VI.-Гидродинамика (1109684), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Последняя имеет, как известно, логариф- % мическую особенность в точке и = О; если условиться переходить от положительных к отрицательным вещественным значениям и,. обходя (в плоскости комплексного переменного и) точку и = О сверху, то будет справедливо соотношение Но ( 'и) = Оо (пе ) = Но (и) — 2,7о(п). 390 звяк гл мш С его помощью можно переписать (73.6) в виде р= — '1 р()Н,"(В) 1. 4х ./ (73.7) Из уравнения (73.3) находим для функции !д уравнение (73.8) б-функцию в правой части уравнения можно исключить, нало- жив на функцию ~р. (х) (удовлетворяющую однородному урав- нению) гран!лчные условия при я = 1: (73.9) Граничные же условия при я = 0 гласят: (73.10) Ищем решение в виде !р = Ае !!!! при х >1, при 1 > г > О, при 0>х.
!р = Ве Р!'+Сер!' Р !!22 (73.11) Здесь 2 2 ~2 2 2 ~2 (й! = а~/см йз = ы/сз), причем надо полагать: „=!/ -! р )!. ! = — '~!Р:Р р (й; (73.12) 2т !л! (73.13) А = В+ Се~!" ~. первое необходимо для того, чтобы искомое !р не возрастало на бесконечности, а второе чтобы !!! представляло собой расходящуюся волну.
Условия (73.9) и (73.10) дают четыре уравнения, определяющие коэффициенты А, В, С. Р. Простое вычисление приводиг к следующим выражениям: воковля волил При рз = ры сз = с~ (т. е. если бы все пространство было заполнено одной средой) В обращается в пуль и А = Се~~"', соответствующий член в у представляет собой, очевидно, прямую волну (73.Ц: поэтому интересующая нас отраженная волна есть ~р~ = — / В(~г)е лг Нс (яН)жди. (73 14) В этом выражении надо еще уточнить путь интегрирования. Особая точка и = 0 обходится (в плоскости комплексного ж), как уже указывалось, сверху, Кроме того, подынтегральное выражение имеет особые точки (точки разветвления) ы = +Вы з;кз, в которых д~ или пз обраща- ь,, в ются в пуль.
В соответ- ~ ',,' ' ' С ствии с условиями (73.10) ' к точки +йы +йв должны 4 обходиться снизу, а точ- с' ки — Йы — Йв сверху. Произведем исследование полученного выражении на больших расстояниях от источника. Заменяя функцию Ганкеля ее известным асимптотическим выражением, получим ; Нз ' — 1' 0 Р' — Р'Р ( " -л ( -~~)~- н,1 (73 Гб) щ1гигъ + Р2Р1) ~ 2ЫЙ с На рис. 47 изображен путь интегрирования С для случая с~ > сз. Интеграл может быть вычислен с помощью известного метода перевала. Показатель ~(* -~),ГР:~- л) имеет экстремум в точке, в которой Х Й г'вга0 — $я0, — г -Ь 1 г' сова т.
е, х = й~ вш0, где 0 угол падения (см. рис. 45). Переходя к пути интегрирования С~, пересекающему эту точку под углом я/4 к оси абсцисс, получим формулу (73.2). В случае же с~ ( сз (т. е. й~ > йз) точка я = И~ в1п0 лежит междУ точками йз и 13, если вш0 > йз/й| = с~~сз = вшдш т.
е. если 0 > Ов (см. рис, 45). В этом случае контур С' должен содержать еще петлю вокруг точки йг, и к обычной отраженной волне (73.2) добавляется волна р~', определяемая интегралом (73.15), 392 гл чп! звхк взятым по этой петле (назовем ее С", рис. 48); это и есть боковая волна.
Этот интеграл легко вычислить, если точка н1 зшО не слишком близка к й2, т. е. если угол О не слишком близок к углу полного внутреннего отражения Оо ') . Вблизи точки гс = Ц )22 мало; разлагаем предэкспоненциальный многг! ггг житель в подынтеграль- ном выражении в 173.15) с' по степеням р2. Нулевой 1'ис. 48 член разложения вообгце не обладает особенностью при >г = к2 и его интеграл по Сл обращается в нуль. Поэтому имеем ,1 2 гр!' — — — / ~",~'( — ) ехр~ — )г!)я+1)+г>гй]а!гс. )73.16) .! ргрг ' 2гтгт Сл Разлагая показатель по степеням >г — Й2 и интегрируя по вертикальной петле Сл, получим после простого вычисления следующее выражение для потенциала боковой волны л 2!р! ьг ехр )гк! т' соз 1Ве — В)) 173.17) 'р! к г тггргй [сов Ве зш Веш г1Ве — В))гтг В согласии со сказанным вьппс волновые поверхности представляют собой конусы т' сов 10 — Оо) = ге в)пдо + )я +1) сов Оо = сопв1.
Вдоль заданного направления амплитуда волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния т'. Мы видим также, что эта волна исчезает в предельном случае Л вЂ” > О. При Π— > Оо выражение 173.17) становится неприменимым:, в действительности в этой области амплитуда боковой волны убывает с расстоянием .! — бгг4 8 74. Излучение звука Колеблющееся в жидкости тело производит вокрут себя периодическое сжатие и разрежение жидкости и таким образом приводит к возникновению звуковых волн.
Источником энергии, уносимой этими волнами, является кинетическая энергия дви- ')Исследование боковой волны во всей области углов В см. в кнл Бретоеских Л. !гг ЖТгв. 1948. Т. 18. С. 488. Там же дан следующий член разложения обычной отраженной волны по степеням Л!!22; отметим здесь, что для углов В, близких к Во !в случае с! < сг), отношение поправочного члена к основному убывает с расстояниями как (Л/Я) 'г', а не как Л/22.
1 74 иолу !яник 3ВукА жущегося тела. Таким образом, можно говорить об излучении звука колеблющимися телами. Ниже будет везде предполагаться, что скорость и колеблющегося тела мала по сравнению со скоростью звука. Поскольку и аог (где и линейная амплитуда колебаний тела), то это значит, что а«Л '). В общем глу ше произвольно колеблющегося тела произвольной формы задача об излучении звуковых волн должна решаться следующим образом. Выберем в качестве основной величины потенциал скорости оз. Он удовлетворяет волновому уравнению л~ — — '''=о. (74.1) сз Дгз На поверхности тела нормальная составляющая скорости жидкости должна быть равна соответствующей компоненте скорости и тела: — ~ = и„.
дп (74.2) На болыпих же расстояниях от тела волна должна переходить в расходящуюся сферическую волну. Решение уравнения (74.1), удовлетворяющее этим граничным условиям и условию на бесконе гности, определяет излучаемую телом звуковую волну. Рассмотрим более подробно два предельных случая. Предположим сначала, что частота колебаний тела настолько велика, что длина излучаемой волны очень мала по сравнению с размерами 1 тела: (74.3) Л « 1. ' ) Алан1и гуда колебаний предполагается, вообще говоря, малой также и ~го сравнении~ с размерами тола, в противном случае движение вблизи тела но будет потенциальным (ср.
З 9). Это условие но обязатольно лишь для чисто пульсационных колебаний, для которых используемое ниже решение (74.7) является но существу следствием уже непосредственно уравнения непрерывности. В таком шгучае можно разделить поверхность тела на участки, размеры которых, с одной стороны, настолько малы, что их можно приближенно считать плоскими, по, с другой стороны, все же велики по сравнению с длиной волны.
Тогда можно считать, что каждый такой участок излучает при своем движении плоскую волну, скорость жидкости в которой равна просто нормальной компоненте ии скорости данного участка поверхности. Но средний поток энергии в плоской волне равен (см. з 65) сриз, где и."скорость жидкости в волне. Подставляя и = ио и интегрируя по всей поверхности тела, приходим к результату, что средняя излучаемая телом в единицу времени в виде звуковых волн энергия, т. е.
полная интенсивность излучаемого 394 звяк гл мш звука, есть Х = ср / и' ф. (74.4) Она не зависит от частоты колебаний (при заданной амплитуде скорости). Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда длина излучаемой волны велика по сравнению с размерами тела: Л»1. (74 б) Тогда вблизи тела (на расстояниях, малых по сравнению с длиной волны) в общем уравнении (74.1) можно пренебречь члсном . д'у с . Действительно, этот член.—.порядка величины ь> д/с дР д/Л, между тем как вторые производные по координатам в рассматриваемой области у>ф.
Таким образом, вблизи тела движение определяется уравнением Лапласа Ьр = О. Но это---уравнение, определяющее потснциальное движение несжимаемой жидкости. Следовательно, вблизи тела жидкость движется в рассматриваемом ш>у чае как несжимаемая. Собственно звуковые волны, т. е. волны сжатия и разрежения, возникают лишь на болыпих расстояниях от тела. На расстояниях, порядка размеров тела и меньших, искомое решение уравнсния Ьу = О не может быть написано в общем виде и зависит от конкретной формы колеблющегося тела. Для расстояний же, больших по сравнешпо с 1, но малых по сравнению с Л (так что уравнение Ьу = О еще применимо), можно найти общий вид решения, воспользовавшись тем, что с> должно убывать с увеличением расстояния.
С такими решениями уравнсния Лапласа нам уже приходилось иметь дело в 9 11. Как и там, пишем общий вид решения в форме ~р = — -+А~- (74.6) (г расстояние до начала координат, выбранного где-нибудь внутри тела). При этом, конечно, существенно, что расстояния, о которых идет речь, все же велики по сравнению с размерами тела. Только по этой причине можно ограничиться в ~р членами, наименее быстро убывающими с ростом г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
