VI.-Гидродинамика (1109684), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(40.8) Ид Формулы (40.7), (40.8) определяют характер зависимости функций о и оо от х вблизи точки отрыва. Мы видим, что обе они оказываются разложимыми в этой области по степеням корня (хв — х) 1!', причем разложение оу начинается с члена ( — 1)-й степени, так что оу обращается при х — + хо в бесконечность, как (хо — х) о'. ПРи х ) хо, т.
е. за точкой отРыва, Разложение (40.7), (40.8) физически неприменимо, так как корни делаются мнимыми; это свидетельствует о физической бессмысленности продолжения за точку отрыва решений уравнений Прапдтля, описывающих движение до этой точки. В силу граничных условий на самой поверхности тела должно быть всегда ох = оо — — 0 при у = О. Из (40.7) и (40.8) заключаем поэтому, что оо(0) =О, —" =О. (40.9) <~у о=о Таким образом, мы приходил! к важному результату, что в самой точке отрыва (х = хо, у = 0) обращается в нуль не только скорость о, но и се первая производная по у (этот результат принадлежит Прандтлю). Необходимо подчеркнуть, что равенство дох/ду = 0 на линии отрыва имеет место лишь постольку, поскольку при этом же х обращается в бесконечность оу. Ес'!и бы постоянная А в (40.7) случайно оказалась равной пул!о (а потому не было бы и оо(хо, у) = оо), то точка х = хв, у = О, в которой обращается в нуль производная до /ду, не была бы ничем замечате.льна и во всяком случае не была бы точкой отрыва.
Обра!цение А в нуль может, однако, произойти лишь чисто случайно и поэтому дВижвиив ВВ||и'Зи линии отгыВА 235 невероятно. Практически, следовательно, точка на поверхности тела, в которой дг /ду = О, всегда является в то же время точкой отрыва. Если бы в точке т = хв не возник отрыв (т. е. если А = 0), то при т > хе было бы (дг«/ду)~, в < О, т.
е. при удалении от стенки (при достаточно малых у) е, делалось бы отрицательным, увеличиваясь по абсолютной величине. Другими словами, за точкой х = хе жидкость двигалась бы в нижних слоях пограничного слоя в направлении, обратном основному потоку; возшлкло бы «подтекание» жидкости к этой точке. Подчеркнем, что из такого рода рассуждений еще отнюдь нельзя было бы делать вывод о необходимости отрыва в точке, где дг. ||дд = О, вся картина течения с подтекапием могла бы (как это и было бы при А = О) находиться целиком в области пограничного слоя, не выходя в область основного потока, между теы как для отрыва характерен именно выход течения в основной объем жидкости. В предыдущем параграфе было показано, что картина движения в пограничном слое остается при изменении числа Рейнольдса подобной самой себе, причем, в частности, масштабы по координате х остаются неизменными.
Отсюда следует, что значение ле координаты л, при котором обращается в нуль производная (дп /ду) ~, -ш не меняется при изменении В.. Таким образом, мы приходим к существенному выводу, что положение точки отрыва на поверхности обтекаемого тела не зависит от числа Рейнольдса (до тех пор, разумеется, пока пограничный слой остается ламинарным; см, об этом ~ 45). Выясним еще, какими свойствами обладает распределение давления р(х) вблизи точки отрыва. При у = 0 левая часть уравнения (40.6) обращается в нуль вместе с г, и г„и остается д'Р, 1 дР (40.10) дд~ р=а р 4В Отса»да видно, что знак |1р/|1х совпадает со знаком двп,|др2~„— ш До тех пор, пока (де 1|ду)~р — е > О, о знаке второй производной ничего нельзя сказать. Но поскольку при удалении от стенки п,, положительно и растет (в области до точки отрыва), то в самой точке х =:гш где дев|'дд = О, должно во всяком случае быть двв«/ддз~р-в > О.
Отсюда заключаем, что — >О, (40.11) |Х Х:Т» т. е. вблизи точки отрыва жидкость движется от более низкого давления к более высокому. Градиент давления связан с градиентом скорости Г|(х) вне пограничного слоя соотношением 14р 411 — — = — Г1 —. р |1В |1т 236 ПО1'РАНИ'1НЫЙ СЛОЙ ГЛ 1" Поскольку положительное направление оси х совпадает с на- правлением основного потока, то Г > О, и мы заключаем, что (О, ЛУ 1|Х х=хо (40.12) т, е, вблизи точки отрыва скорость Г падает в направлении течения. Из полученных результатов можно вывести заключение о том, что при обтекании тела в том или ином т|есте его поверхности должен произойти отрыв.
Действительно, на заднем, как и на переднем, конце тела имеется точка, в которой при потенциальном обтекании идеальной жидкостью скорость жидкости обращалась бы в нуль (критическая точка). Поэтому, начиная с некоторого значения х, скорость Г(л) должна была бы начать падать, обращаясь в конце концов в нуль. С другой стороны, ясно, что текущая вдоль поверхности тела жидкость тормозится тем сильнее, чем ближе к стенке находится рассматриваемый ее слой (т. е. чем меныпе у). Поэтому, раньше чем обратилась бы в нуль скорость б|(х) на внешней границе пограничного слоя, должна была бы обратиться в нуль скорость в непосредственной близости от стенки.
Математически это, очевидно, означает, что производная дн /ду во всяком случае должна была бы обратиться в нуль (а поэтому отрыв не может не возникнуть) при некотором л, меньшем, чем то его значение, при котором было бы Г(т) = О. В случае обтекания тел произвольной формы все вычисления могут быть произведены соверп|енно аналогичным образом и приводят к резулыату, что на линии отрыва обращаются в нуль производные д11х/ду, дв,/ду от обеих касательных к поверхности тела компонент скорости гх и в, (ось у по-прежнему направлена по нормали к рассматриваемому участку поверхности тела).
Приведем простое рассуждение, которое показывает необходимость возникновения отрыва в случаях, когда в отсутствие отрыва в обтекающем тело потоке жидкости имелось бы достаточно быстрое возрастание давления (и соответственно этому падение скорости б|) в направлении течения. Пусть на малом расстоянии Ьх = хз — х| давление р испытывает достаточно большое увеличение от значения р| до ря (рв » р|). На том же расстоянии Ьл скорость У жидкости вне пограничного слоя падает от исходного значения с|1 ДО ЗначитЕльнО мЕныпсгО Значсния ГЙ, определяемого уравнением Бернулли: — (с'| — с~э) = — (рй — Р|) 2 11 Поскольку р не зависит от р, то увеличение давления рй — р| одинаково на всех расстояниях от стенки. При достаточно боль- движвиик ВВли'зи линии отгывл 237 шом градиенте давления др/сьт (рй — рг)/Ьт в уравнении дви- жениЯ (40.6) может быть опУщен член идзпт/ддз, содеРжащий вязкость (если только, разумеется, у не слишком мало).
Тогда можно и для оценки изменения скорости и в пограничном слое воспользоваться уравнением Бернулли, написав -(' — ') =--М вЂ” р) 1 з з 1 2 р или сравнивая с предыдущим равенством: (с1 ог). Но скорость п1 в пограничном слое меныпе скорости основного потока; можно выбрать такое у, для которого н1 ( У1 — Гз. г 2 Скорость пй оказывается, таким образом, мнимой, что свидетельствует об отсутствии физически осмысленных решений уравнений Прандтля, В действительности, на участке,Ьх должен возникнуть отрыв, в результате которого слишком большой градиент давления уменыпается. Интересным случаем возникновения отрыва является обтекание угла, образованного двумя пересекающимися твердыми поверхностями.
При ламинарном потенциальном обтекании выпуклого угла (см. рис. 3) скорость жидкости на крае угла обратилась бы в бесконечность (сьь задачу 6 3 10), возрастая вдоль потока, подходящего к краю, и убывая в потоке, уходящем от него. В действительности, быстрое падение скорости (и соответственно возрастание давления) за краем угла приводит к возникновению отрыва, причем линией отрыва является линия края угла. В результате возникает картина движения, рассмотренная в 3 35. При ламинарном же течении внутри вогнутого угла (сы, рис, 4) скорость жидкости обращается па краю угла в пуль.
Падение скорости (и возрастание давления) имеет здесь место в потоке, подходящем к краю угла. Оно приводит, вообще говоря, к возникновению отрыва, причем линия отрыва расположена вверх по течению от края угла. Задача Определить наименыпий порядок увеличения давления Ьр, которое должно иметь место (в основном потоке) на расстоянии Ья, для того чтобы произошел отрыв. Р е ш е н и е. Пусть у есть такое расстояние от поверхности тола, на котором, с одной стороны, уже можно применить уравнение Бернулли, а с другой стороны, такое,что квадрат е (у) скорости е в пограничном слое здесь меньше изменения ~ЛГ ~ квадрата скорости Г вне этого слоя. Для е(у) можно написать по порядку величины: 4е П оЬ) = — у- — у ду б (ГдЕ д (Р1/Г) Пе — ШИрИНа ПОГраНИЧНОГО СЛОЯ, 1 — раЗМЕрЫ тЕЛа). Прнраянивая порядки величины обоих членов в правой части уравнения (40.6), 238 ПО1'РАНИ'П1ЫЙ СЛОЙ ГЛ 1К получаем 1 гзр е(у) РП вЂ” — и р 1лх уэ ду Из чсловия же оз ~,аСГ' ~ 2лр 1р находим 77ву~/6~ 11р,1р.
Исключив у из обоих полученных соотношений, находим окончательно 8 41. Устойчивость движения в ламинарном пограничном слое Ламинарное движение в пограничнов1 слое, как и всякое другое ламинарное течение, при достаточно больших чишгах Рейнольдса становится в той или иной степени неустойчивым. Характер потери устойчивости в пограничном слое аналогичен потере устойчивости прн течении по трубе Я 28). Число Рейнольдса для течения в пограничном слое меняется вдоль поверхности обтекаемого тела. Так, при обтекании пластинки можно опРеДелить число РейпольДса как Кх = с7х71и, где х расстояние от переднего края пластинки, с7 скорость жидкости вне пограничного слоя. Более характерным для пограничного слоя, однако, является такое определение, в котором роль размеров играет какая-либо длина, непосредственно характеризующая толщину слоя: в качестве таковой можно выбрать толщину вытеснения, определенную согласно 139.26)1 йу = = 1,72 „ГЙ 141.1) (числовой коэффициент относится к пограничному спою на плоской поверхности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
