VI.-Гидродинамика (1109684), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Из них можно сразу сделать вывод о возможности существования двух типов поверхностей разрыва. В первом случае через поверхность разрыва нет потока вещества. Это значит, что р1о1 = рго2, = О. Поскольку р1 и р2 отличны от нуля, то это значит, что должно быть о1 = о2 = О. Условия (84.2) и (84.4) в этом случае удовлетворяются автоматически, а условие (84.3) дает р1 = р2. Таким образом, на поверхности разрыва в этом случае непрерывны нормассьная компонента скорости и давление газа: о1.
=о2 =О, [р]=0. (84.5) Тангенциальные же скорости о„, о, и плотность (а также другие термодинамические величины., кроме давления) могут испыты- вать произвольный скачок. Такие разрывы будем называть тан- генциальнылт. Далее, должен быть непрерывным поток энергии. Поток энергии определяется выражением (6.3). Поэтому мы получаем условие 1 84 поввРхности РлзРывл Во втором случае поток вещества. а с ним и пг и п2 отличны от нуля. Тогда из [84.1) и [84.4) имеем [пя] =О, [и ] =01 (84.6) т.
е. тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разрыва. Плотность же, давление (а потому и другие термодинамические величины) и нормальная скорость испытывают скачок, причем скачки этих величин связаны соотношениями [84.1) -(84.3). В условии (84.2) мы можем в силу (84.1) сократить рп, а вместо и в силу непрерывности пу и и, написать еж Таким обра- 2 2 зом, па поверхности разрыва в рассматриваемом гзучае должны иметь место условия: ~ — *+из~ =О, [Р+ Р41тв] = О. (84.7) [рпт] = О, Разрывы этого типа называют ударными волнами.
Еп1пи теперь вернуться к неподвижной системе координат, то вместо и надо везде писать разность между нормальной к поверхности разрыва компонентой гв скорости газа и скоростью и самой поверхности, направленной,по определению, по нормали к ней: Задачи 1. Исследовать устойчивость (по отношению к бесконечно малым возмуп4ениям) тангенциальных разрывов в однородной сжимаемой среде (газ или жидкость). 11 е ш е н и е. Вычисления аналогичны произведенным в 8 29 для несжимаемой жидкости.
Как и там, по нормали к поверхности направим ось ж 41я — Пв [84.8) Скорости ьа и и берутся относительно неподвижной системы отсчета. Скорость и есть скорость движения газа относительно поверхности разрыва; иначе можно сказать, что — оя = и — пв есть скорость распространения самой поверхности разрыва относительно газа.
Обращаем внимание на то, что эта скорость различна по отношению к газу с обеих сторон поверхности [если пв испытывает разрыв). * Тангенциальные разрывы, на которых испытывают скачок касательные компоненты скорости, рассматривались нами уже в 8 29. Там было показано, что в несжимаемой жидкости такие разрывы неустойчивы и должны размываться в турбулентную область. Аналогичное исследование для сжимаемой жидкости показывает, что такая неустойчивость имеет место и в общем случае произвольных скоростей [сы.
задачу 1). ЧаСтНЫМ СЛуЧаЕМ таНГЕНцИРМ1ЬНЫХ раЗрЫВОВ яВЛяЮтея раэрывы, в которых скорость непрерывна и испытывает скачок только плотность [а с ней и другие термодинамические величины за исключением давления); такие разрывы называют контактнылги. Сказанное выше о неустойчивости к ним не относится. 452 удлгные волны 1'Л 1Х В среде Я (со скоростью ч2 = О, 2 < 0) давление удовлетворяет уравне- НИ!О р2 — с 25р2 = 0 (вместо уравнения Лапласа (29.2) в несжимаемой жндкости).
Ищем р2 в виде (2) ,1 ~ .. . ,1 (ш — де соз 22)2 ) 'Ге!92 222 (ь2 — де соа 22)2 З Корень первого множителя 1 ь2 = — 9 в соз 22 (5) 2 всегда веществен. Корни второго множителя: 1!/2 ш = — иусоз1схд~ — е соз О+с хе(с +с соз !2) ~ ! (6) 1 (1 2 2 д 2 2 2 !12 2 '14 эти корин вещественны только при е сов 22 ) ею где еь = 2~1 2с. Таким образом, при е сов сс < ег Дисперснонное уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней, для одного из которых будет 1ш ь2 ) 0; соответствующие возмущения приводят к неустойчивости. При е < еэ таковы (7) Рз = СОВЗФ ' ЕХР ( — 2Ь21 -~- 2ЯУ Ч- 2М22), где волновое число «ряби» на поверхности обозначено через д (вместо к в 29); если ме комплексно, то оно должно быть выбрано так, чтобы было шаг! < О.
Волновое уравнение приводит к соотношению !л = с (9 + м2). (1) Вместо (29.7) тем же образом находим теперь р' = б~ 2Д' ' ). В газе 1, движущемся со скоростью ч1 = ч (2 > 0), ищем р', в виде р1 — — сове! ехр( — 1с22-Р 19х — 2!и!2), Для упрощения выводов предположим сначала, что скорость ч направлена тоже по оси т.
Соотношение между ш, 9, м1 дается формулой (ь2 — ед) = с (д ч- н,) (ср. (68,1)). Вместо (29,6) получаем теперь р = 'ь( Ч ) Р2(! 1) и условие р', = р2 приводит к уравнению -~- — = О. (3) (,„ , Р ,,2 От сделанного выше предположения о направлении скорости ч можно изба- виться, заметив, что невозмушенная скорость входит в исходные линеарнзо- ванпые уравнение непрерывности и уравнение Эйлера только в комбинации (чч) (соответственно в членах (ъЯ)р и ~(РЯ)ч ). Поэтому для перехода к произвольному направлению ч (в плоскости ху) достаточно заменить в (Ц— (3) и па е сов л, где у — угол между ч и Ч (ср.
примеч. на с. 155). Исключив м1, мг из (1) (3), получим следующее дисперсионное уравне- ние для определения частоты возмущения ш по волновому чиш1у 93 453 5 84 повкгхг!Ости Рмггыва возмугцения с любым углом сг, а при и > оь неустойчивы только возмущения с сов сг < пь,ггс В результате тангенциальный разрыв неустойчив всегда. Отметим, что сам факт ноустойчивости (если не интересоваться по отношению к каким именно возмущениям) очевиден уже из неустойчивости в случае несжимаемой жидкости в совоку-пности с тем обстоятельством, что в дисперсионное уравнение скорость в входит только в комбинации е сов 7г: какова бы ни была скорость о, найдутся гвкие углы гг, для которых гсов 1г«с, так что по отношению к таким возмущениям среда ведет себя как несжимаемая ) . 2.
На тангенциальный разрыв в однородной сжимаемой среде падает плоская звуковая волна; определить интенсивности отраженной от рагрыва волны и волны, преломленной иа нем (а'. Иг. Мйег, 1957; Н.Н. Кг5пег, 1957). Р о ш е н и е. Выбираем оси координат, как в предыдущей задаче, причем скорость ъ (в среде 1, г ) 0) направлена по оси т. Пусть звуковая волна падает из неподвижной среды (среда 2, г < 0); направление ее волнового вектора 1с задается сферическими углами В и гг: угол  — между 1с и осью з, угол эг — между проекписй 1с иа плоскость хр (обозпачим ео через ц) и скоростью гн ы к, = Осовев, 1сг — — ов|п гг, 5.- = — сов В, 9 = — вшВ = 1ссшВ, с с причем 0 < В < х/2 (волна падает в положительном направлении оси г). В среде 2 ищем давление в виде рг = ехр (г(к,„т 4- Йгу — щ1Яе™*' 4- Ае ".') „ где А —.
амплитуда отраженной волны, а амплитуда падающей волны услов- но принята за единицу. В среде 1 имеем одну преломленную волну: рс —— Н схр [г(х„х 4- агу 4- хг — ю1))., где х удовлетворяет уравнению („, Ой,)г = гг(1с' + 5' + хг) (ср. (2)). Амплитуды А и В определяются из условий непрерывности дав- ления и вертикального смещения жидких частиц по обе стороны разрыва: рг = рг пргс г = О., с,с = с,г = (. Это дает два уравнения х /с, 1 + А = В, В = — (1 — А), ( ь)г г откуда (ю — и/с,)'7х — ьг~(Я, 2(ю — е1с,)'/х оь )гг +„гД, ' (,„пй )гг чем и решается поставленная задача.
Знак величины х, о х = — ((1 — МгйпВ сов эг) — вш В), М = —, с с должен быть выбран с уютом предельных условий при г -э ош скорость преломленной волны должна быть направлена от разрыва, т. е. г (9) дх щ — ей ') Значение (7) получено Л.Д. Ландау (1944). Необходилюсть учета в этой задаче неколлинеарпости ч и с1 указана С.И. Сыроеатскпм (1954).
454 гл ~х хдлгныь волны Из полученных формул видно, что возможны три различных режима отражония. 1) При Мсов1г < 1/в1пд — 1 величина и вещественна, а поскольку ш — ек, > О, то согласно ушювию (9) и > О. Из (8) видно, что при этом ~А~ < 1 — отражение происходит с ослаблением волны. 2) При 1/вша — 1 < М сов з~ < 1/гйпВ+1 величина и мнима и ~А~ = 1,— происходит полное внутреннее отражение звуковой волны.
3) Прн М сов 1г > 1 Ч- 1/гйва ( гго возможно лишь при М > 2) величина и снова вещественна, но теперь надо выбрать и < О. Согласно (8) при этом ~А~ > 1, т. е. отражение происходит с усилением волны. Более того, знаменатели выражений (8) с эг < О могут обратиться в нуль при определенных углах падения волны, и тогда коэффициент отражения обращается в бесконечность. Поскольку этот знаменатель совпадает (с точностью до обозначений) с левой частью уравнения (3) предыдущей задачи, то можно сразу заключить, что «резонансные» углы падения определяются равенствами (5) и (6) (последнее — при М > 2М'). В свою очередь, бесконечность коэффициента отражения (и прохождения), т.
е. конечность амплитуды отраженной волны при стремящейся к нулю амплитуде падающей волны, означает возможность спонтанного излучения звука поверхностью разрыва: раз созданное па пей возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать звуковые волны, не затухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемым звуком, черпается нз всей движущейся среды. Плотность потока энергии (усредненная по времени) в преломленной волне — с эг ш )В! дэ —— Г.Еэ = ш — е/г,, ш — и)г, 2рсз (Еэ из (68.3)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
