VI.-Гидродинамика (1109684), страница 77
Текст из файла (страница 77)
е. 1 есть не зависящая от времени постоянная: 1 = /(Эл) — ~~ф) Л' = сопя~. (72.1) Рассмотрим, далее, частное решение волнового уравнения: Ф= 07 сОО О) где т расстояние от некоторой заданной точки 0 пространства, некоторый определенный момент времени, а б обозначает д-функцию. Вычислим интеграл от ф по пространству: ~ Л = / 4 4т 1г = 4я / тат. — с(~о — ~)),1г. о о Аргумент у Б-функции обращается в нуль при г = с(Ео — 1) (предполагается, что 4е > й). Поэтому в силу свойств д-функции имеем 'л 72 ОВЩЕЕ РЕШЕНИИ ВО'!НОВОГО ИРАВНЕНИЯ Вычислим теперь 1 при 1 = О. Написав у! = — = — — и дф дф дл дло обозначая через ~ре значение функции оо при 1 = О, имеем 1 = — У(!род," + 4ОФ) !Л7 = — д, 1 боер лЛУ вЂ” 1407) лЛ7: Элемент объема запишем в виде а!'Р' = гв 717 !1о (!1о —. элемент те- лесного угла), тогда в силу свойств б-функции получаем 4оф !Л' = /!регб1г — с4а) с!Р с~о = сйо ~!ро до = /' — = /' !эв .1,! о=о!о (и аналогично для интеграла от !!Роул).
Таким образом, 1 = — —, (1о / !Ро !1о) — с7о / !!Ро В!о. Наконец, приравнивая оба выражения для 1 и опуская индекс нуль у 7о! получаем окончательно: !р(т, у, е, й) = — ~ — (й / !!оо !1о) +1 / !ро с1о~. (72.5) Эта формула Пуассона определяет распределение потенциала в пространстве в любой момент времени, если задано распределение потенциала и его производной по времени (что эквивалентно заданию распределения скорости и давления) в некоторый начальный момент времени.
Мы видим, что значение потенциала в момент времени 4 определяется значениями уо и !р, которые они имели в момент времени 4 = О на поверхности сферы ', и !С с радиусом г = с~ и центром в точке О. Предположим, что в начальный момент времени !р и !р были отличны от нуля только в некоторой конечной области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью С Рис. 44 (рис. 44).
Рассмотрим значения, которые будет принимать !р в последующие моменты в некоторой точке О. Эти значения определяются значениями !д! ул па расстоянии г = = с1 от точки О. Но сферы радиусов с8 проходят через область внутри поверхности только при гл,!с ( 4 ( П7'с, где с! и Х) . наименьшее и наибольшее расстояния от точки О до поверхности С. В другие моменты времени подыптегральные выражения в (72.5) обратятся в нуль. Таким образом, движение в точке О начнется в момент 4 = !1,1с и закончится в момент 1 = Вл!с.
Распространяющаяся из области С волна имеет два фронта: передний и задний. Движение в жидкости начинается, когда к данной ее точке подходит поверхность переднего фронта, на заднем же фронте колебавшиеся ранее точки приходят в состояние покоя. 13 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, тиа! 1П 386 гл гш звяк Задача Вывести формулу, определяющую потенциал по начальным условиям для волны, зависящей только от двух координат: х и у.
Р е ш е н и е. Элемент поверхности сферы радиуса г = с4 можно, с од- е в ной стороны, написать в виде цС = с 4 йо, где с)о — элемент телесного угла. С другой стороны, проекция 47 на плоскость ху равна у у =е сг где р есть расстояние от центра шара до точки х, у. Сравнив оба выражения, можно написать ох ну оо = с Яг — г Обозначая координаты точки наблюдения через х, у, а координаты переменной точки в области интегрирования через (, у, мы можем, следовательно, в рассматриваемом случае заменить но в общей формуле С72.5) на с)( й~ сс удвоив ири этом получающееся выражение, поскольку ох«)у предсшвляет собой проекцию двух элементов поверхности сферы, находящихся по разные стороны от плоскости ху.
Таким образо»к окончательно получаем уесс, у)~К )у 1 11 Феа У) ос с)ч 2яс П [с4)в — бг — Г)е — (у — у)в где интегрирование производится по поверхности круга с центром в точке О и радиусом г = сб Если в начальный момент ре, ре отличны от нуля только в конечной области С плоскости ху Сточное — в некоторой цилиндрической области пространства с образующими, параллельными оси х), то колебания в точке О (рис. 44) начнутся в момент времени 4 = И/с, где и - ближайшее расстояние от О до этой области.
Но в дальнейшем круги радиуса сг > и' с центром в точке О всегда будут заключать в себе часть или всю площадь области С, и «» будет стремиться к нулю только асимптотически. Таким образом, в отличие от «трехмерных» волн расслютренные здесь двумерные волны имеют передний, но не имеют заднего фронта Сер. З 7Ц. 8 73. Боковая волна Отражение сферической волны от границы раздела между двумя средами представляет особый интерес ввиду того, что оно может сопровождаться своеобразным явлением возникновения боковой волньи Пусть О (рис.
45) источник сферической звуковой волны, находящийся (в первой среде) на расстоянии ) от плоской неограниченной поверхности раздела между двумя средами 1 и х. Расстояние 1 произвольно и отшодь пе должно быть большим по 387 ВОКОВЛЯ ВОЛВЛ сравнению с длиной волны Л.
Плотности двух сред и скорости звука в них пусть будут ры рт и сы са. Ь', Преломленное 6' Се' валка Я' Прелолленнвл волна Рис. 4а Предположим сначала, что с~ ) са. Тогда на больших (по сравнению с Л) расстояниях от источника движение в первой среде будет представлять собой совокупность дву.х расходящихся волн. Одна из них есть сферическая волна, непосредственно испускаемая источником (прллеал волна); ее потенциал (0) е' " (73.1) где г расстояние от источника, а амплитуду мы условно полагаем равной единице; множители е '"в во всех выражениях мы будем в этом параграфе для краткости опускать.
Вторая же — отраженная --волна имеет волновые поверхности, представляющие собой сферы с центром в точке (~' (зеркальное отображение исто шика сз в плоскости раздела); это есть геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же промежуток времени доходят лучи, одновременно вьппсдшис из точки са' и отразившиеся по законам геометрической акустики от поверхности раздела (иа рис. 46 луч СУАР с углами падения и отражения 0).
1 е Амплитуда отраженной волны убывает ее~ обратно пропорционально расстоянию г / с / От тОчки Я (последнюю назыВают иногда мнимым источником), но зависит, кроме того, и от угла 0 -- так, как если бы каждый луч отражался с коэффициентом, соответствующим отражениео плоской волны с данным углом падения В.
Другими словами, на болыпих расстояниях отраженная волна описывается форлеулой е'л" сеРВ сое а — Р1 с~~ — с~ ВП1 а 'Р1— (73.2) 388 гл мш звяк (ср. формулу ~66.4) для коэффициента отражения плоской волны). Эта формула, справедливость которой (для больших гт) сама по себе естественна, может быть строго выведена указанным ниже способом. Более интересен случай, когда с~ < сз. Здесь наряду с обычной отраженной волной (73.2) в первой среде появляется еще одна волна, основные свойства которой можно усмотреть уже из следующих простых соображений.
Обычный отраженный луч ДАР (рис. 46) удовлетворяет принципу Ферма в том смысле, что это есть путь наиболее быстрого пробега из точки Я1 в Р из всех путей, лежащих целиком в среде 1 и испытывающих однократное отражение. Но принципу Ферма удовлетворяет (при с~ < сз) и другой путгя луч падает на границу под углом полного внутреннего отражения Ое (вшдв = = с~ /ся), затем распространяется по среде 2 вдоль границы раздела и, наконец, снова переходит в среду 1 под углом Ов ЯВСР на рис. 46); очевидно, что должно быть 0 ) 0ш Легко видеть, что такой путь тоже обладает экстремальным свойством: время пробега по нему меньше, чем по любому другому пути из Я в Р, частично проходящему во второй среде.
Геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же момент времени доходят лучи, одновременно вышедшие из Ц вдоль пути ЯВ и затем перешедшие снова в среду 1 в различных точках С., есть, очевидно, коническая поверхность, образующие которой перпендикулярны к прямым, проведенным из «мнимого источникаь Я' под углом 0ш Таким образом, если с~ < сз, то наряду с обычной отраженной волной со сферическим фронтом в первой среде будет распространяться еще одна волна с коническим фронтом, простирающимся от плоскости раздела (на котором он смыкается с фронтом преломленной волны во второй среде) до касания фронта сферической отраженной волны (последнее происходит по линии пересечения с конусом, с углом раствора 0в и осью вдоль линии Я(~' см. рис.
45). Эту коническую волну называют боковой. Путем простого подсчета легко убедиться в том, что время пробега вдоль пути ЯВСР (рис. 46) меньше, чем время пробега по пути ЯАР, ведущему в ту же точку паблюдепия Р. Это значит, что звуковой сигнал из источника Ц доходит до точки наблюдения Р сначала в виде боковой волны, и лишь затем в эту точку приходит обычная отраженная волна. Следует иметь в виду, что боковая волна представляет собой эффект волновой акустики, несмотря на то, что она допускает изложенное наглядное истолкование с помощью представлений геометрической акустики.
Мы увидим ниже, что амплитуда боковой волны обращается в нуль в пределе Л вЂ” ~ О. 389 БОКОВАЯ ВолпЛ Переходим теперь к количественному расчету. Распространение монохроматической звуковой волны, создаваемой точечным источником, описывается уравнением (70.7): ~р+ ~Р р = — 4яб(г — 1), (73.3) где Й = ш/с, а 1 радиус-вектор источника. Коэффициент при б-функции выбран таким, чтобы прямая волна имела вид (73.1).
Ниже мы выбираем систему координат с п.лоскостью яу в плоскости раздела и осью я вдоль Щ', первой среде соответствуют я ) О. На границе раздела должны быть непрерывными давление и г-компонента скорости, или, что то же, величины р~р и д~р/дю Следуя общему методу Фурье., имеем решение в виде ~р = — р„(я)ей~'~ ьи'"1 сЬс Йм,, (73.4) (73.5) Из симметрии в плоскости ту заранее очевидно, что р. может зависеть только от абсолютной величины ч2 = ж2+ ж'. Восполь- зовавшись известной формулой 3э(и) = — ( сов(иэ1п~р) Йр, 1 2я о можно поэтому представить (73.4) в виде р = — / р ЯЯ~(хК)м 6 2я ./ о (73.б) где Л = туР+ у2 цилиндрическая координата (расстояние от оси я). Для дальнейших вычислений будет удобно преобразовать эту формулу к виду, в котором интеграл берется в пределах от — оо до +со, выразив подынтегральное выражение через функцию Ганкеля Нэ (и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
