VI.-Гидродинамика (1109684), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ввиду сравнительной медленности изменения толщины слоя с расстоянием,и малости поперечной скорости жидкости в нем, при исследовании устойчивости течения в небольшом участке пограничного слоя можно рассматривать плоско-параллельное течение с неизменным вдоль оси х профилем ') . Тогда с мате- 1 ) При таком рассмотрении остается, конечно, в стороне вопрос о влиянии, которое может иметь на устойчивость пограничного слоя кривизна обтекаемой поверхности. Имеется также и определенная непоследовательностть связанная с делаемыми пренебрежениями.
Доло в том, что единственными плоско-параллельными течениями Сс профилем скорости, зависящим только от одной координаты), удовлетворяющими уравнению Навье — Стокса, являются точения с линейным С17.1) н параболическим С17.4) профилями Св то время как уравнение Эйлера удовлетворяется плоско-параллельным течением с пронзвольныы профилем). Поэтому рассматриваемое в теории устойчивости пограничного слоя основное течение не является, строго говоря, решением уравнЕний движения.
239 устойчивость движения матической точки зрения задача будет аналогична задаче об устойчивости течения между двумя параллельными плоскостями (о которой шла речь в 8 29). Разница состоит лишь в форме профиля скоростей: вместо симметричного профиля с н = 0 на обеих границах здесь имеется несимметричный профиль, в котором скорость меняется от нуля на поверхности тела до заданного значения ьг скорости потока вне пограничного слоя. Такое исследование приводит к следующим результатам ( И'.
То11гпгеп, 1929; Н. ЯсЬ1гс1гбгпу, 1933; С.С. Лгп, 1945). Форма нейтральной кривой на диаграмме ог, В (см. 3 28) зависит от формы профиля скоростей в пограничном слое. Если профиль скоростей не имеет точки перегиба (скорость и монотонно возрастает, причем кривая и = и 1у) везде выпуклая; рис. 28 а), то граница устойчивости имеет форму., вполне аналогичную той, которая характеризует устойчивость течения в трубе: имеется некоторое минимальное значение В, = Вкр, при котором появляются усиливающиеся возмущения, а при  — г оо обе ветви кривой асигштотически приближаются к оси абсцисс (рис. 29 а). Для профиля скоростей, имеющего место в пограничном слое на плоской пластинке, вычисление дает для критического значения числа Рейнольдса значение ') Вб,р — 420. Профиль скоростей типа рис.
28 а не может иметь места, если скорость жидкости вне пограничного стоя уменьшается вниз по течению; в этом случае профиль скоростей непременно должен иметь точку перегиба. Действительно, рассмотрим небольшой участок поверхности стенки, который можно считать плоским, и пусть х есть опять продольная координата вдоль направления течения, а д расстояние от стенки. Из соотношения (40.10) дг 11 дП и ' = — — = — ьг— дуг и — О рдх дх видно, что если Г падает вниз по теченикг (дУггдх ( 0), то вблизи поверхности — ')О, дуг т.
е. кривая и. = нх(у) . - вогнутая. При увеличении же у скорость и должна асимптотически приближаться к конечному пределу Г. Уже из геометрических соображений ясно, что для этого кривая должна стать выпуклой., а потому имеет где-то точку перегиба (рис. 28 б). При наличии точки перегиба в профиле скоростей форма кривой границы устойчивости несколько меняется. Именно., обе ) При йв — г ос на ветвях 1 и 11 нейтральной кривой рг обращается в нуль соответственно как гтг и' и К р". Точке В. = К р отвечает частота рг р —— = 0,15 Гг,гб" и во:товое число й„р —— 0,3б,гб*. 240 НО1тлни'н!ый слОЙ гл 1" ветви кривой имеют при Л вЂ” + со различные асимптоты: одна ветвь по-прежнему асимптотически приближается к оси абсцисс, а па другой а1 стремится к конечному, отличному от пуля пределу (рис.
29 б). Кроме того, наличие точки перегиба сильно понижает значение В. р. То обстоятельство, что число Рейнольдса возрастает вдоль пограничного слоя, придает своеобразный характер поведению возмущений при их сносе вниз по течению. Рассмотрим обтекание плоской пластинки и пред- а к, б У Рис. 29 Рис. 28 положим, что в некотором месте пограничного слоя производится возмущение с заданной частотой 1Н. Его распространению вниз 1ю течению соответствует на диаграмме рис.
29 а перемещение вправо по горизонтальной прямой а1 = сопвС. При этом возмугцение сначала затухает, затем по достижении ветви 1 границы устойчивости начнет усиливаться. Усиление продолжается до момента достижения ветви 11, после чего возмущение вновь будет затухать. Полный коэффициент усиления возму1цения за время его прохождения через область неустойчивости очень быстро возрастает по мере того, как эта область сдвигается в сторону больших В. (т. е. чем ниже на рис. 29 и расположен соответствующий горизонтальный отрезок между ветвями 1 и 11 границы устойчивости).
Вопрос о характере неустойчивости пограничного слоя по отношению к бесконечно малым возмущениям (абсолютном или конвективном) еще не имеет 1юлного решения. Для профиля скоростей без точки перегиба неустойчивость является конвективной в той области значений В, где обе ветви нейтральной кривой (рис. 29 а) близки к оси абсцисс (сюда относится то же самое доказательство, что и для плоского пуазейлевого течепия--. 241 ястойчивость движения см. примеч. на с.150). Для меныпих значений 11, а также для профилей скорости с точкой перегиба вопрос остается открытым. Благодаря изменению числа Рейнольдса вдоль пограничного слоя, турбулизируется не сразу весь слой, а лишь та его часть, для которой К; превышает определенное значение. При заданной скорости обтекания это значит, что турбулизация возникает на определенном расстоянии от переднего края; при увеличении скорости зто место приближается к переднему краю. Экспериментальныс данные показывают, что место возникновения турбулентности в пограничном слое существенно зависит также от интенсивности возму.щений в натекающем потоке.
По мере уменьшения степени возмущенности наступление турбулентности отодвигается к более высоким значениям Бл. Различие между нейтральными кривыми на рисунках 29 а и 29 б имеет принципиальный характер. Тот факт, что на верхней ветви частота стремится при Кв — ) оо к отличному от нуля пределу, означает, что движение остается неустойчивым при сколь угодно малой вязкости, между тем как в случае кривой типа рис. 23 а при и — ь 0 возмущения с любой конечной частотой затухают. Это различие обусловлено именно наличием или отсутствием точки перегиба в профиле скоростей н = и(у). Его происхождение можно проследить с математической точки зрения, рассмотрев задачу об устойчивости в рамках гидродинамики идеальной жидкости (Лау1е186, 1880). Подставим в уравнение плоского движения идеалыюй жидкости (10.10) функцию тока в виде Ф вЂ” Фо(у) + р1(л, у, 1), где газо.-- функция тока невозмушепного течения (так что фо = о(у)), а уз1 малое возмущение.
Последнее и|цем в виде уз1 = ~р(у)е~~ ~ Подстановка в (10.10) приводит к следующему линеаризованпому уравнению для функции уз1 '): ( 1 и 2 и н — — 1 Ор ~ — й~~р) — п~ ~р = О. (41.2) й/ Если границей движения (по оси у) является твердая стенка, то на ней д = 0 (как следствие утловия ив — — 0); если же ширина потока не ограничена (с одной или с обеих сторон), то такое же условие должно быть поставлено на бесконечности, где поток однороден.
Будем рассматривать а как заданную вещественную величину; частота же ы определяется тогда гю собственным значениям граничной задачи для уравнения (41.2). ') Любая функция у~о(у) удовлетворяет уравнению (10.10) тождественно, ср. сказанное в примеч. на с. 238. 242 ПО1'Рани'п1ыЙ слОЙ ГЛ 1У Разделим уравнение (41.2) на (и — а222Й), умножим на 22* и проинтегрируем по у между двумя границами движения у1 и уя. Проинтегрировав произведение 1р*у>' по частям, получим У2 У2 / (/92'/~+)с~!92!~)г!21+ / ' ~") Йу = О. (41.3) У1 У1 Первый член здесь во всяком случае веществен.
Предполагая частоту комплексной и отделив мнимую часть равенства, получим У2 1>по>. ~~) 2 с1у = О. ,7 (Р— 2221«з'2 (41.4) У1 Для того чтобы могло быть 1п>ы1 ф О., должен обращаться в нуль интеграл, а для этого во всяком случае необходимо, чтобы гделибо в области интегрирования пл проходило через пуль. Таким образом., неустойчивость может возникнуть (при и = 0) лишь для профилей скорости с точкой перегиба ') . С физической точки зрения, происхождение этой неустойчивости связано с «резонансцым» взаимодействием между колебаниями среды и движением ее частиц в основном течении, и в этом смысле оно аналоги шо происхождению известного из кинетической теории затухания (или усиления в неустойчивом случае) Ландау колебаний в бесстолкновигельной плазме (см.
Х, 9 30) 2) . Согласно уравнению (41.2) собственные колебания течения (если они существуют) связаны с той его частью, где пл(д) ф у'= 0 ') . Проследить за мехапизъюм усиления колебаний удобно на примере профиля скорости, в котором «источник > колебаний локализован в одном слое течения: рассмотрим проф>лль п(у), кривизна которого мала везде, за исключением лишь окрестности некоторой точки у = уо, заменив ее просто изломом профиля, будем иметь в пл(у) член вида Ад(у — 119); именно он будет давать основной вклад в интеграл в уравнении (41.3). Будем описывать 1 ) Следует отметить.
что постановка задачи об устойчивости с точным равенством и = О физически не вполне корректна. Она не учитывает того факта, что реальная жидкость непременно обладает хотя бы и малой, но отличной от нуля вязкостью. Это приводит к ряду математических затруднений: исчезновению некоторых решений (в виду понижения порядка дифференциального уравнения для функции 22) и появлению новых решений, отсутствующих при и ф- О. Последнее обстоятельство связано с сингулярностью уравнения (41.2) (отсутствующей при Р ф 0): в точке, где е(у) = ь>,2Й, обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении.
) Эта аналогия указана А.В. Тимофеевым (1979) и А.А. Андроыоеызг и А.Л. Фабрикантом (1979); ниже мы следуем изложению А.В. Тимофеева. 2) При е" (у) = О уравнение (41.2) вообще не имеет решений, удовлетворяющих необходимым граничным условиям. 243 ЛО1ИРиФми 1еский ИРОФиль скОРОстей течение в системе координат, в которой «источник» покоится, т. е. У(до) = 0 (как это изображено на рис. 30). Отделив в уравнении (41.3) вещественную часть, получим Уз 1~2+ ьь2~ ~2) з .4~У1(Уе)~ пе«11й 1 0 ~,„1ь Р У1 Пусть А ) 0 (как на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
