VI.-Гидродинамика (1109684), страница 75
Текст из файла (страница 75)
сй с)1 Ж Поскольку и и с1п/ог взаимно перпендикулярны Сиз п~ = 1 следует, что пп = 0), то из сравнения обоих выражений находим и = ]гоги, и]. Вводя элемент проходимой лучом длины п1 = с с1г, пишем окончательно лп 1 — = — ]гог и, и]. % Ж с Этим уравнением определяется форма лучей; и есть единичный вектор ка- сательной к лучу ]отнюдь не совпадающий теперь с направлением Ы). 2.
Определить форму звуковых лучей в движущейся среде с распреде- лением скоростей и, = в(в), пэ = и- = О. Р е ш е н и е. Раскрывая уравнение 1Ц, находим пп,, п, аи ппг — "=0 О1 с 1в' О1 (уравнение для л, можно не писать, так как и = 1). Второе уравнение дает е л„= согсзг = п„о. В первом же пишем и, = с1з/Ж, после чего интегрирование дает в]в) = и.
о -~- с Эти формулы решают поставленную задачу. Предположим, что скорость и равна нулю при в = 0 и возрастает по на- правлению вверх (с)п/с1в > 0). Если звук распространяется «против ветра» (пе < 0), то его траектория искривляется, загибаясь вверх. При распро- странении же «по ветруэ (гм > 0) луч искривляется, загибаясь вниз; в этом 373 ООВО'ГВКННЫВ КОЛВВАНИЯ случае луч, вышедший из точки 2 = О под малым углом наклона к оси т (п,о близко к единице), поднимается лишь па конечную высоту з = которую можно вычислить следующим образом. Па высоте о о„луч горизонтален, т.
е. и, = О. Поэтому имеем здесь: 2 2 2 2 и и, +и, =пьо+поо+2п о — = 1, с так что и(з„, ) 211 о = п.о с откуда по задшшой функции п(о) и начальному направлению луча по можно определить ж,„ . 3. Получить выражение принципа Ферма для звуковых лучей в стационарно движущейся среде. Р е ш е н и е. Принцип Ферма требует минимальности интеграла ~ 1219, взятого вдоль луча между двумя заданными точками, причем к предполагается выраженным как функция от частоты 22 и направления луча и (см. П, з 53). Эту функцию можно найти, исключая с и ь. из соотношений 22 = с1 + и12 и оп = с1с/й Е и, В результате принцип Ферма приобретает вид /' гУ В неподвижной сРеде этот интегРал сводитсЯ к обычномУ у1 с 3 69.
Собственные колебания До сих пор мы рассматривали колебательное движение в неограниченных средах. Мы видели, в частности, что в таких средах могут распространяться волны с произвольными частотами. Положение существенно меняется для жидкости, находящейся в сосуде конечных размеров. Сами уравнения движения (волновые уравнения) остаются при этом, конечно, теми же, но к ним необходимо добавить теперь граничные условия, которые должны выполняться на поверхности твердых стенок (или на свободной поверхности жидкости). Мы будем рассь1атривать здесь только свободные колебания, происходящие при отсутствии переменных внешних сил (колебания, совершаемые под действием внешних сил, называют вынужденными)1.
Уравнения движения дл21 ограниченной жидкости отнюдь не при всякой частоте имеют решение, удовлетворяющее соответствующим граничным условиям. Такие решения существуют лишь для ряда вполне определенных значении н2. Другими словами, в среде конечного объема могут происходить свободные колебания лишь с вполне определенными частотами. Их называют частотами собстееннылв нолебани21, или собственными частотами жидкости в данном сосуде. Конкретные значения собственных частот зависят от формы и размеров сосуда. В каждом данном счучае существует беско- 374 гл еш звяк нечный ряд возрастающих собственных частот. Нахождение их требует конкретного исследования уравнения движения с соответствующими граничными условиями. Что касается первой, т.
е. наименьшей, из собственных частот, то ее порядок величины очевиден непосредственно из соображений раза>ерности. Единственным, входящим в задачу параметром с размерностью длины являются линейные размеры 1 тела. Ясно поэтому, что соответствующая первой собственной частоте длина волны Л> должна быть порядка величины 1; порядок величины самой частоты ол определяется делением скорости звука на Лп Таким образом, Л> 1, о» сД. (69.1) Выясним характер движения при собственных колебаниях. Если искать периодическое по времени решение волнового уравнения, скажем, для потенциала скорости, в виде е> = О>О(х, у, и) х Х Е 'ач, тО дЛя Е>О будЕМ ИМЕТЬ ураВНЕНИЕ а ~О>О+ —., ~РО = 9.
(69.2) В неограниченной среде, когда не надо учитывать никаких граничных условий, это уравнение обладает как вещественными, так и комплексными решениями. В частности, оно имеет решение, пропорциональное е'~", приводящее к потенциалу вида со = сопя1 ей"" 'л). Такое решение представляет собой волну, распространяющуюся с определенной скоростью, или, как говорят., бегущую волну. Но для среды конечного обьема комплексные решения, вообще говоря, не могут существовать. В этом можно убедиться путем следующего рассу>кдения.
Уравнение, которому удовлетворяет е>О, вещественно, и то же самое относится к граничным условиям. Поэтому, если О>О(х, у, и) есть решение уравнений дни>кения, то и комплексно сопряженное е>О тоже есть решение. Поскольку, с другой стороны, решение уравнений при заданных граничных условиях, вообще говоря, однозначно ') (с точностью до постоянного множителя), то должно быть е>Π— — сопят ~ро, где сопяб .
некоторая комплексная постоянная, модуль которой равен единице. Таким образом, е>О должно иметь вид =Их,й, ) с вещественной функцией )' и вещественной постоянной с>. Потенциал 1> имеет., с»едовательно, вид (берем вещественную часть от 1оое ' '): (69.3) е> = у(х, у, в) соя (о>1+ а), ') Это может не иметь места в случае Формы сосуда, обладающей высокой симметрией, например, в случае шара. Ооьс'гввииые колевхния 375 т. с. является произведением некоторой функции координат на периодическую функцию времени.
Такое решение имеет характер, совершенно отличный от бегущей волны. В бегущей волне фазы Мг — оЛ + а колебаний в различных точках пространства в один и тот же момент времени различны, будучи равными только в точках, удаленных друг от друта на расстояние, равное длине волны. В волне же (69.3) в каждый момент времени все точки тела колеблются в одной и той же фазе (ю~ + о). Ни о каком распространении такой волны, очевидно, нельзя говорить. Такие волны называют сшолчими. Таким образом, собственные колебания представльчот собой стоячие волны.
Рассмотрим шюскую стоячую звуковую волну, в которой все величины являются функцией только от одной координаты, скажем, х (и от времени). Написав общее решение уравнения с7'рс ю' + сУо=й ах с сс в виде ссо = асов( — х + р), будем иметь ' с сс = а соя (сс1 + а) сов( — х + р'). ~с Надлежащим выбором начала координат и начала отсчета времени можно обратить а и 6 в нуль, так что будет ~р = а сов (ьЛ) сов — х. (69А) с Для скорости и давления в волне имеем д~ и = — = — а — совы1в1п — х, дх с с р = — р — = рсс в 1п оЛ сов — х. дф ся: с В точках х = О, яс/сс, 2яс/сс, ..., удаленных друг от друга на расстояние яс/сс = Л/2, скорость г всегда равна нулю: зти точки называют узлами скорости.
Посередине между ними (при х = = яс/(2ы), Зяс/(2ы), ... ) расположены точки, в которых амплитуда колебаний скорости со временем максимальна; эти точки называют лунностями волны. Что же касается давления р', то для него первые точки являются пучностями, а вторые узлами. Таким образом, в стоячей плоской звуковой волне пучности давления совпадают с узлами скорости, и обратно.
Иатересным случаети собственных колебаний являются колебания газа, находящегося в сосуде, в котором имеется маленькое отверстие (такой сосуд называют резонатором). В замкнутом сосуде наименьшая из собственных частот, как мы знаем, порядка величины с/1, где 1 -- линейные размеры сосуда. При наличии 376 гл тш звяк же маленького отверстия появляется новый вид собственных колебаний со значительно меньшей частотой.
Эти колебания связаны с тем, что если между газом внутри и вне сосуда появляется разность дав.лений, то эта разность может выравниваться посредством входа и выхода газа из сосуда наружу. Таким образом, появляются колебания, сопровождающиеся обменом газа между резонатором и внешней средой.
Поскольку отверстие мало, то этот обмен происходит медленно: поэтому период колебаний велик, а частота соответственно мала (см. задачу 2). Что касается обычных колебаний, имеющихся в замкнутом сосуде, то их частоты под влиянием наличия малого отверстия практически не меняются. Задачи 1. Определить собственные частоты звуковых катебаний жидкости в сосуде, имеющем форму параллелепипеда. Р е ш е н и е. Ищем решение уравнения (69.2) в виде Эге = сопвФ . сов от соэ гу соз эщ причем о + г + в = ы /с . На стенках сосуда имеем условия: д г г д Дуг е,= — =О при к=О, а, д* н аналогично при у = О, Ь и г = О, с, где а, Ь, с — длины сзорон параллелепипеда.
Отсгода находим д = гня)а, г = нх)Ь, в = ряггс, где т, и, р— произвольные целые числа. Таким образом, собственные частоты равны 2 г 2 2.К отверстию резонатора присоединена тонкая трубочка (сечения о, длины 1); определить собственную частоту колебаний. Р е ш е и и е.поскольку трубочка является тонкой,то при колебаниях, сопровождающихся входом и выходом газа из резонатора, можно считать, что заметной скоростью обладает только газ в трубочке, а скорость газа внутри сосуда практически равна нулю. Масса газа в трубочке есть Яр1, а сила, действующая па него, есть л(ро — р) (р, ре — давления газа соответственно внутри резонатора и во внешней среде); поэтому должно быть Ягэй = Я(р— — ре) (гг — скорость газа в трубочке).
С другой стороны, для производной от давления по времени имеем р = с р, а умоньшениа — р плотности га- 2 . за в резонаторе в единицу времени можно считать равным вытекающему в единицу времени количеству газа Яре,деленному на объем К резонатора. оглу Таким образом, имоем р = — е, откуда сгур с~Я р = — —,'г = — — Ь-ра). И Л' Это уравнение дает р — ре = сопвс сов агей где собственная частота ые равна /я Эта частота мала по сравнению с с/А (г — линейные размеры сосуда), а длина волны соответственно велика по сравнению с А. 377 стеши юскив волны При решении мы подразумевали, что линейная амплитуда колебаний газа в трубочке мала по сравнению с ее длиной и В противном случае колебания сопровождаются выходом из трубочки наружу заметной доли находящегося в ней газа, и становится неприменимым использованное выше линейное уравнение движения газа в трубочке.
я 70. Сферические волны Рассмотрим звуковую волну, в которой распределение плотности, скорости и т. д. зависит только от расстояния до некоторого центра, т, с, обладает сферической симметрией. Такая волна называется сферической. Определим общее решение волнового уравнения, описывающее сферическую волну. Ьудем писать волновое уравнение, например, для потенциала скорости: Ь~о — — — = О. 1 д':р се дсз Поскольку со есть функция только от расстояния г до центра (и от времени 8), то, воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, имеем (70.1) Положив ~р = ~(ту 1)/и, получим для функции 1(г, 1) уравнение дуадг =с дгв дгз ' т. е. обычное волновое уравнение в одном измерении, в котором роль координаты играет радиус г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
