VI.-Гидродинамика (1109684), страница 96
Текст из файла (страница 96)
8 82). Если же движение позади ударной волны является дозвуковым, то понятие о ее направлении теряет, строго говоря, смышд так как возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности во все стороны. Выведем соотношение, связывающее друг с другом две компоненты скорости газа после его прохождения через косую ударную волну; при этом будем предполагать газ политропным. КООАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА Непрерывность касательной к волне составляющей скорости означает, что п1 сов1Р = п2, сов 122+ пзз вшеэ, или 18Р="' (92.1) Юеу Далее, воспользуемся формулой (89.6); в этой формуле н1 и п2 обозначают нормальные к плоскости ударной волны составляю1цие скорости и должны быть теперь заменены на п1 вша и Н22 эш!о — пзр соя оз, так что имеем в2 сйп 112 — вгэ сов 112 з — 1 2с12 (92.2) Р1в!п22 1+1 1у+1)е12в!и 22 Из двух написанных соотношений можно исключить угол 112.
После простых преобразований получим следующую формулу, опРеделЯющУю свЯзь междУ п2 и пзз (пРи заданных п1 и с1): 2 ,.„,( „',) с',! в! — — ~2! — 1Р1 — вз ) п2~„= (п1 — пз„)2 ~ "', (92.3) В1 — В2 у -!-1 У1 Этой формуле можно придать более изящный вид, если ввести в нее критическую скорость. Согласно уравнению Бернулли и определению критической скорости имеем 2 2 2 Р! с! ю! ! -Р 1 2 2П1 + — = + с„ 2 у — 1 2 2(т — Ц (ср, задачу 1 3 89) ! откуда с'='- 2+ с' — 1 2 у-Р1 ' ть1 Введя эту величину в (92.3), получим (92.4) 1 ) От точки 1е, являющейся двойной точкой кривой, строфоида в действительности продолжается еще в виде двух уходящих к бесконечным ~Р22 ~ ве!- вей (не изображенных па рис.
64) с общей вертикальной асимптотой в,, = с./У1-~-2Р1ДЗ -Ь 1) Однако точки этих ветвей не имеют физическою смысла; они дщ1и бы для Р2, У22 значения, при которых е2 /в1 > 1, что невозможно. 16* П2 = '1П1 — Ювз) (92.5) Ю! В!02 с С* 2 2 ч -)- 1 Уравнение (92.5) называют уравнением удармой поляры (Л. Визетапп, 1931). На рис. 64 изображен график этой зависимости; это есть кривая третьего порядка (так называемая строфоида или декартов лист).
Она пересекает ось абсцисс в точках Р и с) (рис. 64), соответствующих значениям п2 = с~2!Н1 и ей = п1 ') . 484 удленыь Волны ГЛ !Х Проведя из начала координат луч (ОВ на рис. 64) под углом Х к оси абсцисс по длине его отрезка до точки пересечения с кривой ударной поляры, мы определяем скорость газа за скачком, поворачивающим поток на угол Х. Таких точек пересечения имеется две (А и В), т. е, заданному знаееу чению Х отвечают две различ- ные ударные волны.
Направле- ,~'с ' в ние ударной волны тоже может быть сразу определено графиче- Ю ски по этой же диаграмме оно Р определяется перпендикуляром, 22222 опущенным из начала координат на прямую, проведенную из точки 1) соответственно через точку В или А (на рис. 64 изобраРис. 64 жен угол ~р для волны, соответствующей точке В). При уменьшении Х точка А приближается к точке Р. отвечающей прямому (~р = 27/2) скачку с п2 = с22,1п1. Точка же В приближается при этом к точке с), причем интенсивность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю; в пределе, в самой точке б,), угол со равен, как и следовало, углу Маха о1 (угол наклона касательной к поляре к оси абсцисс в этой точке равен я7'2+ гуг). Из диаграммы ударной поляры сразу можно вывести важное заключение,что угол отклонения Х потока в ударной волне не может превышать некоторого максимального значения Х соответствующего лучу, проведенному из точки 0 касательно к кривой.
Х,„х является, коне шо, функцией числа М1 = п2,1с1, .мы не приводим ее здесь ввиду ее громоздкости. При М1 = 1 имеем Хюах = О, а при возрастании М1 угол Х,„ах монотонно растет и при М1 — ~ оо стремится к коне шому пределу. Легко рассмотреть оба предельных случая. Если скорость пг близка к с„, то вместе с ней близка к с„и скорость п2, а угол Х мал; уравнение ударной поляры (92.5) можно тогда приближенно переписать в виде ') х = —,. (и! п2) (п2 + п2 2с2) (92.6) 2сз (ввиду малости угла Х здесь положено п2 -п2, п2у -с„Х. Отсюда элементарным пу.тем найдем 2) ') Можно легко убедиться в том, что уравнение (92.6) будет справедливым и для любого (не политропного) газа, есчи только заменить в нем величину (7 4- 1)/2 па парал2етр а., определенный согласно (102.2).
2) Отметим, что зта зависимость Х, ь от М2 — 1 находится в согласии с общим законом подобия (126.7) для околозвуковых течений. КОС'АЯ УДАРНАЯ ВОЛНА (92.10) В обратном предельном случае, при М1 — Р оо, ударная поляра вырождается в окружность Н2 1П1 П2х) ~112х 111) ° Легко видеть, что при этом = агсвш (1/ у). (92.8) На рИС. 65 ИЗОбражЕН ГрафИК ЗаВИСИМОСтИ )ГН1нх От М1 дЛя ВОЗдуха ( у = 1,4); горизонтальная штриховая линия показывает пре- ДЕЛЬНОЕ ЗНаЧЕНИЕ СВ1В-,(ОО) = 45,6' (ВЕРХНЯЯ КРИВаЯ На РИСУНКŠ—.
аналогичный график для обтекания конуса; см. 2 113). Окружность п2 = с, пересекает ось абсцисс между точками Р и Ц 1рис. 64) и поэтому делит ударную поляру на две части, соответствующие до- и сверхзвуковым скоростям газа позади разрыва. Точка пересечения окружности Н2 = с, с полярой лежит правее 00 го.1ки С, но о~с~~ б~~з~о к ней; поэтому весь участок РС соответствует переходам к дозвуковым скоро- 40 Клин стям1 а участок Сс„1 (за исключением лишь очень небольшого участка вблизи точки С) ---переходам к сверхзвуковым скоростям.
10 й1зменения давления и плотности 0 в косой ударной волне зависят толь- 1,0 1,0 2,0 2,0 2,0 ко от нормальных к ней компонент скорости. Поэтому отношения р2/р1 и р2/р1 при заданных М~ и 1р получаются из формул (89.6), (89.7) просто путем замены в них М1 па М1 яп1р: (М1яп 1р — 1), (92.9) р, т-Р1 р1 — р, 2(М,' В1по р — 1) р ( у — 1)М11 В1п1 1р -1- 2 Эти отношения монотонно возрастакот при увеличении угла 1р от зпа 1ения 1р = о1 (когда р2,1р1 = р2/р1 = 1) до я/2, т. е. по мере перемещения по ударной полярс от точки О к точке Р.
Приведем еще, для справок, формулу, выражающу1о угол поворота т скорости через число М1 и утоп 1р: с08у =181р~ ~, ' — 1, (92.11) '12(М', В1п 1р — 1) и формулу, определяющую число М2 = Н2/с2 по М1 и 1р: Мя 2+ 1у — 1)М1 2М соп р 2ЧМ-',В1п21р — йу — 1) 2+ (т — 1)М1В1п р (при 1р = л./2 последнее выражение переходит в (89.9)). 486 НДЛРНЫЕ ВОЛНЫ гл 1х Две ударные волны, опрсделяемые ударной полярой для заданного угла поворота скорости, называют волнами слабого и спльноао семейства. Ударная волна сильного семейства (участок РС поляры) обладает большей интенсивностью (бобиьшим отношением рз/р1), образует больший угол 77 с направлением скорости ч1 и превращает течение из сверх- в дозвуковое.
Волна же слабого семейства (участок ЯС поляры) обладает меньшей интенсивностью, наклонена к потоку под меныпим утлом и почти всегда оставляет теченгле сверхзвуковым. Для иллюстрации па рис. 66 изображены зависимости угла с отклонения скорости от угла ~р наклона повсрхности разрыва для воздуха ( у = 1,4) при нескольких различных значениях числа М1, в том числе для предела М1 — Р ОО. Ветви кривых, изображвнные сплошными линиями, отвечают ударным волнам слабого х, 40 35 30 20 15 10 0 10 20 30 40 50 60 70 ср, град Рис. 66 семейства, а изображенные штрихами ударным волнам сильного семейства. Штриховая линия т = Хгаах геометрическое место точек максимального (при каждом заданноь| М1) угла отклонения, а сплошная линия М2 = 1 разделяет области сверх- и дозвукового течения позади разрыва; узкая область между этими двумя линиями отвечает ударным волнам слабого семейства, превращающим, однако, тсчение из сверх- в дозвуковое.
Разность значений угла ~р на линиях г = ><ыах и М2 = 1 (при шигипл хдлгных вола заданном Мл) нигде не превышает 4,5'1 разность же между )! и значениехл т = л з, на линии Мз = 1 (тоже при заданном Мл) не превышает 0,5' ') . 9 93. Ширина ударных волн Мы говорили до сих пор об ударных волнах как о геометрических поверхностях, не обладающих толщиной. Рассмотрим теперь вопрос о структуре реальных физических поверхностей разрыва.
Мы увидим, .что ударные волны с небольшими скачками величин представляют собой в действительности переходные слои конечной толщины, уменьшающейся прлл увеличенилл величины скачков. Если же скачки величин в ударной волне нс малы, то, действительно, разрыв !лроисходит настолько резко, что в макроскопической теории не имеет смысла говорить о его толщине. Для определения структуры и толщины переходного штоя надо учесть вязкость и теплопроводность газа, влиянием которых мы до сих пор пренебрегали. Соотношения (85.1) — (85.3) на ударной волне были получены из условий постоянства потоков вещества, !лмпульса и энергии. Если рассматривать поверхность разрыва как слой конечной толщины, то эти условия надо писать не в виде равенства соответствующих величин по обе стороны разрыва, а в виде их постоянства вдоль всей толщины разрывного слоя.
Первое из этих условий (85.1) не меняется: рп = у = сопя!,. (93.1) В двух же других условиях надо учесть дополнительные потоки импульса и энергии, обусловленные внутренним трением и теплопроводностью. Плотность потока импульса (вдоль оси х), обусловленного внутренним трением, определяется компонентой — сг' вязкого тензора напряжений; согласно общему выражению (15.3) для этого тензора имеем -' =(~" )-,"' Условие (85.2) приобретает теперь вид а) /4 1 до р + ри — ~ — т) + ~) — = сопв$.
3 йт 1 ) Подробные графики и диаграммы, относящиеся к ударной поляре (для т = 1,4) можно найти в кнл Ливман ПВ., Рашко А. Элементы 1азовой динамики. — Мс ИЛ, 1960. '!ь1ертавв Н. И'., КоаЬЬо А. Е!ешепсз о16ач с)упаш1св.— К. 'г'.: 1. Ж!!еу. 1967); Оома!пилой К. Пав с!уг1аггпсз. — Х. 'г'.: Асас1еппс Ргезв, 1966 а ) Положительное направление оси в совпадает с направлением движения газа через неподвижную ударную волну. Если перейти к системе отсчета, в которой неподвижен газ перед ударной волной> то сама ударная волна будет двигаться в Отрицатвльном направлении Оси т. 488 хдлгныв Волны гл тх Как и в 2 85, введем вместо скорости г удельный объем И согласно и = уЪ'.
Постоянную же в правой части равенства выразим через предельные значения величин па большом расстоянии впереди ударной волны (сторона 1). Тогда написанное условие примет вид р — рт + т (т' — Ът) — ~ -й+ ~~2 — = О. .2 /4 (З )4, (93.2) т т /4 1 ттв — ш .и = — тт и = — (-тт+ т',)и —. ( ~в Таким образом, условие (85.3) напишется в виде рп(ш+ — ) — ( — тт+ «)е — — тт — = сопв1, 2 3 ттх ах или, снова введя о = 21т' и выразив сопвФ через величины с ин- дексом 1: пт — шт + — (И вЂ” Рт ) — у( — тт+ ~(И вЂ” — — — = О.
(93.3) 2 2 т'4 "т Л' мт4Т 2 (,з,) У1ы будем рассматривать здесь ударные волны, в которых все величины испытывают лишь малый ска юк. Тогда и все разности à — 'т'Ы р — рт и т. п. между значениями величин внутри переходного слоя и вне его тоже малы. Из получающихся ниже соотношений видно, что 1ттб (где б шиРина РазРыва) есть величина первого порядка малости по ря — рь Поэтому дифференцирование по х увеличивает порядок малости на единицу (так, производная т1р,тт4х -- величина второго порядка).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
