VI.-Гидродинамика (1109684), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Скорость жидкости в волне определяется согласно с р с чл = -р,пм чв = -р,пе. Р Р Полная скорость па стенке м = чл -~ чз есть поэтому с и = е„= 2Азшр-е Р (вернее,. это есть то значение скорости, которое она имеет без учета верных граничных условий на поверхности стенки при наличия вязкости).
Истинный ход скорости е„вблизи стенки определяется формулой (24.13), а связанная с вязкостью диссипация энергии — формулой (24.14), в которые надо вместо еее *" подставить полученное выше выражение для е. Отклонение Т' температуры от своого среднего значения (равного температуре стенки) без учета правильных граничных условий на стенке получилось бы равным (ель (64.13)) Т' =24' ~/3 свр В действительности же распределение температуры определяется уравнением теплопроводности с граничным условием Т' = О при х = О и соответственно этому изображается формулой, в точности аналогичной (24.13). Вычисляя связанную с теплопроводностью диссипацию энергии согласно первому члену формулы (79.1), получим в результате для полной диссипации энергии, отнесенной к единице площади поверхности стенки: я..„=-А ' ~,7~( —" — 1) в1 ев, ~.
Средняя плотность потока энергии, падаклщего на единицу поверхности стенки с падающей волной, равна — саА сре~ соз д = соз В. 2р Поэтому доля энергии, поглощающейся при отражении, есть 2 ~з)п рлуи -~ ( —" — 1) лЯ~~ . Это выражение справедливо лишь до тех пор, пока оно мало (при выводе мы считали амплитуды падающей и отраженной волн одинаковыми). Это условие означает, что угол падения В не должен быть слишком близким к х/2. 428 гл гш звяк В обратном предельном случае болыпнх частот из (3) находим ы .
ст к = — +« — (с, — ст). ст 2Хс) В этом случае звук распространяется с «изотермической» скоростью ст (всегда меньшей скорости с,). Коэффициент же поглощения оказывается снова малым (по сравнению с обратной длиной волны), причем он не зависит от частоты и обратно пропорционален теплопроводности ').
4. Определить дополнительное поглощение звука, распространяющегося в смеси двух веществ, связанное с диффузией (И.Г. Шапоитиков и Э.А. Гольдберц 1952). Р е ш е н и е. В смеси имеется дополнительный источник поглощения звука, связанный с тем, что возникающие в звуковой волне градиенты температуры и давления приводят к появлению необратимых процессов термо- и бародиффузии (градиента же массовой концентрации, а с ней и чистой диффузии, очевидно, не возникает). Это поглощение определяется членом три 'Хос),, Г в скорости изменения энтропии (59.13) (мы обозначим здесь концентрацию буквой С в отличие от скорости звука с). Диффузионный поток уй.т ' = — рп( — ~т+ — "ср) (,т р с 1р из (59.10).
Вычисление, аналогичное произведенному в тексте, с использованием ряда соотношений между производными термодинамических величин приводит к следующему результату: к выражению (79.6) для коэффициента поглощения добавляется член 5. Определить эффективное сечение поглощения звука шариком, радиу с которого мал по сравнению с Х/и7ю. Р о ш е н и е. Полное поглощоние складывается из эффектов вязкости и теплопроводности газа. Первый определяется работой стоксовой силы трения при обтекании шарика движущимся в звуковой волне газом (как и в задаче 3 э' 78, предполагается, что шарик не увлекается этой силой). Второй эффект определяется количеством тепла д, передаваемым в единицу времени от газа шарику (задача 3 3 78): диссипация энергии при передаче тепла 9 ) Второй корень квадратного по ае уравнения (3) соответствует быстро затухающим с х тепловым волнам.
В предельном случае шХ «гв этот корень дает Ч Х у'2Х в согласии с (52.15). В случае же иХ» сэ получается 8 80 лкус'ги 1кское ткчкнив при разности температур Т' между газом 1вдали от шарика) и шариком равна дТ'7Т. Для суммарного аффективного сечения поглощения получается выражение а = 2™ ~зм -~-2Х( —" — 1) ~. й 80. Акустическое течение Одно из самых интересных проявлений влияния вязкости на звуковые волны состоит в возникновении стационарных вихревых течений в стоячем звуковом поле при наличии твердых препятствий или ограничивающих его твердых стенок.
Это движение 1его пазыввяот акуспгическим течением) появляется во втором приближении по амплитуде волны; его характерная особенность состоит в том, что скорость движения в нем 1в пространстве вне тонкого пристеночного слоя) оказывается не зависящей от вязкости, —. хотя самим своим возникновением оно обязано именно вязкости 1Ртау1ег8Ь, 1883).
Свойства акустического течения наиболее типичным образом проявляются в условиях, когда, характерная длина задачи (размеры препятствий или области движения) мала по сравнению с длиной звуковой волны Л, но в то же время велика по сравнению с введенной в 2 24 глубиной проникновения вязких волн Л » 1 » й. 180.1) Ввиду последнего условия, в области движения можно выделить узкий акустический пограничный слой, в котором происходит падение скорости от ее значения в звуковой волне до нуля на твердой поверхности.
Поскольку скорость газа в этом слое (как и в самой звуковой волне) мала по сравнению со скоростью звука, а его характерный размер- толщина о - мал по сравнению с Л 1ср. условие 110.17)), то движение в пем можно рассматривать как несжимаемое. Рассмотрим акустический пограничный шюй у плоской твердой стенки 1плоскость хг), причем движение будем считать плоским в плоскости ху 1Н, ЯсЫгсЫтд, 1932). Приближения, связанные с малой толщиной пограничного слоя, описаны в 3 39 и сохраняют силу для рассматриваемого нестационарного движения. Нестацнонарность приводит лишь к появлению в уравнении Прапдтля 139.5) членов с производными по времени: дс, де дс д с дс1 дГ '+их — '+ив — * — и," =à — + —, 180.2) дг ' дх " ду див дх дг ' 1производная ар/йх выражена через скорость Г(х, 1) течения вне пограничного шюя с помощью уравнения 19.3)).
В данном случае Г = ивсовйх. совоЛ = ивсовКх Вес '~' 1803) 430 звук гл юп (Й = ьг/с), что соответствует стоячей плоской звуковой волне с частотой ы. Искомую скорость м в пограничном слое выразим через функцию тока уг(х, у, 1) согласно ду~ д~ ок 1 пу ду дх чем автоматически удовлетворяется уравнение непрерывности (39.6). Будем реп|ать уравнение (80.2) последовательными приближениями по малой величине оо амплитуде колебаний скорости газа в звуковой волне. В первом приближении пренебрегаем квадратичными членами полностью.
Решение уравнения о) к о) дг, де ., — ил — = — идно сов йх . е дг дуг удовлетворяющее требуемым условиям при у = 0 и у = оо, есть о~~ ~ = Йе) по сов Кх е 'и (1 — е ~)), где (80.4) (г) сй в1п2~х ~~')(у) с и для функции ~00(у) находим уравнение бг~(г)'" ~ ~ ~~ВУ ~з + 1 В (~0)*~Я") 2 2 2 где штрихи означают дифференцирование по у. (80.7) (80.8) Соответствующая функция тока (удовлетворяющая углови|о 00 ~(0 = 0 при у = О, эквивалентному условию ов~ — — 0) есть угО~ = Ве(во совах. ~00(у)е (80 5) С ~ (у) = у + -е В следующем приближении пишем ч = ч~И + туг) и для скорости тДг~ получаем из (80.2) уравнение д д"' (о д~ ду' дх дх ду В правой части имеются члены с частотами ш + ы = 2ш и ш — ы = О.
Последние приводят к появлению в ч~~) не зависящих от времени членов, которые и описывают интересующее нас стационарное движение; ниже мы будем понимать под т Ог~ только эту часть скорости. Соответствующую часть функции тока запишем в виде 431 8 80 лкус'ги !ескоп твчьггнь Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям г,121(0) = О, г,'121 (0) = О, эквивалентным требованию пх( ~ = О~~ ~ = = 0 па твердой поверхности. Что же касается условий вдали от стенки, то можно лишь потребовать, чтобы скорость о стреми- 12) лась к конечному значению (но не к нулю). Подстановка (80.5) в (80.8) и двукратное интегрирование приводят к следующему 2" результату для производной г,г ': г',( ) (У) = — — -Е "г — Е ~г 8Ш- — -Е Р СО8 — + 8 8 д 4 4 + — "е "г' сов —" — вшЛ 4д 1 6 6/ При у — 1 со она стремится к значению 1,(2) (оз) = 3,18, (80.9) чему отвечает скорость н~.
г(оо) = — '81пЖх. (80.10) 8с Этот результат демонстрирует указанное в начале параграфа явление. Мы видим, .что вне пограничного слоя возникает (во втором приближении по 00) стационарное движение, скорость которого не зависит от вязкости. Ее значение (80.10) служит граничным условием при определении акустического течения в основной области движения (см. задачу) 1) . Задача Определить акустическое течение в пространстве между двумя плоскопаразлельпыми степками (плоскости у = 0 и у = Ь), в котором имеется стоячая звуковая волна (80.3). Расстояние 1г между плоскостями (играющее роль, характерной длины Ц удовлетворяет условиям (80.1) (ггау1ег81г, 1883). Р е ш е н и е.
Ввиду малости скорости с~ ~ искомого стационарного движения по сравнению со скоростью звука, его можно считать несжимаемым. Волее того, ввиду предполагаемой сколь угодной малости скорости ве в звуковой волне (а вместе с ней и скорости о геггс), в уравнении движения И1 2 можно пренебречь квадратичными членами ) . Тогда уравнение (13.12) для г ') Поперечная скорость, отвечающая продольной скорости (80.0), есть с~ ~ = — усов 2кк << с~ ~. Зге ь г 4с При решении задачи о движении вне пограничного слоя зта скорость возникает автоматически в силу уравнения непрерывности, если поставить граничное условие сг~ ~ = 0 при р = О.
) другими шювами, отношение ооггс пре„щолагается малым по сравнению со всеми другими малыми параметрами задачи; в частности, сеггс « а,гл. 432 гл гш звук функции тока сводится к уравнению аз аз ' ' ~,дхе дуе ) (отметим, что оно возникает из члена с вязкостью, но сама вязкость из него выпадает). Ищем 1ЭО1 в виде (80.7). Ввиду условия 6 « Л производные по у велики по сравнению с производными по х; пренебрегая последними, получим для функции С1 (у) уравнение ь =О. (1) Ввиду очевидной симметрии задачи, течение симметрично относительно плоскости у = 6/2. Это значит,что е~ 1(х, у) = ет1 (х, 6 — у), е~ 1(х, у) = — о„"1(х, 6 — у), для чего должно быть (У) ь ( У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
