VI.-Гидродинамика (1109684), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При этом, однако, продольная скорость и„, падает вне следа значительно быстрее (как 1ггл ), , 2 чем внутри следа. Поэтому вдали от тела можно считать, что продольная скорость и имеется только внутри следа, а вне его и = О. Можно сказать, что и спадает от некоторого максимального значения на «оси» следа до нуля на его границе. Что же касается поперечных скоростей ик, и„то на границе следа они того же порядка величины, что и внутри него, а при удалении от следа (при неизменном расстоянии от тела) они быстро падают. 8 38. Теорема ~Куковского Описанный в конце предыдущего параграфа характер распределения скоростей вокруг обтекаемого тела не относится к исключительным случаям, когда толщина образующегося за телом следа очень ъгала по сравнепиго с его шириной.
Такой след 219 8 38 ткОРкмл жукоискОГО образуется при обтекании тел, толщина которых (в направлении оси у) мала по сравнению с их шириной в направлении и (длина же в направлении обтекания оси л может быть произвольной), другими шювами, речь идет об обтекании тел, поперечное (к направлению движения) сечение которых обладает сильно вытянутой в одном направлении формой.
Сюда относятся, в частности, обтекания крь1льев тел, размах которых велик по сравнению со всеми остальными их размерами. Ясно, что в таком случае нет никаких причин для того, чтобы перпендикулярная к плоскости турбулентного следа скорость иу заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины шседа.
Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый порядок величины как внутри следа, так и на значительных (порядка размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, предполагается, что подъемная сила отлична от нуля, в противном случае поперечная скорость практически вообще отсутствует. Рассмотрим вертикальную подьемную силу Гу, развивающуюся при таком обтекании. Согласно формуле (21.2) опа определяется интегралом Е, = — рП Ц иу пу сЬ, (38.1) причем ввиду характера распределения скорости иу интегрирование в данном случае должно производиться по всей поперечной плоскости. Более того, поскольку толщина следа (по оси у) мала, а скорость и, внутри него отнюдь не велика по сравнению с этой же скоростью впе следа, то в рассматриваемом случае можно с достаточной точностью ограничиться при интегрировании по 11у У интегрированием только по области вне следа, т. е, написать: 1 уеду= /' пуду+ 1«уеду, У1 где у1 и уя координаты границ следа (рис.
2б). Рис. 26 Но вне следа движение потенциально и иу — — д1р/ду; имея в виду, что на бесконечности 1р = О, получаем поэтому и1 пу = 1ря — 1рм / где 1р2 и 1р1 —. значения потенциала па обеих сторонах следа; можно сказать, что 1ря — 1р1 есть скачок потснциала на поверхности разрыва, которой можно заменить тонкий след. Что же касается производных от 1р, то производная и„= д1р,11ду должна 220 гл 111 тх вилки"гяость Ь„= — Ф~~(ю — д1) 4 (38.2) Интегрирование по дв распространяется фактически лишь по ширине следа (вне следа, конечно, ~рв — ~р1 = 0). Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от градиента скаляра можно написать разность ~рэ — ~р1 в виде криволинейного интеграла 1 =1~, .*ъ взятого по контуру, выходящему из точки ры огибающему тело и приходящему в точку дв, проходя, таким образом, везде в области потенциального движения.
А благодаря тонкости следа можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким отрезком от у~ до уз, превратив его таким образом в замкнутый. Обозначая буквой Г циркуляцию скорости по замкнутому контуру С, охватывающему тело (рис. 26): Г= 1пд= рв р1, (38.3) получаем для подъемной силы формулу Г, = — рог ~Г(Ь. (38.4) Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода контура в направлении против часовой стрелки.
Знак в формуле (38.3) связан также и с выбором направления обтекания: мы предполагали везде, что обтекание происходит в положительном направлении оси гв (поток натекает слева направо). оставаться непрерывной. Скачок нормальной к поверхности следа кохаюненты скорости означал бы, что некоторое количество жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в котором толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсутствовать. Таким образом, мы заменяем след поверхностью тангепциального разрыва. Далее, в этом же приближении па следе должно быть непрерывно также и давление. Поскольку изменение давления определяется согласно формуле Бернулли в первом приближении величиной р~1и = рГду/дх, то отсюда следует, что должна быть непрерывна и производная ду/дт.
Производная жс ду/дв скорость в направлении размаха крыла испытывает, вообще говоря, скачок. Ввиду непрерывности производной др/дл скачок уз — р1 есть величина, зависящая только от в, но не от координаты х вдоль длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы следующую формулу: тьогьма экукопского 221 Устанавливаемая формулой (38.4) связь подъемной силы с циркуляцией скорости составляет содержание ъаео)эемьс Н.
Е. Жуковского (1906). К применению этой теоремы к хорошо обтекаемым крыльям мы вернемся еьце в 3 46. Задачи 1. Определить закон расширения турбулентного следа, образующегося при поперечном обтекании бесконечно длинного цилиндра. Р е ш е н и е. ДлЯ силы сопРотивлении ую отнесенной к единице дли- ны цилиндра, имеем по порядку величины уг рГиу. Комбинируя это с соотношением (37.1), получаем для ширины следа Р: У=А Ж ')1 ррв' где А — постоянная.
Средняя скорость и в следе падает по закону Число Рейнольдса В Кпг/и ~„ДирЩ не зависит от т и потому ламинар- ного участка след не имеет. Укажем, что согласно экспериментальным данным постоянный коэффи- циент в (1) равен А = 0,9 (причем 1' есть полуширипа следа); ести под 1' понимать расстояние, на котором скорость ив падает до половины своего максимального значения по середине следа,то А = 0,4. 2. Определить движение вне следа, образующегося при поперечном об- текании бесконечно длинного тела. Р е ш е и и е. Вне следа движение потенциально 1потенциал обозначаем здесь буквой Ф в отличие от угла Р в цилиндрической системе координат , 1э с осью г вдоль длины тела).
Подобно тому как было сделано в 121.16), заключаем, что должно быль пЖ = / TФпг" = — ", 1' РН' где теперь интегрированиепроизводится по поверхности цилиндра большо- го радиуса с осью вдоль оси л и длиной, равной единице, а у есть сила сопротивления, отнесенная к единице длины тела.
Удовлетворяющее этому условию решение двумерного уравнения Лапласа сгФ = 0 есть Ф = 1пг. У. 2ярП Далее, для подъемной силы имеем согласно (38.2) ~э = д111Ф1 — Фв). Наигленее быстро убывающим с расстоянием решением уравнения Лапласа, испытывающим скачок на плоскости Р = О, является ф = сопэс Р = — Ф 1" 2хрбг (выбор константы определяется тем, что уэ — 1э~ = 2я). Движение жидкости определяется суммой обоих найденных решений: Ф = (у,!и г — Уэф.
1 (2) 2хрГ 222 гл. Рн ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Цилиндрические компоненты скорости и равны др У. 1др ); ж д1 2ирЮт т ду 2трПт Скорость и образует с пилнндрическим радиус-вектором постоянный угол, тангенс которого равен у„/),. 3. Определить закон изгибания следа за бесконечно длинным телом при наличии подъемной силы. Р е ш е н и е.
При наличии подъемной силы след (рассу1атриваеыый как поверхность разрыва) изгибается в плоскости ху. Закон у = у(х) этого изгибания определяется уравнением ох ду и,+~1 иг Подставив сюда согласно (3) иц — уу/(2ярГх) н пренебрегая и по сравнению с Ц, получим оУ ТР дх 2ярЦзх откуда у = сопБС вЂ” !пх. Ь 2прЦБ ГЛАВА Гг' ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ я 39. Ламинарный пограничный слой Мы уже неоднократно ссылались на то обстоятельство, что очень большие числа Рейнольдса эквивалентны очень малой вязкости, в результате чего жидкость может рассматриваться при таких В как идеальная. Однако такое приближение во всяком случае непригодно для движения жидкости вблизи твердых стенок.
Граничные условия для идеальной жидкости требуют лишь исчезновения нормальной составляющей скорости: касательная же к поверхности обтекаемого тела компонента скорости остается, вообще говоря, конечной. Между тем, у вязкой реальной жидкости скорость на твердых стенках должна обращаться в нуль. Отсюда можно сделать вывод, что при больших числах Рейнольдса падение скорости до нуля будет происходить почти полностью в тонком пристеночном слое жидкости. Этот слой носит название пограничного и характеризуется, следовательно, наличием в нем значительных градиентов скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
