VI.-Гидродинамика (1109684), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Возрастание энтропии в ударной волне оказывает еще и другое существенное влияние на движение: если движение газа впереди ударной волны потенциально, то за ней оно, вообще говоря, становится вихревым; мы вернемся к этому обстоятельству в 8 114. 8 86. 'Ударные волны слабой интенсивности Рассмотрим ударную волну, в которой все величины испытывают лишь небольшой скачок: о таких разрывах мы будем говорить как об ударных волнах слабой интенсивности. Преобразуем соотношение (85.9), производя в нем разложение по степеням малых разностей в2 — а1 и ря — рз. Мы увидим, что при таком разложении в (85.9) сокращаются члены первого и второго порядков по ря — р~., поэтому необходимо производить разложение по рз — рз до членов третьего порядка включительно. По разности жс в2 — э1 достаточно разложить до членов первого порядка. Имеем /дю~ / дев 'з шя — зззз = ( — ) (ав — аз) + ~ — ( (рз — рз) + дз1 р дг1 8 +-,'( — ',;) (.— )'+-,'( — ',",') ( -р)' э данные волны славой интннсивности По согласно термодинамическому соотношению сгиг = Т г1в+ 1г г1Р имеем для производных: Поэтому (дг1') >О 186.2) Подчеркнем, однако, что это неравенство не является термодинамическим соотношением и, в принципе, возможны его нарушения г) .
Как мы неоднократно увидим ниже, в газодинамике ) Для политропного газа Это выражение проще всего можно получить путем дифференцирования уравнения аднабаты Пуассона р1гт = совам г ) Так, это может иметь место в области вблизи критической точки жидкость — газ. Ситуация с нарушением условна 186.2) может быть также имитирована на ударной адиабатс для среды, допускшошей фазовый переход Лв результате чего на адиабате возникает излом). См. об этом в кнс Зельдович Я.Б., Райзер И.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродннамических явлений.
Изд. 2-е. — М.: Паука, 1966, гл. 1, 9 19; гл. Х1, ~ 20. н12 ло1 х11в2 в1) + г11Р2 Р1) + г +-( — ) ь -»)'+-(,) ( — )' Объем г2 достаточно разложить только по р2 — Рл, поскольку во втором члене уравнения 185.9) уже имеется малая разность Р2 — рл и разложение по в2 — вл дало бы член порядка 1в2— — э1) 1Р2 — Рл), не интересующий нас. Таким образом, ~'2 ~'1= ( ) ~Р2 Рл)+ ( г) 1Р2 Р1) Подставляя эти разложения в (85.9), люлучим следующее соотношение: в2 в1 ) г ) 1Р2 Р1) 186. Ц 12Тл дрг в Таким образом, скачок энтропии в ударной волне слабой интенсивности является малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления.
Адиабатическая сжимаемость вещества -- (д'и'/др), практически всегда падает с увеличением давления, т. е. вторая производная ') 460 хдлгиыи Волны гл ~х знак производной (86.2) весьма существен: в дальнейшем мы будем всегда считать его положительным. Проведем через точку 1 (рм 'Р1) на р, И-диаграмме две кривыс ударную адиабату и адиабату Пуассона. Уравнение адиабаты Пуассона есть Вэ — В1 = О.
Из сравнения этого уравнения с уравнением (86.1) ударной адиабаты вблизи точки 1 видно, что обе кривые касаются в этой точке, причем имеет место касание второго порядка совпадают не только первые, но и вторые производные. Для того чтобы выяснить взаимное расположение обеих кривых вблизи точки 1, воспользуемся тем, что согласно (86.1) и (86.2) при рэ ) р1 на ударной адиабате должно быть вз > вм между тем как на адиабатс Пуассона остается ве = вм Поэтому абсцисса точки на ударной адиабате должна быть при той же ордипате ре больше абсциссы точки на адиабате Пуассона.
Это следует из того, что согласно известной термодинамической формуле энтропия растет с увеличением объема при постоянном давлении для всех тел, которые расширяются при нагревании, т. е. У котоРых (д1'1дТ)р ) О. Аналогично УбеждаемсЯ в том, что ниже точки 1 (т. е, при ря ( рг) абсциссы точек адиабаты Пуассона должны быть больше абсцисс ударной адиар и'и' баты. Таким образом, вблизи точки своего касания обе кривые расположены указанным на рис. 55 образом (НН' ударная адиабата, а РР' адиабаты Пуассона) '), причем в силу (86.2) обе обращены вогнутостью вверх. При малых рэ — р1 и 7з — 1'~ формулу (85.6) можно написать в первом приближении в виде (мы пишем здесь производную при постоянРис.
55 ной энтропии, имея в виду, что касательные к адиабатам Пуассона и ударной в точке 1 совпадают). Далее, скорости п~ и пя в том же приближении одинаковы и равны Но это есть не гто иное, как скорость звука с. Таким образом, скорость распространения ударных волн слабой интенсивности ') При (дЪ'!дТ)р < О расположение обеих кривых было бы обратным.
НАПРАВЛЕНИЯ ИЗМВНВНИЯ ВЯЛИ 1ИН В УДАРГ1ОЙ ВОЛНЯ 461 8 82 совпадает в первом приближении со скоростью звука: (86.3) Из полученных свойств ударной адиабаты в окрестности точки 1 можно вывести ряд существенных следствий. Поскольку в ударной волне должно выполняться условие 82 > 81, то должно быть и Р2 >Р1, т.
е, точки 2 (р2, И2) должны находиться выше точки 1. Далее, поскольку хорда 12 идет круче касательной к адиабате в точке 1 (см. рис. 53), а тангенс угла наклона этой касательной равен производной (др1/др1) А11 имеем "-(;,",)., Умножая это неравенство с обеих сторон на ум находим — — Н1> — 1г~ ( — ) =( — ) =С1, скорость звука, соответствующая точке 1.
Таким обра- ГДС С1 зом, П1 > С1. Наконец, из того, что хорда 12 расположена менее круто, чем касательная в точке 2, аналогичным образом следует, что О2СС2 ). Упомянем еще, в заключение, что при (д~~'/др ), ( 0 из условия 82 > 81 для ударных волн слабой интенсивности следовало бы р2 ( рм а дпя скоростей — те же неравенства В1 > с11 О2 С С2. й 87. Направление изменения величин в ударной волне Таким образом, в предположении положительности производной (86.2) для ударных волн слабой интенсивности можно весьма просто показать, что условие возрастания энтропии с необходимостью приводит также и к неравенствам Р2 > Р1 (87.
Ц 111 > г1, 112 С с2. (87.2) Из замечания, сделанного по поводу формулы (85.6) следует, что если р2 > р1., то У2 ( У1, (87. 3) 1 ) Последняя аргументация применима только вблизи точки 1, где тангенс угла наклона касаз ельной к ударной адиабате в точке 2 отличается от производной (др11д1:е)ем лишь на величину второго порядка малости. 462 УДЛРНЫЬ ВОЛНЫ ГЛ 1Х а поскольку 1 = п1,%1 = п2/$'2, то и ') (87.4) П1 > П2. Неравенства (87.1) и (87.3) означают, что при прохождении газа через ударную волну происходит его сжатие его давление и плотность возрастают. Неравенство п1 > с~ означает, что ударная волна движется относительно находящегося перед ней газа со сверхзвуковой скоростью; ясно поэтому, что в этот газ не могут проникнуть никакие исходящие от ударной волны возмущения.
Другими словами, наличие ударной волны вовсе не сказывается на состоянии газа впереди нее. Покажем теперь, что все неравенства (87.1)-(87.4) справедливы и для ударных волн произвольной интенсивности при том же предположении о знаке производной (д К/др )а е) . Величина 12 определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки ударной адиабаты 1 в произвольную точку 8 ( — 12 есть тангенс угла наклона этой хорды к оси )г). Покажем, прежде всего, что направление изменения этой величины при перемещении точки 8 вдоль адиабаты однозначно связано с направлением изменения энтропии з2 при том же перемещении. Продифференцируем соотношения (85.5) и (85.8) по величинам, относящимся к газу 8 при заданном состоянии газа 1.
Это значит, что дифференцируются р2, 'Р2, ю2 и 1 при заданных значениях р1, Рм и~1. Из (85.5) получаем сгР2+У гЛ'2 = (Р1 12) сг(У )~ а из (85.8): с1ю2+1 г211И2 = — (Р1 — И2) 11(1 ) 2 или, раскрыв дифференциал дю2.' Т2 сЬ2+ И2(а1р2+ 12 сй 2) = — (Г1~ — 'Р2~) Й(12). Подставив сюда др2 + 1~ сЛ~2 из (87.5), получим соотношение Т2сЬ2 = -(Г1 — $2) д(1').
2 (87.6) ) Если перейти в систему отсчета, в которой газ 1 перед ударной волной покоится, а волна движется, то неравонство е~ > ее означает, что газ позади ударной волны будет двигаться (со скоростью с1 — ье) в ту же сторону, куда движется сама волна. ~) Неравенства (87.Ц вЂ” (87А) были получены для ударных волн произвольной интенсивности в политропном газе лгуге (Е. Уоиуиее, 1904) и Цемпленом (С. Яеюр1еп, 1908), Излагаемое ниже доказательство для произвольной среды дано Л.Д. Ландау (1944). НАПРАВЛЕНИЯ ИЗМВНВНИЯ ВВЛИ 1ИН В УДАРНОЙ ВОЛНВ 463 *з 87 Отсюда видно, что д(1~)111Ьй ) О, (87.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
