарифмическую особенность: ~р — А — '1пйЛ е ™ (71.7) На больших же расстояниях имеет моего асимптотическая фор- мула р= А 2 ехр [з(кй — ~л — ~г/4)) Лй (71.8) Мы видим, что амплитуда цилиндрической волны падает (на больших расстояниях) обратно пропорционально корню из расстояния до оси, а интенсивность соответственно, как 1/Л. Этот результат естествен, поскольку по мере распространения волны полный поток энергии в ней распределяется по цилиндрической поверхности, площадь которой растет пропорционально Л.
Цилиндрическая расходящаяся волна существенно отличается от сферической или плоской в том отношении, что она может иметь передний фронт, но не может иметь заднего фронта: после того как звуковое возмущение дойдет до заданной точки пространства, оно уже пе прекращается в ней, лишь сравнительно ~р = Ае ™ 7в(ЙЛ). (71А) При Л = О функция 7о обращается в единицу, так что амплитуда волны стремится к конечной величине А. На болыпих жс расстояниях Л функцию .7в можно заменить ее известным асимптотическим выражением., в результате чего волна приобретет вид 384 звхк гл мш имеем — = / МФ вЂ” ФФ) Л' = 4 = с ~(~рЬгФ вЂ” 4Ь«р) Л' = с / с1т(~риф — фЧ~р) Л~. (72.2) ФЛ = 4хс(~о — ~).
(72.3) Дифференцируя это равенство по 1, получаем / ф Л' = — 4яс. (72.4) Подставим теперь в интеграл (72.1) в качестве у функцию (72.2), а под у будем понимать искомое общее решение волнового уравнения. Согласно (72.1) 1 есть величина постоянная: на этом основании напишем выражения для 1 в моменты времени 1 = О и 1 = 1е и приравняем их друг другу. Прн 1 = 1о обе функпии е и ч' отличны от нуля только при г = О.
Поэтому при интегрировании можно положить г в ~р и ф равным нулю (т. е. взять значения в точке О) и вынести ~р и р из-под знака интеграла: 1 = д(х, у, я, СО) / Фа — Ф("., у,, Се) 1 РЛ (ж, у, г .— координаты точки О). Согласно (72.3) и (72.4) второй член здесь обращается при ~ = ~о в нуль, а первый дает 1 = — 4хор(я, у, г, ~а). Последний интеграл может быть преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и потому обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к результату, что 61(М = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
