VI.-Гидродинамика (1109684), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Единственный случай, когда разрывы вообще не образуются, волна, в которой плотность монотонно возрастает в направлении распространения на всем ее протяжении (такова, например, волна, возникающая при выдвигании поршня из заполненной газом бесконечной трубы: см. задачи к этому. параграфу). Хотя после образования разрыва волна и перестает быть простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически.
Мы видели, что с математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины р, р, и как функции х (при заданном 1) становятся многозначными для моментов врекюени, превышающих некоторос определенное значение 1о! между тем как при 1 ( 1о эти функции однозначны. Момент 1о есть момент образования разрыва. Уже из чисто геометрических соображений ясно, что в самый л!Оыонт 1о кривая зависимости, скажем, и от х, должна сделаться в некоторой точке л = ао вертикальной —. как раз в той точке, вблизи которой функция стала бы затем многозначной.
Аналитически это означает обращение производной (д!!/дх)! в бесконечность, т. е, производной (дх/ди)! в нуль. Ясно также, что в момент 1о кривая н = п(л) должна лежать по обе стороны от вертикальной касательной, в противном случае зависимость и(х) была бы многозначной уже и в этот момент времени. Друтими словами, точка х = ло должна быть не точкой экстремума функции л(!)), а точкой перегиба, и следовательно, должна обратиться в нуль также и вторая производная (двт/див)!. Такиъл образом, место и момент образования ударной волны определяются совместным решением двух уравнений; (101.12) ог29 1 У01 ОДНОМВРНЫВ ЬЬГУЩНВ ВОЛНЫ Для политропного газа эти уравнения гласят: = — — 1'10), 1" 10) = О, 1101.13) где у 10) функция, входящая в общее рщпение 1101.8).
Эти ущювия должны быть видоизменены, если простая волна граничит с неподвижным газом и ударная волна возникает как раз на этой границе. И здесь в момент возникновения разрыва кривая и = п(х) должна стать вертикальной, т. е. производная 1дх/дн)1 должна обратиться в нуль. Обращение же в нуль второй производной не обязательно, вторым условием здесь является просто равенство нулю скорости на границе с неподвижным газом, так что имеем условие (2),.=.
=' Из этого условия время и место образования разрыва могут быть найдены в явном виде. Дифференцируя выражение 1101.5), получим — х = хс01+ у'10), 1101.14) ао где ов - значение при и = 0 величины о, определяемой формулой 1102.2). Для политропного газа 21"'10) (101.15) 'у -Р 1 Задачи 1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны 1х > 0) и закрытой поршнем с другой 1х = 0).
В момент времени 1 = 0 поршень начинает двигаться равноускоренно со скоростью су = хон. Определить возникающее движение газа Осчнтая газ политропным). Р е ш е н и е. Если поршень выдвигаотся из трубы 1П = — ае), то возникнет простая волна разрежения, передний фронт которой распространяется вправо по неподвижному газу со скоростью со; в области х > соу газ неподвижен. Па поверхности поршня скорость газа должна совпадать со скоростью поршня, т. е. должно быть о = — ау при х = — аг'/2, 1 > О.
Это условие дает для функции У(о) в 1101.8): -уа1 уу — а1) = — го1+ у 2 Поэтому имеем х — (со + о ) 1 = ~у;о) = — о + — о, уг1 у с у 2 ) а 2о откуда — о = — ~ со З- ао ) — — [~ со -Р а1) — 2а у)соу — х)1 . 11) уУ, 2 ) .111, 2 Эта формула определяет изменение скорости в области от поршня до переднего фронта волны х = соу 1рис. 81 а) в течение времени от 1 = 0 до 530 гл. х Одномвгнов двнжнннв сжимлнь|ого Газа 1 = 2соу!( у — Ца, Скорость газа направлена везде влево, в сторону движения поршня, и монотонно убывает по абсолютной величине в положительном направлении оси х; в этом же направлении монотонно возрастают плотность и давление. При 1 > 2соу!(у — Ца для о скорости поршня не выполняется неравенство (101.10), а потому газ не может двигаться вместе с ним.
Между поршнем и газом возникнет область вакуума, а дальше скорость газа будет меняться по формуле (Ц от значения — 2соу'( у — Ц до нуля. — асс)2 со! Если поршень вдвигается в трубу (сУ = аЦ, то возникает простая волна сжатия; соответствующее решение полуб чается просто изменением знака у а в формуле (Ц (рис. 81 б). Оно применимо, однако, лишь до момента образования ударной волны; этот момент определяется по формуле (101.15) и равен со! х 2со Рис. 81 а(у -о Ц аго/я 2. То же при произвольном законе движения поршня.
Р е ш е н и е. Пусть поршень в момент ! = 0 начинает двигаться по за- кону х = Х(1) (причем Х(0) = 0); его скорость сУ = Х!(1). Граничное условие на поршне (е = П при х = Х) дает с = Х'(1), ~(и) = Х(1) — 1~со -1- Х'(1)~. 2 Если рассматривать теперь 1 как параметр, то эти два у.равнения определя- ют в параметрическом виде функцию 1"(с). Обозначая ниже этот параметр буквой т, можем написать окончательное решение в виде с = Х (1), х = Х(т) -!- (1 — т) [со -!- Х'(т)~, у -у- 1 (2) 2 чем и определяется в параметрическом виде искомая функция с(1, х) в воз- никающей при движении поршня простой волне. 3.
Определить время и место образования ударной волны при движении поршня по закону (У = ас, т! > О. Р е ш е н и е. Если а ( О, т. е. поршень выдвигается из трубы, то воз- никает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообще не об- разуются. Ниже предполагаотся а > О, т. е. поршень вдвигается в трубу, создавая простую волну сжатия. При параметрическом задании функции с(х, 1) формулами (2) с Х= т" п -~- 1 момент и место образовш!ия ударной волны опрсдсля!отея уравнениями: (),= дх у у -у- 1 ат" — у! = — со -В ст" ап — (Π— 1-О п( у+ Ц] = О, дт 2 2 ('(,= (3) у-';1 ап, — = 1г" ап(п — Ц вЂ” — — г" (у — 1 -1- п(у -!- Ц( = О, дто(, 2 2 532 ОднОмягнОе движяния ГжимлкыОГО Глзл гл.
х Второй член всегда конечен н не дает вклада прн усреднении по большому интервалу времени. Заметив также, что Оов 5, — б, = сэ — И + —,(ы, — ы,) = 1э — йн Со приходим к требуемому результату ы' = ые, где индекс у черты указывает переменную, цо которой производится усреднение (ниже этот индекс опускаем); отметим, что среднее (по 1) зпа 1ение оказывается тем самым независящим от т. Для задачи о колеблющемся поршне функция Г® определяется уравнением (2), которое можно переписать в виде ы(т) = Х (г), т = б+ Х(т)7и(т) или, ввиду малости амплитуды колебаний: т б -Р— Х(б), ы(г) И(б) -Р— Х® 1 1 Ж7(У) с.
' с. дб Усредняя последнее выражение, пишем 1 АИ 1 4(ХИ) 1 —, — — Г-' со 46 со дб со и поскольку среднее зна |ение от полной производной обрашается в нуль, окончательно: ы = — (7з/со. (6) С той же точностью средняя по времени плотность потока вещества: р' ы 2 — и — = — + —,ы ро со 2со~ н после усреднения ): р' = с р' + (а — Цроы" — 2 — О Р = Рооз 2 — Оро —.
р — Из 2сэ 'о (7) Обратим внимание на то, что р' оказывается здесь отличным от нуля уже в квадратичном приближении — ср. конец з 65. ') В более ограничительных предположениях формулы (7) были получены А. Эйтеявальдом (1932). — ро — з р" = ро '+ р = ре +— са Используя (6) и равенство (в том же приближении) ыэ = Г1~, находим, что ры = 0; так и должно быть (в силу закона сохранения вещества) в чисто одномерном случае, когда нет подтекания вещества лсбокум Для средней плотности потока энергии имеем о = рты = шеро -Р рот'ы = р'ы = россы' (ср. З' 65) и окончательно о = росе~У.
Для вычисления р' и р' надо выразить р' и р' через ы с точностью до членов ы~. Из (101.7) (или из (101.4) и (101.6) для не политропного газа) получим 533 ОВРЛЗОВАПИВ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНВ 1 102 й 102. Образование разрывов в звуковой волне Плоская бегущая звуковая волна как точное решение уравнений движения тоже представляет собой простую волну. Мы можем восгюльзоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свойства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то! которое соответствует обычному линейному волновому уравнению).
Прежде всего отметим, что по истечении достаточно долгого времени в звуковой волне на протяжении каждого ее периода должен возникнуть разрыв. Этот эффект приведет затем к весьма сильному затуханикг волны, как это было объяснено в 3 101. Фактически это может относиться, разумеется, лишь к достаточно сильному звуку; в противном случае звуковая волна успеет поглотиться благодаря обычному эффекту вязкости и теплопроводности газа раньше, чем в ней успеют развиться эффекты высших порядков по амплитуде. Эффект искажения профиля волны проявляется и в другом отношении.
Если в некоторый момент времени волна была чисто гармонической, то с течением времени соответственно изменению формы ее профиля она перестанет быть таковой. Движение, однако, останется периодическим с прежним периодом. В разложение этой волны в ряд Фурье войдут теперь наряду с членом с основной частотой ш также и члены с кратными частотами пы -целые числа). Таким образом, искажение профиля по мере распространения звуковой волны можно воспринимать как появление в ней наряду с основным тоном также и обертонов. Скорость и перемещения точек профиля волны (распространяющейся в положительном направлении оси х) в первом приближении получается, если положить в (101.11) о = О, т. е.
и = со, что соответствует распространению волны без изменения формы профиля. В Рледующеь! приблигкепии имеем да ! ди гго 'и=со+ — !" =со+ — — и, др. ' дд.ее ' или с помощью выражения (99.10) для производной дгзг!др: и = со+пои, (102.1) где для краткости введено обозначение ') . = —,. ('— ,'„'.)., (102.2) Для политропных газов о = (З + 1)/2, и формула (102.1) совпадает с точной формулой (см. (101.8)) для скорости и. ') О задаче 1 к 'З 93 зта величина была обозначена как о,. 534 ГЛ Х ОДИОЫКРНОК ДКИЖКНИК СЖИЫЛКЫО!'О ГЛЗЛ В общем случае произвольной амплитуды волна перестает быть простой после появления в ней разрывов.
Существенно, однако! что волна малой амплитуды во втором приближении остается простой и при наличии разрывов. Убедиться в этом можно следующим образом. Изменения скорости, давления и удельного объема в ударной волне связаны друт с друтом соотношением и! — Нг = Изменение же скоросги и вдоль некоторого участка длины оси л в простой волне равно интегралу Р2 Г дЪ" и! — Н2= / ~/ — — Ф дР Р! Простое вычишсение с Гюмощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга только в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, что изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна).
Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разрыва остается простой, причем па самом разрыве будет выполнено надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях это уже не будет иметь места, что связано с появлением отраженных от поверхности разрыва волн. Выведем теперь условие, с помощью которого можно оссределить местонахождение разрывов в бегущей зву.ковой волне (все в том же втором приближении).
Пусть и есть скорость движения разрыва (относительно неподвижной системы координат), а ис, и2 скорости газа по обеим его сторонам. Тогда условие непрерывности потока вещества запишется: рс(и! — и) = рв(и2 — и), откуда Рсг! Р2Р2 и= Р! Р2 С точностью до членов первых двух порядков эта величина равна значению производной сс(ри)С!с)р, взятому в точке, где аргумент и Равен полУсУмме и = (и! + Н2) сс2. ПосколькУ же в пРостой волне с1(ри)!ссср = и + с, то согласно (102.1) имеем и = со+ стО (102.3) 2 Отсюда можно получить следующее простое геометрическое условие, определяющее место ударной волны. На рис. 82 кривой 535 1 102 ОВРЛЗОВАВИВ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛ!!В (х — х,) до, Р2 взятым по кривой абсиде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
