VI.-Гидродинамика (1109684), страница 90
Текст из файла (страница 90)
В случае 3 имеем м < О, а потому и дз < О, — энергия приходит к разрыву из движущейся среды, что и служит источником усиления. При спонтанном излучения звука эта приходящая энергия совпадает с энергией, уносимой волной, уходящей в неподвижную среду. В изложенном решении задачи неустойчивость поверхности разрыва не учитывается, формалы|ая корректность такой постановки зада ~и связана с тем, что звуковые волны и неусгойчивые поверхностные (затухающие при х -э хоо) волны представляют собой линейно независимые колебательные моды.
Физическая же корректность требует соблюдения специальных условий (например, начальных), в которых поверхностные волны еще достаточно слабы. 8 85. 'Ударная адиабата Перейдем к подробному изучению ударных волн ') . Мы видели, что в этих разрывах тапгенциальная компонента скорости газа непрерывна. Можно поэтому выбрать систему координат, в которой рассматриваемый элемент поверхности разрыва покоится, а тангепциальная компонента скорости газа по обе стороны ) Сделаем одно терминологическое замечание. Под ударной волной мы понимаем самую поверхность разрыва.
В литературо, однако, можно встротить и другу|о терминологию, в которой поверхность разрыва называют фронтом ударной волны, а под ударной волной понимают поверхность разрыва вместе со следующим за ним течением газа. 455 8 85 тдлгиая адиавлтл поверхности равна нулю ') . Тогда можно писать вместо нормальной компоненты ьв величину п и условия (84.7) напишутся в виде Ргнг = Р2112 †= з (85.1) Р1 + Р1п1 = Р2 + Ртп2..
(85.2) ю1+ — ' = ш2+ — ', (85.3) 2 2 где у обозначает плотность потока газа через поверхность разрыва,. Мы условимся в дальнейшем всегда считать 7 положительным, причем газ переходит со стороны 1 на сторону л. Другими словами, мы будем называть газом 1 тот, в сторону которого движется ударная волна, а газом 8 — газ, остающийся за пей. Сторону ударной волны, обращенную к газу 1, будем называть передней, а обращенную к газу 8 задней. Выведем ряд соотношений, являющихся ш1едствиеы написанных условий.
Введем удельные обьемы 1'1 = 1/р1, 12 = 1/р2 газа. Из (85.1) имеем (85.4) п1 = 2 р'м п2 = у Г2 и, подставляя в (85.2): Р1 +3 1Г1 = Р2+2 1г2, 185 5) или 2 (85.6) 15 — ге Эта формула (вместе с (85.4)) связывает скорость распространения ударной волны с давлениями и плотностями газа по обеим сторонам поверхности. Поскольку у~ величина положительная, то должно быть одновременно р2 > р1; 1г1 > 1г2 или р2 < р1, 'г'1 < 1г2, мы увидим в дальнейшем, что в действительности возможен лишь первый случай.
Отметим еще следующую полезную формулу для разности скоростей п1 — п2. Подставляя (85.6) в п1 — п2 = 2Я вЂ” 12). получаем ') (85. 7) 111 П2 = ') Такой выбор системы координат будет подразумеваться везде в этой главе, за исключонием 8 92. Неподвижную ударную волну часто называют скачком уплогнения. Если неподвижная ударная волна перпендикулярна к направлению потока, то говорят о прямом скачке уплотнения; если же она наклонна к направлению движения, то говорят о косом скачке уплотнения.
) Мы пишем здесь квадратный корень с положительным знаком, заранее имея в виду, что должно быть в~ — ое > О, как это будет выяснено ниже Я 87). 456 УДЛРНЫЬ ВОЛНЫ 1'Л 1Х (85.10) и и Рис. 53 Рис. 54 плоскости р1' кривой, проходя>цей через заданную точку р>, Р>, отвеча>ощую состоянию газа 1 перед ударной волной; эту. точку ударной адиабаты мы будем называть ее начальной точкой. Отметим, что ударная адиабата не может пересечь вертикальной прямой ~' = $'1 нигде, кроме только начальной точки.
Действительно, наличие такого пересечения означало бы, что одному и тому же объему соответствуют два различных давления, удовлетворяющих уравнению (85.10). Между тем1 при 1'> = 'Р2 имеем из (85.10) также и е> = е2, а при одинаковых объемах и энергиях давления тоже должны быть одинаковыми. Таким образом, прямая 1' = Ъ~ делит ударную адиабату на две части, из которых каждая находится целиком по одну сторону от этой прямой.
По аналогичной причине ударная адиабата пересекает только в одной точке (р>, 1Х>) также и горизонтальную прямую р = р>. Пусть аа' (рис. 54) есть ударная адиабата, проведенная через точку р>, $'> в качестве начальной. Выберем на ней какую- нибудь точку рв, Ъ~ и проведем через нее другую адиабату (ЬЬ'), Далее, пишем (85.3) в виде 21 2 .2>Х2 ю>+ ' = ю2+ (85.8) 2 2 и, подставляя 22 из (85.6), получаем Ю> — Ю2+ — 111 — 12)1р2 р1) = О. 1 2 (85.9) Если ввести вместо тепловой функции внутреннюю энергию е согласно е = ю — р>', то полученное соотношение можно написать в виде е> — ег + -% — >'2) 1р! + р2) = 0 1 2 Эти соотношения определяют связь между термодинамическими величинами по обе стороны поверхности разрыва. При заданных р>, К1 уравнение (85.9) или (85.10) определяет зависимость между р2 и 22.
Об этой зависимости говорят как об ударной адиабакае или адиабате Гюгонио (Иг.д'. Яаа>Ьте, 1870; Н. Нийои>111, 1885). Графически она изображается (рис. 53) в '8 85 удАРЯАя \днйнйтй для которой бы эта точка была начальной. Очевидно, что пара значений ры 7~ будет удовлетворять также и уравнению этой второй адиабаты. Таким образом, адиабаты аа' и 55' пересекутся в обеих точках ры 1'1 и р2, 'Р2. Подчеркнем., что обе эти адиабаты отнюдь не совпадают полностью друг с другом, как это имело бы место для адиабат Пуассона, проведенных через заданную точку.
Это обстоятельство является одним из счедствий того факта, что уравнение ударной адиабаты не может быть написано в виде Г(р, У') = соп85, где 1 есть некоторая функция своих аргументов, как это, например, имеет место для адиабаты Пуассона (уравнение которой есть 8(р, 'у') = соп88). В то время как адиабаты Пуассона (для заданного газа) составляют одпопараметрическое семейство кривых, ударная адиабата определяется заданием двух параметров:начальных значений р~,. Ъ'ь С этим же связано и следующее важное обстоятельство: если две (или более) последовательные ударные волны переводят газ соответственно из состояния 1 в состояние в и из 2 в 3, то переход из состояния 1 в 3 путем прохождения какой-либо одной ударной волны, вообще говоря, невозможен. При заданном начальном термодинамическом состоянии газа (т.
е. заданных ры 1'1) ударная волна определяется всего одним каким-либо параметром: если, например, задать давление р2 за волной, то по адиабате Гюгонио определится у2, а затем по формулам (85.4) и (85.6) — плотность потока 1 и скорости в1 и в2. Напомним, однако,. что мы рассматриваем здесь ударную волну в системе координат, в которой газ движется нормально к ее поверхности. Если же учесть возможность расположения ударной волны под косым углом к направлению потока, то понадобится еще один параметр, например, значение касательной к ее поверхности составля|ощей скорости.
Укажем здесь на следующее удобное графическое истолкование формулы (85.6). Если соединить хордой точку ры Ъ'~ на ударной адиабате (рис. 53) с некоторой произвольной точкой р2, 1'2 на ней, то (р2 — р1)((ЪР2 — у'1) = — 12 есть не что иное, как тангенс угла наклона этой хорды к оси абсцисс (к ее положительному направлению). Таким образом, значение 1, а с ним и скорости ударной волны, определяется в каждой точке ударной адиабаты утлом наклона хорды, проведенной в эту точку из начальной точки. Наряду с другими термодинамическими величинами в ударной волне испытывает разрыв также и энтропия.
В силу закона возрастания энтропии последняя для газа может лишь возрастать при его движении. Поэтому энтропия 82 газа, прошедшего через ударную волну, должна быть больше его начальной энтро- ПИИ 81. (85 11) 82 ) 81 ° 458 хдлгныь волям гл ~х Мы увидим ниже, что это условие налагает существенные ограничения на характер злзменения всех величин в ударной волне. Подчеркнем здесь счедующее обстоятельство. Наличие ударных волн приводит к возрастанию энтропии при таких движениях, которые можно рассматривать во всем пространстве как движение идеальной жидкости, пе обладающей вязкостью и теплопроводностью. Возрастание энтропии означает необратимость движения, т.
е. наличие диссипации энергии. Таким образом, разрывы представляют собой механизм, который приводит к диссипации энергии при движении идеальной жидкости. В связи с этим для движения тел в идеальной жидкости, сопровождающегося возникновением ударных волн, нс имеет места парадокс Даламбера (8 11) при таком движении тело испытывает силу сопротивлеьзия.
Разумеется, истинный механизм возрастания энтропии в ударных волнах заключен в диссипативных процессах, происходящих в тех весьма тонких слоях вещества, которые в действительности представляют собой физические ударные волны (см. 8 93). Замечательно, однако, что величина этой диссипации целиком определяется одними лишь законами сохранения массы, энергии и импульса, .примененными к обеим сторонам этих слоев; их ширина устанавливается как раз такой, чтобы дать требуемое этими законами сохранения увеличение энтропии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
